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As propriedades intrínsecas das superfícies, como a conectividade simples e a propriedade de Jordan, além de não se alterarem sob isotopias, também não mudam quando cortamos e colamos no mesmo lugar. No jargão matemático, dizemos que essas propriedades são invariantes sob homeomorfismos, ou então que são invariantes topológicos das superfícies. |
Um invariante topológico pode ser binário: a superfície ou tem ou não tem determinada propriedade. Por exemplo, ela tem ou não tem a propriedade de Jordan, ela é ou não é simplesmente conexa, etc. Pode ser também um número, por exemplo o número de componentes de bordo da superfície, ou então sua característica de Euler, que definiremos a partir de agora. |
A característica de Euler se inspira no Teorema de Euler para poliedros. Observe os dois poliedros abaixo: a Pirâmide e o Octaedro. |
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E mais outros três, da esquerda para a direita: o Dodecaedro, o Icosaedro e o Cuboctaedro. |
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Para cada poliedro podemos contar o número de faces F, o número de arestas A e o número de vértices V. Depois calculamos o número X = F - A + V. Vejamos o resultado na tabela abaixo, incluindo também o Cubo e o Tetraedro. |
| Poliedro | F | A | V | X = F - A + V |
|---|---|---|---|---|
| Cubo | 6 | 12 | 8 | 2 |
| Tetraedro | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Pirâmide | 5 | 8 | 5 | 2 |
| Octaedro | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Dodecaedro | 12 | 30 | 20 | 2 |
| Icosaedro | 20 | 30 | 12 | 2 |
| Cuboctaedro | 14 | 24 | 12 | 2 |
Verificamos portanto que os números de faces, arestas e vértices variam conforme o poliedro, mas o número X é sempre igual a 2! Isso é uma propriedade geral dos poliedros: tente calcular X em outros exemplos e você constatará que o resultado não será diferente de 2. |
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