OS SURPREENDENTES CONCEITOS DE INFINITO
NA GEOMETRIA, NOS CONJUNTOS DE NÚMEROS E NA FÍSICA
Valdemar W. Setzer
Departamento de Ciência da Computação
Instituto de Matemática e Estatística da USP
www.ime.usp.br/~vwsetzer
– esta versão: 3/1/26
Objetivo
Introduzir as noções de infinito na matemática e
mostrar como são interessantes e surpreendentes, seu histórico,
e também como ocorrem na física, levando a problemas filosóficos
e de concepção de mundo.
Resumo
Geometria: o ponto como infinitésimo contendo todas as
formas; os planos euclidiano, e projetivo envolvendo o infinito; a reta
no plano projetivo e duas maneiras de compreender os seus extremos infinitos;
divisões do plano projetivo por uma reta, por retas paralelas e
confluentes. Perspectiva linear: o infinito representado finitamente;
um, dois e três pontos de fuga. O aparecimento da perspectiva na
Renascença, e sua causa. Conjuntos de números:
Quando dois conjuntos têm o mesmo número de elementos? Cardinalidade;
conjuntos com mesma cardinalidade; bijeção; comparação
de conjuntos infinitos de números naturais, inteiros, racionais,
irracionais e reais; a raiz quadrada de 2 como número irracional
e extensão para qualquer número não-quadrado perfeito;
a teoria dos números transfinitos de Georg Cantor; comparação
entre os infinitos pontos de um segmento de reta, de um quadrado plano
e de um cubo n-dimensional; a diagonalização dos
irrracionais; números complexos. Física: os infinitésimos
do microcosmo atômico e o infinito do macrocosmo. Giordano Bruno.
A teoria dos infinitos universos (múltiplos universos). Concepções
de mundo. A necessidade de não se usar conceitos provindos do mundo
físico perceptível, quando se trata do infinito.
Prerequisitos
Não há pré-requisitos. Se não houver conhecimentos
básicos de matemática, a prova de que a raiz quadrada de
2 é irracional é pulada.
Público alvo
- Público em geral e alunos com 2º ano do nível
médio completo, por uma questão de maturidade.
- Esta palestra é especialmente útil a professores de
matemática de ensino médio, para introduzirem conceitos
importantes sobre o infinito e levarem os alunos a ampliar sua compreensão
sobre a matemática, mostrando como ela foge do pensamento baseado
nos sentidos e até mesmo o contraria.
Tipo
Presencial ou remoto, Se for dada no período noturno, seria bom se
começasse o mais cedo possível, para haver espaço posterior
para discussão e perguntas.
Número de participantes
Não há restrições. Em escolas, a turma não
deve ser muito grande, por questões de disciplina e atenção.
Atenção: se a aula for presencial para escolas de
ensino básico, é absolutamente essencial que professores
estejam permanentemente presentes, para manter a disciplina dos alunos.
Material necessário em palestras presenciais
- Computador com power point
- Quadro negro ou branco, ou flip chart, perto do computador
- Datashow ou telão, perto do computador
- Meia folha de papel para a avaliação final – pode
ser de rascunho, com a parte detrás impressa.
- Se a palestra for por video conferência, possibilidade de uso
da plataforma escolhida, a ser escolhida anteriormente.
Material na Internet
- www.ime.usp.br/~vwsetzer/apresentacoes/infinito.ppsx
- Essa apresentação tem o intuito de ser o material didático
da palestra. Boa parte da palestra presencial é normalmete desenvolvida
em quadro negro, a menos das ilustrações sobre perspectiva.
- Se a palestra é dada por videoconferência, ela é
inteiramente desenvolvida por meio de apresentação em
ppt.
Duração
Uma hora e meia, idealmente duas horas
Avaliação
- No fim da palestra, os participantes fazem uma breve avaliação
por escrito (one-minute paper) respondendo as seguintes perguntas:
1. Qual foi a coisa mais importante que aprendi? 2. Qual foi a maior
dúvida que ficou? 3. Comentários.
- Se a palestra for feita por videoconferência, os participantes
são convidados a preencher um breve formulário eletrônico,
cujo endereço será fornecido, onde constam as questões
acima e outras breves adicionais.
- As avaliações são introduzidas no site,
acompanhadas de comentários sobre as respostas. Ver a página
com as avaliações das
palestras dadas.
Referências
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