|
|
|
CapIV-pg3 |
|
A outra propriedade intrínseca das superfícies é a conectividade simples. Tanto ela quanto a propriedade de Jordan são verdadeiras propriedades topológicas porque não mudam sob deformações da superfície. Por exemplo, se uma superfície é de Jordan, então toda curva fechada a separa em dois pedaços, e o mesmo ocorre com todas as suas deformações. Isso se aplica ao caso do Cone, que é isotópico ao Disco. Como o Disco é uma superfície de Jordan, então o Cone também é. O Cilindro também é de Jordan, porque vimos que o Anel é. |
Para definirmos o que é uma superfície simplesmente conexa, ou seja, que tem a propriedade da conectividade simples, precisaremos antes discutir o conceito de curva retrátil: uma curva fechada (sem auto-interseção) numa superfície é retrátil se ela puder ser deformada, sempre dentro da superfície, até se transformar num ponto. Veja um exemplo de curva retrátil no Disco. |
Na verdade, toda curva fechada no Disco é retrátil! E o mesmo ocorre com a Esfera! |
Uma superfície será dita simplesmente conexa se toda curva fechada sobre ela for retrátil. |
Como vimos, o Disco e a Esfera são simplesmente conexos, mas o mesmo não ocorre com o Toro e o Cilindro. Embora as curvas azuis abaixo sejam retráteis, as demais curvas indicadas não o são. |
|
|
|
Para resumir o que dissemos até agora a respeito das propriedades intrínsecas das superfícies, faremos uma tabela. Essa tabela conterá as superfícies que vimos até agora, e suas propriedades: número de componentes de bordo, propriedade de Jordan (sim ou não), conectividade simples (sim ou não). Observe que o Toro e a Esfera, apesar de não poderem ser distinguidos pelo número de componentes de bordo, diferem nas outras duas propriedades: a Esfera é uma superfície de Jordan e é simplesmente conexa, enquanto que o Toro não é uma superfície de Jordan nem tampouco é simplesmente conexo. Donde concluímos que essas duas superfícies não podem ser isotópicas! |
| Disco/Cone | Cilindro/Anel | Esfera | Toro | |
|---|---|---|---|---|
| Componentes de bordo | 1 | 2 | 0 | 0 |
| Simplesmente conexa? | Sim | Não | Sim | Não |
| Superfície de Jordan? | Sim | Sim | ]Sim | Não |
|
CapIV-pg3 |
|