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Descrição de funções lógicas por diagramas de Veitch

Consideremos uma função lógica de 4 variáveis $A, B, C$ e $D$. A função fica dada se indicarmos todas aquelas combinações das 4 variáveis de entrada para as quais a saída é igual a 1. O diagrama de Veitch da Figura 1.4 apresenta 16 quadrados, cada um correspondendo a uma combinação das variáveis (no caso, 4 variáveis). Cada quadrado pode ser encarado como uma linha da tabela de verdade.

\begin{figure} \begin{verbatim}A ___________________ \vert 12 \vert 14 \ver... ...____\vert ____\vert ____\vert ____\vert Figura 1.4C\end{verbatim}\end{figure}

O quadrado 7 por exemplo, corresponde a $A=0, B=1, C=1$ e $D=1$. Uma função lógica pode então ser dada indicando quais os quadrados em que a função assume valor 1.

A função F da Figura 1.5 (a) indica que ela assume valor 1 quando as entradas valem 5 ou 7.

\begin{figure} \begin{verbatim}A ___________________ \vert \vert \vert \ver... ...(a) \vert ____\vert ____\vert ____\vert ____\vertC\end{verbatim}\end{figure}

A função $G$ da Figura 1.5 (b) assume 1 para as combinações 9, 11, 13 ou 15.

\begin{figure} \begin{verbatim}A ___________________ \vert \vert \vert \ve... ...(b) \vert ____\vert ____\vert ____\vert ____\vertC\end{verbatim}\end{figure}

Visto desta forma, o diagrama de Veitch não é nada mais uma outra forma de descrever funções lógicas. Vejamos agora como ele pode útil para simplificar funções lógicas.

Tomemos novamente as funções $F$ e $G$. Aplicando propriedades da Algebra Booleana, podemos escrever

\begin{eqnarray*} F & = & A'B C'D + A'B C D = A'B D (C + C') = A'B D\\ G & = ... ...A B D (C' + C) \\ & = & A B'D + A B D = A D (B' + B) = A D \\ \end{eqnarray*}



O diagarama de Veitch pode ser usado para derivar essas simplificações diretamente. Vejamos a Figura 1.6

\begin{figure} \begin{verbatim}A ^ ^ ___________________ \vert \vert \ver... ... \vert \vert ____\vert ____\vert ____\vert ____\vert\end{verbatim}\end{figure}

Em relação à variável $A$, os 16 quadrados podem ser divididos em duas partes: metade ``iluminada'' pelas ``luzes'' $A$ e metade não iluminada (ficando na sombra). O mesmo pode ser pensado em relação às variáveis $B, C$ e $D$. O que queremos é caracterizar ou ``iluminar'' uma região correspondente a determinada função de maneira mais simples.

A função $G$, por exemplo, pode ser descrita pela interseção das regiões iluminadas por $A$ e $D$. Vejam a Figura 1.7 (a).

\begin{figure} \begin{verbatim}A ^ ^ ___________________ \vert \vert \vert... ... \vert \vert ____\vert ____\vert ____\vert ____\vert\end{verbatim}\end{figure}

A função $F$, por sua vez, é a interseção das regiões iluminadas por $B$ e $D$, e fica na sombra de $A$. Vejam a Figura 1.7 (b).

\begin{figure} \begin{verbatim}A ^ ^ ___________________ < \vert \vert \ve... ... \vert \vert ____\vert ____\vert ____\vert ____\vert\end{verbatim}\end{figure}

Pode-se verificar que 2 quadrados adjacentes no diagrama de Veitch correspondem a um produto de 3 variáveis (complementadas ou não); 4 quadrados adjacentes correspondem a um produto de 2 variáveis. Aqui o significado de adjacência deve ser estendida para incluir lados opostos do diagrama. A Figura 1.8 contém alguns exemplos.

\begin{figure} \begin{verbatim}A A A ----------------- ----------------- ---... ...----------------- C C CB C'D C'D C'D'Figura 1.8\end{verbatim}\end{figure}



A Figura 1.9 contém mais exemplos sobre o uso do diagrama. Convém estudá-los com cuidado.

\begin{figure} \begin{verbatim} A A A ----------------- ----------------- --... ...-------- C C CA'C' + A'B D' C'D + B'C' A B + A C D\end{verbatim}\end{figure}

\begin{figure} \begin{verbatim}A A A ----------------- ----------------- ---... ... C D + A C C'D' + A B C D A'C D' + A' B CFigura 1.9\end{verbatim}\end{figure}



Voltando ao problema do ``display'' dos sete segmentos, vamos simplificar a equação para a saída $d$. Ela é igual a 1 para as entradas 0, 2, 3, 5, 6 e 8. Para as combinações 10 até 15, tanto faz a saída $d$ ser 0 ou 1. Na Figura 1.10 isso é representado por um ``X''.

\begin{figure} \begin{verbatim}A ___________________ \vert X \vert X \vert... ...rt \vert ____\vert ____\vert ____\vert ____\vertC\end{verbatim}\end{figure}



Na Figura 1.10, fizemos esses X's iguais a 0 ou 1, de maneira que mais convém à simplificação.

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Siang Wun Song
2001-09-19