OS SURPREENDENTES CONCEITOS DE INFINITO
NA GEOMETRIA, EM CONJUNTOS DE NÚMEROS
E NO MUNDO FÍSICO
AVALIAÇÕES DE PARTICIPANTES
Valdemar W. Setzer
Departamento de Ciência da Computação, IME-USP
www.ime.usp.br/~vwsetzer
– esta versão: 7/5/23
Nesta página encontram-se todas transcrições de avaliações de participantes
desta palestra, conforme escreveram no One-minute paper ou no
formulário on-line: [1] Coisa mais importante aprendida;
[2] Quais as maiores dúvidas que ficaram; [3] Comentários.
Os originais estão à disposição para exame. Note-se que nem todos os participantes
entregam as avaliações. Ver o
resumo da palestra, a apresentação
em ppt e o livro
(de minha home page). As avaliações feitas por formulário
eletrônico foram copiadas e coladas, tais como estão. As
feitas em papel no fim da palestra foram digitadas como foram escritas.
15. 6/5/23, palestra presencial dentro do projeto "Comunidade
60+" (mas aberta a qualquer interessada/o), promovido pela Pró-Reitoria
de Cultura e Extensão da USP, no Auditório Jacy Monteiro
do Bloco B do IME-USP, Av. Prof. Luciano Gualberto 1171, Cidade Universitária,
dentro do programa Embaixadores da Matemática do IME-USP. Info:
Prof. Eduardo Colli cotudojuntolli no ime ponto usp dot br. Avalições
feitas por escrito.
- [1] A universalidade dos conceitos, que podem ser objetivados
da mesma forma por diferentes indivíduos. O infinito como conceito
que não encontra representação no mundo físico.
Entrei com dúvidas básicas e saí com dúvidas
mais elevadas. [2] Preciso pensar, e muito. [3] Maior
divulgação. RESP.: Os conceitos são diferentes
do que sua representação no mundo físico. Tomemos
o exemplo do conceito "porta". Aquela porta que mostrei é
uma possível representação desse conceito, não
é o próprio conceito. Isso é devido ao fato de
que os conceitos não são físicos. Veja o meu artigo
www.ime.usp.br/~vwsetzer/conceito-cerebro.pdf
onde eu descrevo o que apresentei a vocês como as representações
e o conceito do numeral 2, mostrando que o que há de comum entre
todas as representações do 2 não é nenhuma
delas, é o conceito puro do 2, com o qual trabalhamos. Tanto
faz escrever 2+3=5 como "dois mais três igual a cinco",
o que pensamos é sobe os conceitos de 2, de +, de 3 etc. Que
bom que deixei dúvidas! Sim, houve um grande problema de divulgação.
Havia muitos pais acompanhando filhos em outras atividades, se houvesse
cartazes alguns poderiam ter assisitido a palestra. Foi um grande esforço
de minha parte, que poderia ter sido aproveitado por mais gente.
- [1] Aprendi a questionar dogmas científicos, filosóficos,
e tecnológicos e não aceitar tudo como verdades definitivas.
[2] Tornaram minhas dúvidas mais conscientes e estimulantes.
[3] Sutilezas nas verdades! RESP.: Sim. E um dos "dogmas"
mais comuns é a teoria darwiniana da evolução.
Um outro é que o sangue circula porque é bombeado pelo
coração. E há muitos outros. Estou seguro de que
muitos cientistas sabem que essas são meras teorias, não
são fatos científicos. O problema é que elas são
popularizadas como verdades, como fatos. Por exemplo, ninguém
estava nos tempos primordiais para investigar a evolução,
e não se sabe por que há certa mutação hoje
em dia para levar à seleção natural (por exemplo,
das bactérias e vírus; já se comprovou na alteração
de pássaros que migraram de uma ilha para outra). Eu estendo
a teoria darwiniana assumindo que nem todas as mutações
e nem todos os encontros entre casais são aleatórios.
O sangue é um fluido muito viscoso, é há, se não
me engano, milhares de quilômetros de vasos sanguíneos
no corpo humano, a maior parte capilares, de modo que a tal bomba do
coração deveria ter uma potência descomunal. O coração
comporta-se como uma bomba ao dar um pulso de pressão que é
detectado pelo corpo, produzindo a circulação sanguínea.
Experimente tomar sua pressão sanguínea perto do coração
e longe dele, e verá que a pressão aumenta, o que contradiz
a ideia de que o sangue flui por ser bombeado pelo coração.
- [1] Libertação da intuição no mundo
físico. [2] Quanto às dúvidas, preciso refletir
mais e talvez depois eu possa esclarecê-las. [3] Palestra
excelente para "demolir" conceitos arraigados ao longo do
tempo. RESP.: Sim, chamei a atenção para o fato
de que a educação escolar favorece o raciocínio
lógico, em lugar de também, ou talvez primordialmente,
incentivar a intuição, e só depois dela usar o
raciocínio lógico. Alunas/os são induzidos a perguntar
e responder apenas coisas corretas, e ficam inibidos, com medo de errar.
- [1] A aplicabilidade do conceito de infinito. Antes era um
conceito bastante limitado e subjetivo, algo fora de alcance. [2]
Não sei dizer. Recebi muitas informações. Talvez
após "digerir" melhor o assunto. Vou ver o ppt. [3]
Adorei!!! Estou há décadas longe da escola, foi ótimo!!!
RESP.: O importante é que, ao se lidar com o infinito,
é necessário abandonar nossa maneira de pensar, baseada
na nossa percepção do mundo físico finito. Coloco
aqui o endereço do ppt.
https://www.ime.usp.br/~vwsetzer/apresentacoes/infinito.ppsx
- [1] Conceitos não estão no cérebro. São
universais. Não são construídos socialmente. Também
aprendi que é preciso "sair do quadrado", pensar, refletir,
intuir para além do lugar comum. [2] Sinceramente, eu
tive dificuldade de compreender muita coisa, pois a minha área
de conhecimento e ativação profissional é a psicologia.
[3] Para mim foi muito bom, pois contribuiu para aumentar a minha
perspectiva e desejar ampliar ainda mais. Obrigada, professor! RESP.:
Pena que você não fez perguntas para eu esclarecer o que
você não estava entendendo. Mas certamente você deve
ter ficado com uma impressão geral (como por exemplo "conceitos
não estão no cérebro), e talvez tenha aprendido
alguns resultados sem ter compreendido as deduções. Parabéns
por ter vindo assistir uma aula de matemática, seu interesse
por essa matéria é um grande exemplo. A matemática
é importante pois com ela exercitamos um pensamento absolutamente
claro e fora do mundo físico, ao qual ficamos presos, pelos sentidos
sensoriais, logo que despertamos do sono. É preciso fazer um
esforço mental para nos afastarmos do mundo físico, para
nos libertarmos da prisão que ele representa, e penetrarmos conscientemente
no que me referi como "o mundo platônicos das ideias".
Lembre-se como eu comecei: nunca ninguém viu um ponto geométrico,
ideal; no entanto, trabalhamos mentalmente com ele na matemática.
- [1] O universo não é finito nem infinito. [2]
A matemática é uma criação ou uma descoberta?
É somente uma linguagem? [3] Interessante! Gostei. Boas
surpresas. RESP.: Sim, se for finito, deve-se perguntar, como
eu mostrei: o que há além dele? O nada? O que é
nada? Até onde vai o nada? Isso não faz sentido físico.
Se ele for infinito, estamos usando um conceito que não tem representação
física. Em ambos os casos, chego pessoalmente à conclusão
de que nas fronteiras do universo a matéria física desaparece.
O mesmo quando se trata das partículas atômicas, que são
incompreensíveis. Quando se lida com a matéria infinitamente
pequena, ela desaparece. Ela se torna física quando é
agregada, por exemplo em moléculas., ou quando é tirada
de seu estado natural, como nos aceleradores de partículas. Não
se sabe o que é a matéria no infinitamente pequeno e no
infinitamente grande. Pode-se conjeturar que ela deixa de ser um fenômeno
físico. Quanto a matemática ser uma criação
humana ou uma descoberta, essa é uma questão milenar.
Minha tendência é achar que os seres humanos são
capazes de introduzir novas ideias no mundo platônico das ideais,
que não é físico. Por exemplo, parece-me que o
zíper é uma dessas ideias que não provêm
do exemplo da natureza. Os computadores também. Na matemática,
depois que uma pessoa pensou em algo que não existia antes, como
a teoria dos conjuntos de Cantor, como eu mostrei, esse pensamento passa
a fazer parte do mundo das ideias, e daí para diante pode ser
usado por outras pessoas. Se outra que não conhecia a novidade
chegar aos mesmos pensamentos, terá feito uma descoberta. Mas
minha tendência é achar que Cantor criou a sua teoria.
14. 30/9/22 palestra presencial (e remota pelo canal
do youtube do IME, onde ela está gravada) na 25ª Edição
da Semana de Arte e Cultura da USP, no auditório Jacy Monteiro
do IME-USP, Cidade Universitária, São
Paulo, dentro do projeto Embaixadores
da Matemática do IME-USP. Info: Prof. Eduardo Colli
cotudojuntolli no ime ponto usp dot br. Graus de satisfação
1 - muito insatisfeita/o; 5 - muito satisfeita/o: 100%. Aprendeu
coisas novas: 100%.
- [1] Infinito em geometria. [2, 3] {Vazios}.
- [1] Que às vezes as coisas que parecem intuitivas no mundo
físico não se comportam da mesma forma que as generalizações
matemáticas. [2] Como a união infinita de pontos (dimensão
0) formam uma reta (dimensão 1)? [3] {Vazio}. RESP.: Como eu
mostrei, a soma de infinitos zeros é indeterminada. Portanto,
a distância composta por infinitos pontos geométricos pode
ser qualquer linha finita, em particular com um segmento de reta que
tem certa distância.
- [1] A noção de infinito, que se fecha sobre si mesmo,
não há lateralidade. [2] Muitas!! Mas valeram a pena,
pois um aprendizado real baseia-se sobre dúvidas. Os números
irracionais são difíceis para minha compreensão.
{Vazio}. RESP.: Interessante sua observação de
que o infinito na matemática fecha-se sobre si mesmo. No sentido
de uma reta ou plano infinitos, isso se aplica muito bem. Mas não
se aplica em feixes de paralelas, no sentido em que cada feixe tem seu
infinito próprio. Já nos conjuntos de números,
como qualquer subconjunto infinito dos naturais ou dos racionais tem
a mesma cardinalidade que o conjunto dos naturais, eu diria que ele
é "invariante". Quanto aos irracionais, veja a demonstração
que coloquei na apresentação em ppt. Como exercício,
substitua a raiz quadrada de 2 pela raiz quadrada de m natural.
13. 21/9/22, com adição de considerações
sobre "matemática e espiritualidade", palestra remota
para a série Momentos de Antroposofia, organizada pela Sociedade
Antroposófica em Portugal. Info: Arq Fritz fritzjuntoarq attt sapo
ponto pt
- [1] Que a cardinalidade do conjunto dos números irracionais
é diferente ao dos números naturais; isto é, que
há infinitos maiores do que outros. É como a diferencia
entre uma reta infinita e um plano infinito, o segundo é mais
infinito do que a primeira. Que o desenho de perspetiva e o ponto de
fuga é outra maneira de ver o infinito. [2, 3]{Vazios}. RESP.:
Como eu mostrei que um segmento de reta tem o mesmo número infinito
de pontos que um quadrado, teoricamente isso pode ser estendido para
uma reta infinita e um plano infinito, que têm o mesmo número
infinito de pontos.
- [1] "Reforço" de conhecimentos que já tinha,
da geometria projectiva. [2] Não consegui compreender a 100%
a parte sobre números, talvez também devido ao cansaço
no final do dia. [3] Achei excelente a didática e todo o ambiente
que o palestrante soube criar. RESP.: Estude a apresentação
em ppt, provavelmente vai compreender tudo, pois não é
complicado.
12. 29/10/21 palestra remota nos Seminários de Estudos em Epistemologia
e Didática (SEED)/Seminários de Ensino de Matemática
(SEMA) da Faculdade de Educação da USP (FEUSP). Questões
adicionais: [4] Grau de satisfação com a palestra: (1 -
muito insatisfeito a 5 muito satisfeito) 100% de 5; [5] Aprendeu coisas
novas (100% de SI Sim) [6] Área - 100% de CE Ciências
exatas e engenharia.
- [1] Sobre os vários pontos de fuga - não tive geometria
projetiva em meus cursos. [2] A divisão do plano infinito. [3]
Muito boa abordagem sobre os vários infinitos. [4] 1. [5] SI.
[6] CE. RESP.: Quando se pensa sobre o plano infinito, não
se pode usar imagens baseadas no mundo físico.
11. 26/10/21 palestra remota para alunos, professores, e interessados,
organizada pela Escola Waldorf Veredas de Campinas. Questões adicionais:
[4] Grau de satisfação com a palestra: (1 - muito insatisfeito
a 5 muito satisfeito) 100% de 4; [5] Aluna/o do ensino fundamental (33,3%
de EF ensino fundamental , 66,7% PR professor); [6] Aprendeu coisas novas:
100% de SI sim, interessantes.
- [1] Acho que o mais importante que eu aprendi foi a entender melhor
os conceitos de infinito dentro da matemática e da física,
junto com suas relações e semelhanças. [2] Acho
que por eu ainda estar no nono ano, que seria o último ano do
fundamental, não consegui entender direito o conceito de comparação
e relação entre dois conjuntos de números infinitos,
como por exemplo os números naturais e os números pares.
[3] Eu gostei bastante e começo cada vez mais a me interessar
pela matemática. [4] 4. [5] EF. [6] SI. RESP.: Quem sabe
se você baixar a apresentação e estudá-la
calmamente você vai entender. Gostaria de saber o resultado disso!
Ou, melhor ainda, leia o livro. O importante é compreender a
associação biunívoca que construí. Que ótimo
que você está começando a se interessar pela matemática,
ela tem as pectos fascinantes e é fundamental para se desenvolver
um raciocínio claro e ordenado e concentrado.
- [1] Que o tema dos números infinitos é muito interessante
e, às vezes, contraria nossa intuição. [2] Sobre
a teoria Big Bang, os paradoxos e modelos usados para lidar com os mesmos.
[4] Achei o tema e abordagem muito interessante, mas o conteúdo
muito longo para uma única palestra. No formato virtual é
bastante extenuante tanto tempo de atenção a este conteúdo.
No fim, alguns conteúdos precisaram ser desenvolvidos de forma
rápida, portanto superficial. Minha percepção é
que a abrangência do conteúdo seria adequada a um minicurso
e seria interessante adequar a quantidade de informações
e questionamentos para uma palestra de 1h, especialmente se for no formato
virtual. [4] 4. [5] PR. [6] SI. RESP.: Contraria a nossa intuição
baseada em nossas experiências sensoriais. É preciso desenvolver
também uma intuição que não é baseada
no mundo físico que percebemos. É minha opinião
pessoal que o Big Bang não é uma teoria satisfatórica.
Uma das evidências para ele é a irradiação
de fundo, mas ela poderia ter outras causas. A expansão do universo
não é um bom argumento, pois ela deveria desacelerar,
em lugar de aparentemente estar acelerando. Parece-me que a teoria do
Big Bang é devida a um raciocínio baseado na percepção
sensorial, mas a origem da matéria e da energia escapa a esse
tipo de pensamento. Sim, o ideal é que tudo fosse desenvolvido
muito mais devagar, em várias aulas. Infelizmente foi necessário
comprimir tudo e ir muito rápido. Achei que era importante abordar
todos os tópicos abrangidos.
- [1] Maneiras diversas de bordar e explorar o infinito com os alunos
e alguns aspectos históricos bastante interessantes. [2] {Vazio}
[3] São abordados muitos conceitos e maneiras diferentes sobre
como pensar sobre o infinito. Para os alunos que nunca tiveram contato
com isso, talvez fique muito abstrato e não haja um tempo para
uma reflexão e uma exploração da imaginação
(especialmente nas ideias que se referem à geometria projetiva).
Refletir sobre o infinito requer capacidade imaginativa e um "abandono"
da representação física. Pensando nos alunos, fiquei
com a pergunta se a palestra não fica muito densa e se eles de
fato conseguem manter a concentração por tanto tempo e
com assuntos tão profundos. Foi uma palestra muito interessante
e motivadora! Gratidão! [4] 4. PR. [5] SI. RESP.: Infelizmente
a palestra não pode ser feita com mais lentidão, devido
ao tempo. De qualquer modo, a apresentação em ppt é
suficientemente detalhada para os alunos poderem estudá-la.
10. 30/9/21 palestra remota retransmitida pelo youtube
e gravada nele, para professores de matemática e ciências
da natureza, e interessados, organizada pelo Núcleo Pedagógico
da Diretoria de Ensino, Carapicuiba, SP, dentro do projeto Embaixadores
da Matemática do IME. Info: Profa. Antonia Zulmira da Silva proftudojuntoantoniazs
attt gmail pt com. Perguntas do formulário
de avaliação e estatísticas: [1] Grau de satisfação
(1 - muito insatisfeito a 5 muito satisfeito) 25% de3, 40% de 4, 35%
de 5; [2] O que aprendeu de mais importante? [3] Quais as maiores dúvidas
que ficaram? [4] Comentários; [5] Aprendeu coisas novas (SI - sim,
interessantes 89,5%, SN - sim, não interessantes, N - não
10,5%); [6] Uso do assunto (PU - professor/a e vai poder usar em
aulas 73,7%, PN - profesor/a, não vai pode usar em aulas
21,1%, NP - não é professor/a 5,2%); [7] Área
(M - matemática 50%, CN - ciências da natureza 35%,
CH - ciências humanas 15%, LCT - linguagens, artes etc.,
OU - outra).
- [1] 5 [2-4] {Vazios} [5] SI [6] PU [7] M. RESP.: Pena que essa
e outras pessoas deixaram itens vazios! Assim não me ajuda e
as outras pessoas também.
- [1] 5 [2] Abordagem sobre conceitos, diagrama de Venn o subconjuntos
de infinitos impares [3] nenhuma gostei bastante [4] muito boa a formação
[5] SI [6] PU [7] CN. RESP.: Não abordei o diagrama de
Venn pois ele ilustra os conceitos de intersecção, união,
subconjunto, e complemento de conjuntos, e não eram tópicos
da palestra. Talvez fosse interessante abordar o diagrama em relação
a conjuntos infinitos, por exemplo a interseção do conjunto
dos naturais ímpares com o conjunto dos naturais múltiplos
de três; ela também é infinita. Mas os diagramas
de Venn não ajudam a se tirar conclusões sobre as cardinalidades
dos conjuntos. Infelizmente a palestra já está longa demais.
Talvez para uma nova edição do livro... Agradeço
a sugestão.
- [1] 3 [2] Sou da área de ciências da natureza. Então
achei bem produtivo o que foi apresentando [3, 4] {Vazios} [5] SI [6]
PN [7] CN. RESP.: Interessante você ser da área
de CN e ter aproveitado. Obviamente, eu esperava um maior aproveitamento
pelos professores de matemática, com sugestões para suas
aulas. Mas a palestra foi idealizada para um público geral, como
conhecimento adicional, e pela abordagem das questões filosóficas,
que considero muito importantes para que se veja a possibilidade e importância
de se mudar a maneira de pensar.
- [1] 4 [2] aprofundamento da relação música/arte
e matematica [3] cardinalidade [4] {Vazio} [5] SI [6] PU [7] CH. RESP.:
Tanto no ensino médio quanto no fundamental a matemática
devia ser sempre apresentada esteticamente, e isso deve ser feito com
a geometria; os alunos deviam ser incentivados a fazer bonitos desenhos
coloridos. Aliás, aproveito para dar uma sugestão didática:
incentivem seus alunos a decorarem seus cadernos de anotações,
pelo menos colorindo as margens. Com isso eles terão muito mais
prazer em estudá-los! Quanto à cardinalidade, reveja a
apresentação e talvez o livro. É um conceito muito
simples. Já não o é para conjuntos infinitos, mas
acho que dá para compreender.
- [1] 3 [2-4] {Vazios} [5] N [6] PN [7] M. RESP.: Interessante
que essa pessoa, que colocou uma avaliação indiferente
para o grau de (in)satisfação, disse que não aprendeu
nada de novo. Será possível? A organização
de minha palestra foi totalmente original; essa pessoa poderia ter reconhecido
que aprendeu uma maneira nova de apresentar esses assuntos. Além
disso, é muito difícil que ela tenha lido ou ouvido antes
as considerações filosóficas que eu fiz - a abordagem
também foi original. Então não aprendeu nada de
novo? E os exercícios meditativos que eu sugeri, não foram
uma novidade? Pena - e interessante - que essa pessoa não colocou
seu endereço de e-mail, pois eu teria escrito tudo isso
para ela (não sei se verá essa síntese das avaliações).
- [1] 4 [2] Aumentar minha perspectiva é capacidade de abstração
[3] Como fazer o aluno se interessar e focar no assunto o suficiente
para ter algum aprendizado significativo. [4] A defasagem em Matemática
está realmente chegando ao extremo do aluno não saber
"quanto é 2 + 2"! [5] SI [6] PU [7] CN. RESP.:
Interessante você ter escrito que a palestra serviu para aumentar
a sua capacidade de abstração. Cuidado, não se
trata de uma abstração sem realidade. Chamei várias
vezes a atenção para o fato de que os conceitos existem
no mundo platônico das ideias, que não é físico.
Ela é tão objetivo e universal quando os objetos do mundo
físico! Quanto a interessar o alunos, posso resumir alguns pontos:
dar aulas com entusiasmo pela matéria - isso irradia para os
alunos, que também se entusiasmam; apresentar sempre dados biográficos
e históricos ligados ao que é ensinado, pois assim introduz-se
uma realidade nos assuntos, pois foram coisas que aconteceram; na matemática,
sempre introduzir os tópicos por meio da geometria, pois ela
apresenta um elemento estético, que vai tocar os sentimentos,
não ficando apenas nos pensamentos abstratos. E assim por diante;
na matemática, começar qualquer tópico novo com
aplicações práticas, para depois introduzir a teoria;
aí a teoria adquire sentido. Veja os últimos capítulos
de meu livro A matemática pode ser interessante... e linda!
- detalhes na minha home page. Quanto à "defasagem"
da matemática, acho que isso é um problema da maneira
como ela é ensinada, em geral muito abstrata.
- [1] 5 [2-4] {Vazios} [5] SI [6] NP [7] CH.
- [1] 4 [2] [3] Conceitos Básicos para o Ensino Fundamental [4]
Quero ler o Livro [5] SI [6] PU [7] M. RESP.: Atenção:
essa palestra e os assuntos abordados não foram pensados para
o ensino fundamental. Mas a perspectiva poderia ser introduzida na 8ª
série, como é feita com sucesso no 7° ano da Pedagogia
Waldorf (uma de minhas grandes fontes de inspiração).
Ótimo querer ler o livro, foi a única avaliação
nesse sentido. Por favor, depois de ter lido uma boa parte, preencha
o formulário de avaliação com link no meu
site, ao lado do livro.
- [1] 4 [2] Uma outra forma de aplicar os temas abordados [3] Aprofundar
e praticar os temas [4] Muito bom! Mas na prática do dia a dia
[5] SI [6] PU [7] M. RESP.: Obrigado por ter reconhecido que
apresentei os tópicos de uma forma original. Pena que a pessoa
que fez a avaliação N° 5 não conversou com
você! Quanto à prática do dia a dia no ensino, acho
que dei várias sugestões de didática; se você
é professor/a de ensino médio, acho que vários
dos tópicos podem ser abordados. Não é necessário
seguir o currículo padrão, se se reconhece que há
tópicos importantes para a formação da/o aluna/o.
Quanto à prática do dia a dia na vida comum, penso que
as indicações que dei sobre a natureza de nosso pensamento
são muito importantes, como por exemplo reconhecer que com o
pensamento estamos sempre completando a percepção com
o conceito dos objetos, e que esses conceitos são realidades
objetivas e universais no mundo platônico das ideias, que não
é físico.
- [1] 5 [2] Números irracionais [3] A que nível aplicar
[4] Estado contratar palestrante para forma [5] SI [6] PN [7] CN. RESP.:
Sobre os irracionais, reveja a apresentação ou leia o
livro. Especialmente, estude e compreenda a demonstração
de que a raiz quadrada de 2 não é racional. Quanto ao
nível, a palestra foi pensada para alunos dos últimos
anos do ensino médio e para público com pelo menos esse
nível. Mas veja a avaliação N° 8 para a questão
da perspectiva. Obrigado, não quero ser contratado por nenhum
Estado e nenhuma empresa. Tenho muitas coisas a fazer - mas poderia
dar alguns conselhos...
- [1] 4 [2] A importância da aula de Matemática diversificada
na vida dos educando do Ensino Médio. A necessidade de uma linguagem
mais acessível e práticas dos conteúdos ministrados.
[3] Gostaria de saber mais sobre atividades diversificadas para alunos
do ensino médio. [4] Palestra de excelente qualidade e um palestrante
que está a altura do desafio de ensinar. [5] SI [6] PU [7] M.
RESP.: Sim, sempre que possível, uma aula deveria abordar
vários tópicos. Veja a avaliação N°
6. Não sei se você reconheceu que eu tentei introduzir
os tópicos de uma maneira bem simples e acessível. Tenho
outras palestras para ensino médio, mas várias são
presenciais e algumas não estão listadas no site
dos Embaixadores da Matemática, pois não têm nada
de matemático ou computacional. Obrigado pela "excelente
qualidade", espero ter servido de um bom exemplo.
- [1] 3 [2] O olhar do educador ao se deparar com temas de complexos
e qual melhor abordagem [3] Até que ponto podemos escolher falar
o real entendimento da matéria? Pois acredito que a visualização
de um sistema mais simples configura o primeiro passo para o entendimento,
na sequencia essa ideia pode ir evoluindo, como exemplo a natureza atômica
[4] A palestra poderia ser dividida em mais tópicos e discorrido
pontualmente, em novos ATPCs acabou ficando uma palestra muito pesada
de conteúdo complexo. [5] SI [6] PU [7] CN. RESP.: Acho
que a melhor abordagem é a que é bem simples, partindo
de exemplos práticos etc. (Veja a avaliação N°
6.) Não entendi a dúvida [3]. Talvez como saber se os
alunos estão entendendo a matéria? Para isso, recomendo
fazer-se perguntas constantes para os alunos. Como eu disse na palestra,
aprender o nome da/o aluna/o quando se faz uma pergunta a ela/e - isso
produz um contato pessoal. Além disso, incentivar a que faça
uma pergunta/comentário qualquer, pois se for errada/o será
uma grande ajuda para mostrar que as coisas não são daquele
jeito. O processo educacional padrão massacra a criatividade
e a liberdade das/os alunas/os! Elas/es ficam até sem coragem
de pensar, de medo de errar!!! Isso é um crime educacional. Finalmente,
fazer avaliações em cada aula com as 3 perguntas principais
desta avaliação, na aula seguinte comentar algumas avaliações
- assim se faz um gancho entre uma aula e outra, partindo do que as/os
próprias/os estudantes expressaram.
- [1] 4 [2] Achei tudo importante [3] Foi tranquilo [4] Boa palestra
[5] N [6] PU [7] M
- [1] 4 [2] Sobre o infinito que converge a um ponto. [3] Alguns detalhes
ligados a física e também ficou muito complexo para passar
a alunos do EF [4] A visão geral da geometria é maravilhosa
desde que a aplicaçao seja visível. [5] SI [6] PU [7]
M RESP.: Sim, pensei nessa palestra, e a tenho dado, para alunos
das 2ª e 3ª séries do médio. Sobre o uso no
fundamental, veja a avaliação Nº 8. Infelizmente
o infinito não em uma aplicação prática,
além de desenvolver um pensamento matemático. Mas quem
sabe os aspectos surpreendentes façam as/os alunas/os se interessarem.
- [1] 3 [2] O infinito é uma criação humana [3]
Fazer com que os alunos entendam um conceito tão abstrato. [4]
O conceito de infinito exige dos alunos uma abstração
que muitos ainda não tem. Talvez por falta de aquisição
de alguns conceitos matemáticos, deixados par trás ao
longo dos anos, e também pela falta de maturidade das crianças.
[5] SI [6] PU [7] M. RESP.: A matemática existe no mundo
platônico das ideias e é só descoberta, ou é
inventada, isto é, novas ideias matemáticas são
introduzidas naquele mundo? Sim, o infinito exige um bocado de abstração,
mas talvez sirva para desenvolvê-la. Por exemplo, acho que o caso
dos infinitos da reta pode ser compreendido com uma certa facilidade,
assim como a cardinalidade infinita dos subconjuntos dos naturais ser
igual à de seus subconjuntos, e também a dos racionais.
- [1] 5 [2] Muitos saberes......mas "perspectivas" surpreendentes!
[3] Incomensurabilidade... [4] Outras palestras, outros temas... [5]
SI [6] PU [7] CN. RESP.: Que bom que você reconheceu que
eu apresentei coisas surpreendentes - foi a única avaliação
com isso! Eu achava que era tão óbvio... Acho que a noção
de incomensurabilidade é fundamental. Será que daria para
ilustrar no quadro-negro com a diagonal do quadrado e medindo em cm
com uma régua? Por exemplo, com um lado de 20 cm a diagonal vai
ter quase 28,3 cm; talvez os 0,3 cm fiquem bem claros mostrando que
o tamanho da diagonal não dá um número inteiro
de cm.
- [1] 4 [2] Foi importante o entendimento dos conceitos e diferentes
formas. [3, 4] {Vazios} [5] SI [6] PN [7] CH
- [1] 5 [2] As diferentes formas de tratar do assunto. [3, 4] {Vazios}
[5] SI [6] PU [7] CH
- [1] 3 [2] Que a matemática é uma ciência a qual
se divide em dois mundos; O mundo da matemática pura, que é
perfeito e o mundo real em que aplicamos a matemática onde as
vezes não é tão perfeita e exata assim. [3] Não
ficou dúvidas, o assunto apresentado gera mais perguntas e questionamentos
em relação ao assunto infinito, o que é bom ao
meu ver. O tema demostrado pelos matemáticos e pelo professor,
do ponto de vista matemático, são sempre axiomas (peço
que acredite) pois, não temos como mensurar ou demostrar o infinito,
visto que até aqui, não se demostrou ou provou o infinito
de uma outra forma.Fica a pergunta: Será que é possível
demostrar o infinito de outras forma já existente??? [4] Os assuntos
matemáticos são sempre interessantes, porém precisamos
observar qual o objetivo foco e público alvo. [5,6] {Vazios!!}
[7] M. RESP.: Sim, a matemática pura é exata; a
física experimental é sempre aproximada (medidas são
sempre aproximadas). Quando se têm objetos claramente distintos,
a contagem deles (numerais cardinais) ou a sua ordenação
(números ordinais) também é exata. Operações
aritméticas com esses números também são
exatas, e tudo isso foi aplicado a objetos reais. O que apresentei sobre
o infinito não é uma teoria axiomática. Foram usados
princípios, como o de ponto e reta. Não é possível
definir uma reta. Eu apresentei uma forma de mostrar conceitos de infinito;
deve haver outras formas; por exemplo, no cálculo diferencial
e integral também se usa o conceito de infinitamente pequeno
(ex. dx, dy). Sim, objetivo e foco deveriam estar sempre na mente do/a
professor/a, e não simplesmente seguir um currículo. Por
exemplo, ele/a deveriam sempre se perguntar: "Por que estou dando
este assunto?" "Qual a importância dele e da maneira
como é apresentado?"
- [1] 5. [2] Tudo que foi passado da para adaptar.os a sala de aula
e enriquecer os conhecimentos dos alunos. Ideias si.es que podem fazer
a diferença. [3] A linguagem utilizada foi de fácil compreensão
[4] Precisamos desse apoio [5] SI. [6] PU. [7] M. RESP.: Ótimo
que você achou que dava para aproveitar em sala de aula. Acho
importante abordar um pouco o conceito de infinifo na matemática,
e mostrar que ele não tem nada a ver com nossos pensamentos baseados
no mundo físico. Talvez a propriedades surpreendentes dele ajudem
a despertar o interesse dos alunos.
9. 21/9/21 palestra remota no seminário do "Grupo de estudos
sobre a abordagem da natureza pela complexidade", Info: Info:
profs. Carlos I. Z. Mammana cizmmaisnada arr uol pt com ponto br, Alaide
Pellegrini Mammana alaidepontomammana idem. Graus de satisfação
(1 - muito insatisfeita/o; 5 - muito satisfeita/o): 20% de 2,
20% de 3, 60% de 5. Questão 5 "Aprendi coisas novas":
SI (sim, interessantes) 100%; SNI (sim, não interessantes;
N (Não) . Questão 6 "Sou da área de":
CE "Ciências exatas/engenharia) 80%; CB (biomédicas);
CH (humanas); 20% AR (artes); OU (outra).
- [1] É importante ter perspectiva histórica. [2, 3] [Vazios]
[5] S [6] CH. RESP.: A história e as biografias deviam
ser usadas em todas as matérias, em todos os níveis, pois
contém algo de real e faz uma ligação do presente
com o passado. Afinal, não chegamos aqui caídos do céu...
[É interessante notar que essa pessoa foi a única da área
de ciências humanas, e a que classificou o índice de satisfação
como 2. Pensei que minha palestra fosse acessível a pessoas de
qualquer formação, pelo menos uma boa parte dela, quem
sabe excluindo algo da parte de conjuntos de números]
- [1] O infinito é ouro [outro?] pensamento e não é
físico! [2] Eu me senti de volta ao passado! [3] Penso que precisa
ter maturidade para estes aprofundamentos. [5] S [6] CE. RESP.:
Em minha concepção do ser humano e do mundo, opensamento
não é físico; as atividades cerebrais ligadas a
ele são uma consequência, e não uma causa; o cérebro
é necessário pois reflete (refletir = pensar!!!) o pensamento
para a consciência. Há muitas evidências nesse sentido,
mas têm que ser vivenciadas por cada pessoa. Por exemplo, o fato
de se poder escolher o próximo pensamento e se concentrar o pensamento
em um tema. Se o pensamento fosse gerado pelo cérebro, ele iria
pipocar aleatoriamente, seria imposível concentrá-lo.
- [1] O infinito do mundo físico. [2] A questão dos números
transfinitos. Existem só o aleph0 e aleph1 ? Ou existem outros
? Quas seriam os outros ? Seriam enumeráveis ou finitos? [3]
Sou Engenheiro Eletricista, e portanto muitos dos conceitos apresentados
eu já tinha visto na minha graduação. Só
a parte final da apresentação é que trouxe algumas
novidades. [5] S [6] CE. RESP.: Não, existem infinitos
alefs. Como mostrei, o alef0 é a cartinalidade dos naturais;
o alef1 a cardinalidade do conjunto potência (de todas as partes
ou subconjuntos) dos naturais. O alef2 seria o conjunto das partes do
alef1 e assim por diante. Sim, como conjuntos, eles são enumenráveis
(os índices dos alefs já mostram isso), mas a partir do
alef1 não é possível enumerar os seus elementos,
como é também o caso do conjunto dos reais. Você
aprendeu na faculdade algo sobre o plano projetivo? Provavelmente não.
Imagino que por "parte final" você se referiu aos conjuntos
de números e ao mundo físico.
- [1] Que pensar é livre, ilimitado e infinito [2] Como aplicar
o infinito na matemática para auxiliar o crescimento individual
e da humanidade ? [3] Muito obrigado por alimentar minha mente [5] S
[6] CE. RESP.: Sim, temos liberdade total, livre arbítrio,
no pensamento. Mas, cuidado, a liberdade está na decisão
do que pensar e na decisão de concentrar o pensamento, e não
no pensamento em si. Isto é, temos liberdade no querer, na vontade.
O pensamento é apenas o instrumento usado no exercício
do livre arbítrio. A causa do livre arbítrio, como o nome
muito bem o diz, está no querer. Para completar, também
não tempos liberdade nos sentimentos. Se você tem uma sensação
(por exemplo, do gosto de algo que está comendo) e se gosta ou
não dessa sensação são reações
incontroláveis. Os sentimentos podem ser educados, mas leva tempo.
Mais tempo ainda os impulsos de vontade. Que bom que alimentei sua mente,
isto é, fiz você pensar, e certamente de uma maneira não
usual.
- [1] Conceitos abstratos expandem sua propria compreensão e
visão de mundo. Sendo um exercício deve ser praticado
sempre. [2] São duvidas que já existiam antes, como o
conceito de universo seu inicio e fim. O infinito é uma abstração,
uma realidade ou os dois? Ao meditar sobre a ciência o que nos
faz mais racionais que aqueles que, por conceitos que advêm de
convicções, nem sempre o são? Não me considero
iluminado, talvez privilegiado. Mas será? [3] Tenho fascinação
por perguntas que me fazem parar para pensar. A história da humanidade
é mais que fascinante. A educação deveria ser uma
busca de vida de todas a pessoas. [5] S [6] CE. RESP.: Cuidado,
não fique apenas nos pensamentos abstratos! Vivenciar e pensar
sobre a relidade física é fundamental, pois isso nos faz
ficar com o "pé no chão", e não começar
a voar em abstrações, perdendo o senso da realidade. Quanto
ao universo, acho fundamental saber-se que o início físico
dele não faz sentido físico, isto é, essa origem
não é física como, aliás, mostram profundamente
as imagens da Gênese bíblica, e todos os mitos da criação.
O infinito é uma realidade no mundo platônico das ideias,
que podemos observar com nosso pensamento. Além disso, é
uma realidade objetiva pois podemos trabalhar com ele matematicamente.
Se eu fiz você pensar, fico imensamente contente! Mas, cuidado,
não pare, exercite um pensamento dinâmico, como os que
exemplifiquei (por exemplo, imaginando uma figura diminuindo de tamanho
até tornar-se um ponto, depois a expandindo novamente e assim
por diante. Podem-se ter convicções, mas elas devem ser
hipóteses de trabalho, sempre sujeitas a revisão e comprovação.
Na minha opinião, ter crenças é voltar ao passado,
o que não é sadio. O ser humano moderno deveria ter hipóteses
de trabalho e sempre querer compreender.
8. 4/9/21 palestra remota organizada pelo Instituto Rudolf Steiner
e o Ramo Sofia da Sociedade Antroposófica no Brasil, ambos de Curitiba.
Info: Kátia Sequeira katiamariatudojuntosequeira arr gmail ponto
com, Zuleika Hauszler zuleikatudojuntohauszler at hotmail dot com. Graus
de satisfação (1 - muito insatisfeita/o; 5 - muito satisfeita/o):
12,5% de 2, 12,5% de 3, 25% de 4 e 50% de
5. Questão 5 "Aprendi coisas novas": SI (sim, interessantes)
87,5%; SNI (sim, não interessantes. N (Não) 12,5%.
Questão 6 - EM (ensino médio); ES (ensino superior/pós)
37,5%; OU (outro) 62,5%. Questão 7 - estudo/formação/atuação
em: CE (ciências exatas/engenharia) 57,1%; CB (biomédicas);
28,6% CH (humanas); 14,3% AR (artes); OU (outra). Questão
8 - Antroposofia: M (membro da Sociedade Antroposófica no Brasil)
12,5%; NM (Não é membro, mas conhece a antroposofia
razoavelmente) 87,5%; NC (Não conhece ou conhece muito pouco
a antroposofia). Houve 29 participantes.
- [1] Revi diversos conceitos, sob novas óticas. São sempre
novas óticas, e isso é aprender. [2] [Vazio]. [3] [Vazio].
[5] NM. [6] OU. [7] [Vazio] [8] NC.
- [1] Que o conceito de infinito é mais ideal que material e
portanto se relaciona com o suprassensível, com o espiritual.
[2] A ideia do Universo curvo x o infinito. [3] O Prof. Valdemar, com
seu entusiasmo, é muito inspirador. [5] SI. [6] ES. [7] CH. [8]
M. RESP.: Sim, o conceito de infinito da matemática não
tem nada a ver com o mundo físico. Como eu disse na palestra,
a ideia do universo curvo não refresca nada; se ele é
curvo, deve haver algo fora dele. O que é? O nada? Até
onde vai o nada? Por isso fiz a conjectura que nos limites do universo
a matéria desaparece, resta o que é espiritual.
- [1] A lógica com que pensamos o infinito é diferente
daquela que tratamos o mundo físico. [2] Seria mais próximo
de um pensamento espiritual? [3] O conteúdo é muito extenso.
Não é possível acompanhar com qualidade as falas.
Me senti meio atolada em informações que gostaria de refletir
melhor. [5] SI. [6] OU. [7] CE. [8] NC. RESP.: Sim, deve-se usar
uma lógica que não é baseada na nossa percepção
do mundo físico. Sim, o conteúdo é extenso, mas
você pode baixar a apresentação e ler o livro e
estudá-los calmamente. Infelizmente, é preciso dar tudo
de uma vez em uma única palestra.
- [1] A visão dos infinitos. [2] O infinito e a divisão
em partes. [3] Conteúdo interessante na medida que pode trazer
novas vivências para a sala de aula. [5] SI. [6] ES. [7] CE. [8]
NC. RESP.: Sim, acho importante que os alunos do ensino médio
ouçam algo sobre o infinito, afinal ele é muito mencionado,
assim como, por exemplo, "probabilidade", "média
móvel"... Espero ter mostrado como ele pode ser abordado.
Nas escolas Waldorf ensina-se perspectiva; é uma ocasião
para se falar do infnito!
- [1] Será que podemos dizer que somos co-criadores nesse universo
que estamos? [2] Não saberia colocar agora. Não sou matemática.
Sou apenas curiosa! [3] Sou espectadora dos assuntos da Antroposofia!
Sempre aprendo!.[5] SI. [6] OU. [7] CE. [8] NM. RESP.: Sim, somos
criadores. Quem é que está mudando a Terra do ponto de
vista físico? São os seres humanos, infelizmente em geral
para pior. Adquirimos liberdade mas não desenvolvemos o conhecimento
e a consciência para usá-la exclusivamente para o bem.
- [1] Sobre como que a espiritualidade está ligada às
questões matemáticas e como é interessante trabalhar
com isso na educação. [2] Algumas poucas questões
de conceitos matemáticos, pois não sou da área,
mas isso não interferiu no aproveitamento da palestra. [3] Deu
vontade de retomar os estudos de matemática. [5] SI. [6] OU.
[7] CH. [8] NM
- [1] Aprendi o que é Espiritualidade, graças à
visão de conjunto das relações conceituais: matemáticas,
geométricas, históricas e filosóficas. [2] São
dos seguintes itens: - 5. O conjunto de números racionais; -
6. O Conjunto de números reais. [3] [Vou numerar as várias
partes para ficar claro, posteriormente, o que estou comentando.] {1}
Na realidade, a primeira parte da palestra, dos itens 1 ao 4, foi extremamente
gratificante. Pois, pela primeira vez entendi o que é Espiritualidade...foi
como ter epifania...Já a segunda parte, do item 5 ao 6, apesar
da excelente didática do professor, não consegui acompanhar,
devido ao alto nível de abstração matemática
dos números racionais e reais. {2} Esta palestra acentuou uma
pergunta que sempre me faço, com base na assertiva de Rudolf
Steiner, a seguir: Podemos retirar conceitos de uma realidade
observada, como retiramos água de um copo... Percebemos,
na evolução da palestra, que através dos conceitos
matemáticos, geométricos, históricos e filosóficos,
pudemos entender de forma simples um conceito altamente complexo - a
Espiritualidade. {3} Portanto, analogamente, ao observarmos um quadro,
ou um terreno, para interpretá-los de forma objetiva e intuitiva,
as leituras individuais dos observadores podem convergir para uma interpretação
única, pois, a ideia geradora do quadro ou do terreno é
una, como a semente de uma árvore que contém a árvore
toda. Perguntas: - {4} Cada observador tem sua própria interpretação
de um quadro, ou de um terreno? - As diferentes interpretações
de um quadro, ou de um terreno, podem ser complementares? Quando digo
- foi como ter epifania - quero dizer que a palestra do Professor Valdemar
foi gratificante ao me revelar o que é Espiritualidade. {5} Contudo,
a terceira parte - 8. O infinito no mundo físico - poderia ter
coroado as revelações tão importantes, se não
fosse o exíguo tempo restante. [5] SI. [6] OU. [7] AR (arquiteto).
[8] NM. RESP.: {1} Tenho a impressão que a prova de que
o conjunto dos racionais tem a mesma cardinalidade que o dos naturais
é muito simples; basta entender como a matriz dos racionais é
construída, e como ordenar seus elementos. Já para os
reais a diagonalização de Cantor é um pouco mais
complexa, mas acho que dá para ser compreendida por quem não
é matemático. . Reveja a apresentação ou
estude o livro; se ainda tiver problemas, por favor me comunique. {2}
Não conheço a frase de Steiner, gostaria de saber a origem
dela. "Retirar" não é uma boa expressão
(talvez haja aí um problema de tradução). Não
se "retira" um conceito do mundo platônico das ideias,
mas se o "percebe". É uma percepção diferente
da sensorial, mas pode ser tão objetiva quando esta. Por exemplo,
olhando para a entrada de sua sala ou quarto, você dirá
que há uma "porta". E todas as pessoas com mente e
visão sadias dirão que é uma "porta".
Só que "porta" é um conceito, que se aplica
a todas as portas. É a essência do objeto que você
está olhando. Chegamos ao conceito por meio do pensar, e como
ele é o mesmo para todas as pessoas, é objetivo e universal,
isto é, não depende do julgamento de cada um. Estude o
livro "A filosofia da liberdade", mas aguarde a nova edição,
que será muito melhor do que as duas traduções
anteriores. Acho que sairá no próximo semestre (eu e minha
esposa estamos terminando ocotejo extremamente cuidadoso, de uma nova
tradução com o original, ). {3} Para mim, uma concepção
de mundo espiritualista é muito simples: trata-se de admitir,
idealmente por hipótese de trabalho e não por crença,
de que existem "substâncias", seres e fenômenos
que não são físicos. Nessa palestra, tentei mostrar
que podemos trabalhar mentalmente com conceitos claros e objetivos (no
caso, os vários infinitos) que não têm nenhuma correspondência
física e são, portanto, uma prova da existência
de um mundo espiritual. {4} Sim, desde que se entre em contato com a
essência real do quadro (o que estava na mente do pintor) ou do
conceito que o arquiteto teve (no caso de ele observar um terreno e
imaginar algo sobre ele - o que é materializado pela planta que
ele desenha, sobre algo que pretende construir no terreno). {5} Sim,
mas uma só interpretação será a verdadeira,
isto é, captando a ideia do pintor (que pode ter sido inconsciente)
ou do arquiteto. Talvez várias interpretações possam
ajudar a se chegar à que realmente inspirou o quadro ou a planta.
Em alguns casos, isso é relativamente simples, como o quadro
"O grito" do Edvard Munch, que está na capa do meu
livro sobre "Inteligência" Artificial (ver em minha
home page; o quadro, expressionista, claramente quer mostra o
medo, o pavor que uma pessoa pode sentir. {6} Se a palestra contribuiu
para você ter uma revelação do que é pelo
menos um aspecto do mundo espiritual, o mundo dos conceitos, fico muito
satisfeito com o resultado, obrigado. {8} Sim, eu poderia ter ido muito
mais devagar e entrado em mais detalhes, mas infelizmente o tempo era
curto para tudo o que eu gostaria de ter dito... Agradeço a extensa
avaliação, uma raridade total nesta nossa época
em que as pessoas têm dificuldade de ter ideias e de se expressar,
além de acharem que tudo deve ser telegráfico.
- [1 - 2] [Vazios]. [3] Esperava uma abordagem maior da parte da espiritualidade.
Vejo que a palavra "espiritualidade" foi colocada considerando
o público da palestra, mas a palestra em si não mal tocou
nessa abordagem. Me senti desconfortável com algumas grosserias
com a organizadora. [5] N. [6] ES. [7] CE. [8] NM. RESP.: Curiosamente,
essa pessoa foi a única que colocou o grau 2 para a satisfação
(não houve nenhum 1). Acho que toquei bastante em espiritualidade,
como outras/os avaliaram. O essencial foi que ao se trabalhar com o
infnito não se está mais no mundo físico e nem
no que nosso pensar baseado nele pode fornecer. Tudo isso, que foi enfatizado,
é espiritualidade. Na apresentação em ppt não
aparece a palavra "espiritualidade" pois, como mencionei,
ela é dirigida a um público geral e não necessariamente
espiritualista. Curiosa a afirmação de que eu tratei a
organizadora com "algumas grosserias"; deve ter havido um
mal entendido, pois a tratei com carinho; talvez esse mal entendido
foi devido a algumas brincadeiras que fiz com ela. Finalmente, a menos
que a avaliadora esteja cursando um bacharelado em matemática,
a questão dos planos projetivos (infinitos) e dos conjuntos infinitos
de números deve em geral ter sido total novidade. Certamente,
como essa pessoa indicou que conhece a antroposofia razoavelmente, a
ligação que eu fiz dos assuntos com o pensar extra-físico
deve ter sido também total novidade. No entanto, ela colocou
no item [5] que não aprendeu nada de novo. Aliás, as estatísticas
de 12,5% foram unicamente devidas a ela.
7. 3/9/21, palestra remota com transmissão
pelo youtube, para alunos, professores, e interessdos, organizada
pelo Núcleo Pedagógico da Diretoria de Ensino, Carapicuiba,
SP, dentro do projeto
Embaixadores
da Matemática do IME. Info: Profa. Antonia Zulmira da
Silva proftudojuntoantoniazs attt gmail pt com. Graus de satisfação
da palestra; 1 - muito insatisfeita/o a 5 - muito satisfeito - 4,5%
de 1; 6,8% de 2; 25% de 3; 25% de 4; 38,6%
de 5. Item [5]: Aluna/o de EF - Ensino fundamental (11,4%);
EM - ensino médio (77,3%); SU - superior e pós-graduação;
OU - outro (11,4%). Item [6]: No caso de OU, a área de estudo
ou atuação. Total de participatnes segundo o NPDE:
435, sendo 80 on-line.
- [1] Nada de interessante nenhuma até agora nenhuma. [2] Nenhuma.
[3] Aula até que interessante a aula. [5] EM.
- [1], [2], [3] [Vazios]. [5] EM.
- [1] infinitos. [2] 0. [3] [Vazio]. [5] EM.
- [1] A física se relaciona com tudo ao nosso redor, desde a
arte até a matemática. [2] Nenhuma. [3] Estudem sobre
a inquisição além do que diz nos livros de história.
[5] EM. RESP.: Curiosíssimo que você chamou atenção
sobre a Inquisição, pois foi minha tia Anita Novinsky
que introduziu o estudo dela no Brasil e publicou muitos artigos e vários
livros sobre o assunto (o último será póstumo,
sobre o Pe. Antônio Vieira)
- [1] tudo. [2] nada. [3] muito legal. [5] EM.
- [1] sobre os atomos. [2] nenhuma. [3] palestra muito boa. [5] EM.
- [1] sobre física. [2] todas. [3] [Vazio]. [5] EM.
- [1] muitas informações que irei usar para estudar no
futuro. [2], [3] [Vazios]. [5] EM. RESP.: Comece revendo minha
apresentação.
- [1] Várias coisas. [2] Nenhuma, consegui esclarecer. [3] [Vazio].
[5] EM.
- [1] nem tudo e o que parece ser. [2] o medelo atomico de dalton.
[3] ele falou mt rapido, n entendi mt coisa, mais foi interessante.
[5] EM. RESP.: Gostei de sua observação de que
"nem tudo e[é] o que parece ser." É muito importante
saber que o que os sentidos nos revelam é uma parte muito pequena
do universo. Veja você própria/o: o que as pessoas veem
em você é praticamente zero perto de tudo o que você
já vivenciou (e gravamos todas as nossas vivências, quase
tudo no insconsciente) suas lembranças, seus desejos e ideias,
suas ideias etc. etc. Mesmo se você examinar uma pedra, mesmo
abrindo-a, não saberá nada da riquíssima história
dela. Curioso que você e outros chamaram a atenção
para o John Dalton, pois não o mencionei. No início do
séc. XIX, ele propôs um modelo do átomo como se
ele fosse maciço e indivisível, que se denominou "modelo
da bola de bilhar". Isso foi um século antes do modelo planetário
de Rutherford. Dalton fez a primeira teoria científica sobre
o átomo. Desculpe ter falado muito rápido, mas eu estava
preocupado com o tempo. Na verdade, esses assuntos deveria ser abordado
com muito vagar e com discussões. Mas espero ter deixado uma
impressão sobre eles e despertado o interesse, além de
ter mostrado que a matemática tem muito mais coisas do que vocês
estão aprendendo, e interessantes.
- [1], [2], [3] [Vazio]. [5] EM.
- [1] várias coisas. [2] nenhuma. [3] [Vazio]. [5] EM.
- [1] sobre as retas. eos números reais e maior que os naturais.
[2] sobre o mundo físico. [3] estão de parabéns.
[5] Prof. de matemática. RESP.: Exprimindo mais precisamente:
A cardinalidade do conjunto dos números reais é maior
do que a cardinalidade do conjunto dos naturais, são infinitos
diferentes.
- [1] Aprendi a questão de conceitos e representações
sobre o infinito. [2] Aulas como essa deveriam ser mais recorrentes
na rede. É sempre muito proveitoso ouvir outros profissionais
de cada área para auxiliar os professores e alunos.. [3] . [5]
OU [6] Prof. área de humanas.
- [1] a mistura da matematica com a arte. [2] metade da palestra. [3]
[Vazio]. [5] EM. RESP.: A matemática desperta sentimentos
estéticos quando é expressa por meio da geometria. Fórmulas
não podem ser lindas; desenhos bem coloridos podem ser!
- [1] os conceitos da geometria, números naturais e muito mais.
[2] foram todas resolvidas na video aula. [3] adorei o professor e a
plataforma, excelente aula e gostaria de parabenizar o professor Dr.
Valdemar. [5] EM. RESP.: Obrigado.
- [1] As retas infinitas. [2] O tempo e linear. [3] Muito boa palestra
parabéns. [5] EM. RESP.: Eu não disse que o tempo
é linear. O que eu falei sobre o tempo é que ele tem que
ser vivenciado, não pode ser observado como o espaço.
Vivenciamos o tempo quando observamos uma mudança no espaço.
Uma observação: a medida do tempo (segundos, minutos,
horas, dias etc.) é uma abstração arbitrária,
não é o tempo propriamente dito!
- [1] Que o infinito da matemática é diferente do da
física. [2] [Vazio]. [3] Super boa a palestra. [5] EM.
- [1] A relação da matemática com outras disciplinas.
[2] Algumas. [3] Muito boa a aula. [5] EM.
- [1] Aprendi bastante sobre a geometria. [2] Nenhuma. [3] Aula muito
boa gostei muito!. [5] EM.
- [1] A relação da matemática com Outras matérias.
Principalmente a arte, que é algo que eu gosto muito. [2] Não
tive dúvidas. [3] Gostei que fossem feitas mais lives assim,
só que de outras matérias também. [5] EM. RESP.:
Que ótimo que você gosta de arte, espero que pratique alguma
ou várias! A arte envolve pensamentos de outra natureza do que
os pensamentos abstratos.
- [1] Um pouco mais sobre geometria. [2], [3] [Vazios]. [5] EM.
- [1] as atividades foram meio que difíceis. [2] nenhuma. [3]
foi meio que que difícil pra mim. [5] EM. RESP.: Sugira
ao seu professor de matemática para ver minha apresentação
em ppt e depois explicar os tópicos para a classe.
- [1] A junção com as demais disciplinas. [2] [Vazio].
[3] Agradeço o conteúdo explicativo e conhecimentos que
aprimoraram as aulas que trabalho em sala de aula. [5] OU. [6]
Prof. [não colocou a área]. RESP.: Acho importante
sair do currículo padrão e mostrar outros aspectos da
matemática. Veja meu livro, em meu site, A matemática
pode ser interessante... e linda! para vários tópicos
que você pode usar em suas aulas.
- [1] Geométrica. [2] [Vazio]. [3] Geométrica. [5] EM.
- [1] Não conseguir entender muito. [2] Várias. [3] [Vazio].
[5] EM.
- [1] sobres os pontos. [2] apenas sobre daltôn. [3] Amei. [5]
EF. RESP.: Sobre o Dalton, veja a avaliação N°
10.
- [1] Os pontos que são infinitamente pequenos e o conceito
dos pontos. [2] {Vazio]. [3] Infelizmente não consegui acompanhar
por inteiro, pois foi, de certa forma, rápido de mais, vou procurar
ler o livro e me aprofundar, pois gosto muito do tema.. [5] EF. RESP.:
Comece estudando a apresentação em ppt.
- [1] Nada. [2] Nenhuma. [3] Nenhum. [5] EF.
- [1] Sobre os infinitos. [2] Quase a maioria. [3] {Vazio]. [5] EM.
- [1] Que a matemática é os números nos rodeiam.
[2] Sobre os números racionais e irracionais. [3] [Vazio]. [5]
EM.
- [1] Não sei direito, teve muita informação,
e as vezes aqui caia a conexão. [2] Nenhuma. [3] Foi satisfatório..
[5] EM.
- [1] Aprendi um pouco mais sobre a física sem ser só
os calculos e formas. [2] Tudo de física se torna complicado
como material de estudo, pois necessito de mais do básico para
o entendimento mutuo. [3] Nada a comentar. [5] EM.
- [1] A palestra ajudou na parte de matemática em alguns temas.
[2] Acho que nenhuma. [3] Aula boa todo mundo participando. [5] EM.
- [1] Ampliar a visão quanto ao conteúdo e metodologia.
[2] Grande oportunidade de ampliação e compreensão
do tema. [3] . [5] OU [6] Diretor/a de E.E.
- [1] Que matematica e muito interessante quando vc se aprofunda. [2]
Acho que nenhuma deu pra entender bem. [3] Professor esplica muito bem.
[5] EF.
- [1] Conceitos dos quais eu não possuía conhecimento,
como cardinalidade, geometria analítica, a diferença entre
reta e segmento de reta, como compreender o conceito de infinito na
matemática etc. [2] Em relação à Física,
e as grandezas infinitas envolvidas. [3] Eu gostei muito da aula, porque
acredito que apenas nessa aula, aprendi muito mais do que nesse ano
até o presente momento. Isto é principalmente influenciado
pela pandemia que nos afastou das escola, obrigando-nos a se adaptar
a um novo modelo de ensino ao qual não estávamos preparados.
Vale ressaltar que, com o tempo a educação regrediu muito,
principalmente na matemática, e eu consigo perceber isso com
uma observação simples: eu sou uma aluna de escola pública,
e sou a melhor da minha sala em matemática, e ainda tenho muito
o que aprender e não sei como fazer isso, porque durante todos
esses anos, minha única base de aprendizagem foi a escola, mas
agora eu compreendo que para ter o mínimo de conhecimento, necessito
ir muito além do que a escola me estabelece. Só assim
poderei adquirir conhecimento de forma independente e completa. Para
finalizar, gostaria de agradecer por essa oportunidade de aprofundar
o estudo da matemática - que aliás é minha disciplina
favorita - e desejar que futuramente tenhamos mais experiências
como está. Atenciosamente, [Assin]. [5] EM. RESP.: Compre
ou empreste livros de matemática - pegue um livro correspondente
à sua série, mas depois passe para séries mais
avançadas. Você verá que conseguirá estudar
sozinha, e quando tiver dúvidas, pergunte ao seu professor. Aposto
que ela/e ficará encantada/o com o seu interesse pela matéria!
Quando eu tinha 12 anos, fiquei com febre reumática, de cama
por um mês. Meu pai me deu um livro de matemática em francês
(naquela época 6 anos de francês eram obrigatórios
para todos os alunos), estudei o livro todo e fiquei com o conhecimento
de todo o ensino fundamental e grande parte do médio. Coragem!
- [1] Sobre finito e infinito. [2] Sobre os átomos. [3] Nenhum.
[5] EM.
- [1] Sobre os pontos e as linhas. [2] Nem uma. [3] Aula foi boa , mais
foi falada muito rápida ficou um pouco abstrata. [5] EM. RESP.:
De fato, mas não foi somente a fala; tudo deveria ter sido muito
mais vagaroso, mas infelizmente o tempo era curto.
- {1]. [2]. [3] [Vazio] [5] EM
- [1] Que o ponto contém todas as formas. [2] A teoria dos infinitos
universos. [3 [Vazio]. [5] EM.
- [1] O infinito pode ser compreendido como conceito matemático,
embora não seja algo físico. Praticamente tudo que vi
nessa palestra é novo. Mas esse detalhe é realmente intrigante.
[2] Em todas as demonstrações de divisão do plano,
considerando-o infinito, a ideia de que um infinito encontra-se com
outro é muito interessante. Poderia-se dizer que quando dois
infinitos se encontram fecham um ciclo? [3] Esse tema deveria ser mais
explorado nas aulas de matemática, pois ele nos aponta mais que
uma visão da geometria, da matemática... tocando em questões
filosóficas profundas, belas e intrigantes. Para nós que
não teremos mais essas oportunidades em sala de aula, ver palestras
assim é privilégio. Certamente vou ler o livro. [5] OU.
[6] Artes visuais. RESP.: Todos os conceitos matemáticos
não são físicos. Até mesmo o conceito de
um número como o 2. Esse conceito é o que há de
comum entre todas as representações simbólicas
do 2, como II, ii, dois, two etc. Esse conceito puro do 2 não
tem representação simbólica, mas é com ele
que trabalhamos, pois tanto faz qual a representação que
se usa, o resultado é o mesmo, por exemplo dois mais três
é igual a cinco. Se um conceito puro não tem representação
simbólica não pode estar no nosso cérebro! Está
no que mencionei como o mundo platônico das ideias. Não
sei o que você quer dizer com "ciclo". Num plano infinito,
os infinitos estão nesse plano. Caminhando-se imaginativamente
numa reta do plano numa certa direção, chegando-se ao
infinito volta-se pelo outro lado. Se isso é o que você
chamou de ciclo, que seja...
- [1] Não entendi nada. [2] Muitas. [3] [Vazio.] [5] EF. RESP.:
Essa palestra é dirigida a alunos do ensino médio, principalmente
dos 2° e 3° anos. Mas acho que, com boa vontade, até
mesmo alunos do ensino fundamental, talvez dos 8° e 9° anos,
podem aproveitar algo veja a avaliação N° 36.
- [1] Que qualquer imagem ou forma são infinitos pontos e que
pontos não podem ser divididos. [2] Por que vou precisar saber
disso? [5] EM. RESP.: Você já tinha ouvido falar
em infinito, não é? Pois se prestou atenção,
e estudar a apresentação ou o livro, vai ter uma ideia
do que é o infinito na metamática, e que para se lidar
com ele não é possível usar o pensamento baseado
no mundo físico. É muito importante estudar e exercitar
matemática pois ela ajuda a pensar claramente e requer concentração
mental. Isso é importantíssimo para a vida em geral. Mas
foi interessante sua pergunta: "Para que serve?" De fato,
no ensino médio tudo deveria ser dado com aplicações
práticas. Os jovens hoje não querem ficar apenas em pensamentos.
Nas próximas palestras desse assunto vou começar com essa
questão, obrigado!
6. 1/3/21, palestra presencial na Lapinha, Lapa, PR, acrescentando
os aspectos de espiritualidade.
- [1] O infinito é extremamente brincalhão com a intuição.
[2] Aonde todas as dúvidas sobre o infinito nos levarão.
[3] Lamento ter chegado tão tarde para tentar entender esse tema
que tanto me interessa. RESP.: Veja a apresentação
em ppt.
- [1] É impossível representar um ponto, não conseguimos
dimensionar, infinitamente pequeno. O ponto é subjetivo, está
no mundo espiritual. A matemática nos ajuda ajuda a ter contato
com o mundo espiritual. [3] Mudar o pensamento para "enxergar"
o infinito". Somos ilimitantes! RESP.: O conceito de ponto
gométrico, infinitamente pequeno, sem dimensões, não
é subjetivo, pois todas as pessoas captam o mesmo conceito. Sim,
a matemática pode nos ajudar a treinar a "observar",
com nosso pensamento, o mundo espiritual, pois fora a contagem de objetos,
ela não tem nada de físico.
- [1] Pensar no infinito é espiritualidade.
- [1] Que o ponto não pode ser dividido.
5. 16/10/20, palestra remota pelo Zoom para interessados, professores,
pais e alunos de várias unidades do Colégio Porto Seguro.
Info: Prof. Osmar Mantovani omantojuntovani arr portoseguro dot org pt
br, dentro do projeto Embaixadores
da Matemática do IME; Na avaliação remota, graus
de satisfação 1: muito insatisfeito a 5: muito satisfeito.
Com a palestra: 92,3% de 5 e 7,7% de 4. Com a transmissão remota:
69,2% de 5 e 38,8% de 4. Alunas/os do colégio: 8; professoras/os:
4; outro 1: Houve um pico de 66 participantes.
- [1] o infinito matemático é na verdade algo que não
se pode compreender com uma perspectiva física. [2] Onde acaba
o universo. [3] Admiração enorme pelo professor valdemar.
RESP.: Tentei mostrar que os limites do universo físico
não fazem sentido físico, ou melhor, não podem
ser compreendidos fisicamente. Assim como, admitindo-se a teoria do
Big Bang, não é possível compreender fisicamente
como a matéria e a energia original apareceram.
- [Sem respostas]
- [Professor/a] [Sem respostas]
- [1] achei tudo importante, sendo que quase tudo foi novo. [2] alguns
conceitos estavam meio confusos. [3] achei excelente! RESP.:
Infelizmente houve necessidade de correr um pouco, devido ao tempo;
alguns assuntos deveriam ter sido dados com mais vagar, como a diagonalização
de Cantor. Os assuntos poderiam ser abordados melhor em várias
aulas.
- [1] Infinito é completamente compreensivel matematicamente
porém fisicamente não pode ser entendido como algo além
do abstrato. Além disso, infinitos que podem parecer "diferentes"
são iguais. [2] Não ficaram dúvidas além
daquilo que foge à compreensão humana. RESP.: Acho
importante reconhecer-se que podemos compreender o infinito na matemática,
isto é, suas propriedades e como trabalhar com ele.
- [Professor] [1] As diversas formas de mostrar que um infinito não
é maior que outro infinito. [2] Que os números reais tem
um infinito "maior" que os demais conjuntos numéricos.
[3] O nível da palestra é muito elevado para alunos de
ensino médio. RESP.: O conjunto dos números reais
é "maior" do que o conjunto dos naturais. Há
outros "maiores" do que conjunto dos reais. Em minha opinião,
esses assuntos deveriam ser abordados no ensino médio, pois mostram
aspectos importantes da matemática; com mais tempo, certamente
as/os alunas/os poderão compreender tudo.
- [1] Que há muita coisa presente na vida real, mas é
que não é possível visualizar fisicamente e nem
tocá-la. [2] Como é possível definir algo relacionado
a algo que não se sabe exatamente como é, sem fazer experimentos
e, consequentemente, sem observar a reação de tal corpo
que não se sabe exatamente como é? [3] O conceito de infinito
na física explodiu a minha mente. Muita coisa nova, principalmente
na área da física, que eu não sabia que acabou
me deixando perdido e confuso, mas não que a explicação
tenha sido ruim. Foi muita coisa nova em um tempo curto, isso que me
deixou confuso. Mas me deixou mais interessado ainda pela física!!!!
RESP.: Sim, começando pelo seu pensamento! Você
vivencia seu pensamento com ele próprio e não com os seus
sentidos físicos. Os experimentos matemáticos são
feitos com o pensamento. Um aspecto importante é você compreender
que a física não explica e jamais explicará todo
o mundo físico.
- [Engenheiro/a] [1] conceituação revisitada do infinito.
[2] nada digno de nota. [3] boa palestra.
- [1] Não pensar apenas no espaço físico. [2] Nenhuma
dúvida sobre a palestra, mas muitas novas dúvidas sobre
o universo. [3] Muito interessante a palestra e o tema escolhido. Uma
nova forma de pensar sobre coisas que eu acreditava que sabia. RESP.:
Sim, eu insisti muito que devemos aprender a pensar sem que o pensamento
esteja ligado ao mundo físico. Você não percebe,
mas faz isso constantemente. Por exemplo, quando usa sua memória
ou pensa em uma sensação como a alegria, ou um sentimento
como gostar de alguma coisa. Você não consegue fazer outra
pessoa ter uma sensação ou um sentimento que você
tem, pois eles são subjetivos e absolutamente individuais. Quando
você vê algo, imediatamente associa a imagem interior, a
representação mental, ao conceito desse algo, como no
caso de reconhecer que uma planta pertence a uma certa espécie
ou reconhecer que um objeto é porta, como exemplifiquei na palestra.
- [Professor/a] [1] Como o infinito pode dar um nó no cérebro!
[2] O infinito. RESP.: Eu diria "na mente", que para
mim é mais do que o cérebro. Qual seria a dúvida
que ficou em relação ao infinito na matemática
e na física? (Escreva-me, se quiser esclarecer isso.)
- [1] Sobre os conceitos de infinito e planos. [3] Amei! Palestrante
muito simpático e com muitas informações novas!
RESP.: Sim, os conteúdos não são em geral
abordados no ensino médio, mas acho que deviam, no 3º ano,
para mostrar certos aspectos importantes da matemática. Acho
que com mais vagar tudo poderia ser bem compreendido pelos alunos.
- [Sem respostas]
- [Professor(?)] [1] A divisão do plano por duas retas paralelas
distintas, por exemplo. Acho que nunca pensei sobre isso. [2] Não
tenho tanta facilidade com física. A parte final foi mais difícil
para mim. [3] A linha de raciocínio sobre o encontro das paralelas
(incluindo as figuras com pontos de fuga!) é realmente interessante!
RESP.: Sobre a física, um dos grandes problemas é
que ela é ensinada como se fosse uma coleção de
fórmulas matemáticas, em lugar de ser inicialmente introduzida,
em cada área, de um ponto de vista fenomenológico, qualitativo.
Foi o que fiz fiz no capítulo 22 "Por que um avião
voa" de meu novo livro "A matemática pode ser
interessante... e linda!" Ver detalhes sobre o livro em
www.blucher.com.br/livro/detalhes/a-matematica-pode-ser-interessante-e-linda-1645
4. 8/7/20 palestra remota pelo google meet com transmissão pelo
yutube, para professores, alunos de licenciatura, e interessados, promovida
pelo Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM)
do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, dentro
do projeto Embaixadores da Matemática
do IME; info: profa. Ana Paula Jahn anap junto jahn no gmail. Na avaliação
remota, graus de satisfação 1: muito insatisfeito a 4: muito
satisfeito. Com a palestra: 91,2% de 4 e 8,8% de 3. Com a transmissão
remota: 85,3% de 4 e 14,7% de 3. Alunas/os de curso superior: 13; professoras/es
de ensino básico: 9; professoras/es de ensino superior 3; formado
em curso superior: 7; aluna/o de ensino médio: 1; outra atuação:
1. Houve um pico de 182 participantes.
- [1] (Sem respostas além das de múltipla escolha.) RESP.:
O pintor cujo nome eu tinha esquecido, que fez a demonstração
pública da perspectiva foi o famoso arquiteto e pintor Brunelleschi,
em alguma data entre 1412 e 1425, mostrando a praça e a catedral
de Santa Maria del Fiore em Florença pintadas no verso de um
quadro, e montando atrás dele um anteparo que deixava ver a praça
e depois tapava parte dela. Girando o anteparo, aparecia um espelho
que refletia o quadro, que completava a parte tapada pelo anteparo.
Como o quadro tinha sido pintado em perspectiva, o espelho completava
a praça direitinho, para surpresa de todo o público, que
não estava acostumado a quadros em perspectiva.
- [1] Tudo foi de estrema importância. [2] Não, tudo foi
bem explicado. [3] Muito boa, tudo foi bem explicado.
- [1] A representação projetiva do infinito. [3] Ótimo,
apenas ficou confuso quando aos links que precisaríamos acessar.
Seria interessante deixar os links na descrição do vídeo.
RESP.: Os links estão em minha home page e também
no formulário de avaliação que você preencheu,
além de estarem nesta página com a síntese das
avaliações
- [1] Muito interessante a análise de perspectiva. [3] Ocorreu
tudo bem.
- [1] Perspectiva. [2] Nenhuma. [3] Professor excelente.
- [1] Todo conteúdo abordado foi de extrema relevância.
[3] Excelente!
- [1] Gostei muito da parte da mesma cardinalidade de conjuntos diferentes.
[2] A parte que a reta cortava o plano, mas acho que entendi. RESP.:
Mostrei que, exlcuindo-se os pontos de uma reta, ela não dividia
o plano em duas partes; se ela é horizontal, a parte "de
cima" vai para o infinito e continua "em baixo", isto
é, é a mesma parte.
- [1] Mais sobre o infinito na geometria e como trabalhar isso com meus
alunos, perspectiva para trabalhar o conceito das retas paralelas no
infinito e poder relembrar geometria projetiva (que faz tempo que não
dou aula). [2] Conseguir entender melhor a divisão do plano pela
reta. [3] A palestra foi maravilhosa; por ser on-line, permitiu
que eu pudesse participar pois, se fosse presencial, não poderia.
RESP.: Vou propor que minhas futuras palestras presenciais no
IME sejam simultaneamente transmitidas pela internet.
- [1] É incrível como um ponto ou uma reta, podem ser
tão complexos. A apresentação é realmente
interessante. [2] O infinito na Física. RESP.: Talvez
eu devesse ter chamado de "o infinito no mundo físico",
mas eu quis fazer, no título, uma contraposição
à matemática.
- [1] Quando se trata de infinito não se pode usar o raciocínio
com base nas percepções sensoriais. [2] Se não
faz sentido falar em matéria no nível atômico (microcosmo)
também não faz sentido no macrocosmo? A matéria
então é uma ilusão dos sentidos ? [3] A palestra
do Professor Setzer foi excelente para despertar reflexões sobre
a finitude do mundo sensível. RESP.: No fundo, qualquer
elemento geométrico ideal não existe fisicamente. No caso
do infinito, isso fica patente, mas acho importante que se tenha consciência
que jamais vimos um ponto geométrico, um segmento de reta, uma
circunferência etc.. O que vemos são representações
dos conceitos, que não existem fisicamente e são objetivos
e universais. Acho importante explicar isso para os alunos, chamando
a atenção para o fato de que nosso pensamento é
capaz de captar realidades que, na minha opinião, não
são físicas. Sim, na minha concepção tanto
no micro quanto no macrocosmo a matéria como a vivenciamos desaparece.
A própria física reconhece isso, ao estabelecer que há
correspondência entre energia e matéria. Mas eu vou mais
longe: na minha hipótese de trabalho, tanto a matéria
quanto a energia são condensações de algo que não
é físico por isso não conseguimos compreender
o micro ou macrocosmo com umpensamento baseado em nossas vivências
físicas sensoriais. Porém, a matemática mostra
que podemos pensar não sensorialmente. Não, a matéria
não é uma ilusão dos sentidos (os antigos hindus
achavam que era, e a chamavam de "maia"), mas é fundamental
ter consciência de que existe uma realidade subjacente a qualquer
objeto, que é a sua essência, seu conceito (os antigos
hindus davam mais realidade a essa essência, que eles percebiam,
do que ao seu aspecto material, daí a "maia"). O mundo
sensível não é finito, ele tem infinitas nuances;
por exemplo, uma árvore já mostra isso; idem para uma
orquídea em flor.
- [1] Noções de infinito. Fiquei maravilhado. [2] Quando
imagino o infinito em minha cabeça e eles se encontram, uma figura
que eu imagino é uma esfera. Mas isso é loucura!! Pois
o infinito não tem fim. Então, não se encontram.
Mas o senhor falou que se encontram. Estou confuso. Rsrs. [3] Muito
bem executada. Parabéns! RESP.: Em primeiro lugar, suas
imaginações passam-se na sua mente, e não na sua
cabeça; se o cérebro excretasse os pensamentos não
poderíamos concentrá-los segundo nossa vontade. Em segundo
lugar, vamos pegar a reta, para simplificar. Realmente não conseguimos
imaginar, como nosso pensamento comum, que as extremidades de uma reta
horizontal prolongada para a direita e para a esquerda acabam se encontrando.
É preciso fazer um esforço mental para captar esse conceito.
Experimente fazer um exercício de concentração
mental, imaginando as duas maneiras que eu usei para demonstrar que
o infinito é o mesmo: a rotação da reta em torno
de um ponto e os percursos nas circunferências de raio cada vez
maior. Aliás, essa técnica de percorrer figuras geométricas
foi muito usada em demonstrações na antiguidade. Sim,
você pode usar uma esfera, mas aí, em lugar de uma reta,
use um plano e esferas que o tangenciam num mesmo ponto, com os raios
aumentando gradativamente.
- [1] A aplicação de raciocínio mental aliada à
matemática e a ideia de infinito aliado aos conceitos da física,
pois como matemática só penso mentalmente. [2] Gostaria
que o professor divulgasse o canal para os congressos religiosos da
matemática, pois me interessei em conhecer mais. [3] A palestra
foi ótima, me interessei do inicio ao fim. Gostaria de ter outra.
RESP.: A física teórica também tornou-se
algo puramente mental. Não conheço congressos religiosos
sobre matemática. O que eu citei foi que já dei essa palestra
para grupos de estudo espiritualistas, quando salientei muito mais o
fato de que na matemática usamos um pensamento cujo conteúdo
não é físico, isto é, é espiritual.
Quanto a eu dar outra palestra, é só organizar um bom
grupo, em qualquer ambiente e me convidar. Veja as palestras que tenho
dado ultimamente em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
- [1] Como abordar assuntos com alunos do ensino fundamental de forma
diferente. [2] Sobre incomensurabilidade. [3] Adorei a palestra, achei
os exemplos bem didáticos e mostra outras formas de abordarmos
esses temas com alunos do ensino fundamental, além de mostrar
como a matemática é mágica e cativante. O Professor
Valdemar transborda essa paixão pela matemática e nos
entusiasma. Sou formada em Lic. Matematica (UEPG), em Lic. Interdisciplinar
em Ciências Naturais (UTFPR), mestranda do PPGECT - UTFPR e professora
do ensino fundamental e médio. RESP.: Atenção:
em minha opinião os conceitos que abordei não devem ser
expostos no ensino fundamental, são abstratos demais para essa
idade. É muito prejudicial aos jovens serem forçados a
pensar abstratamente, o que infelizmente é o padrão do
ensino. Por exemplo, veja como se define o que é uma ilha (mais
ou menos aos 8 anos de idade?), "um pedaço de terra cercado
de água por todos os lados." Essa é uma ilha absolutamente
morta, abstrata, sem vida, sem árvores e bichos, sem ondas batendo
nas praias em em pedras etc. Sobre a incomensurabilidade, usei como
exemplo a diagonal de um quadrado. Por exemplo, seja um quadrado com
lado de 10 cm; a diagonal terá o tamanho da raiz quadrada de
200 cm. É impossível achar uma unidade de medida dos lados,
como por exemplo o milímetro, isto é, cada lado tendo
100 mm, dando um número inteiro de milímetros para a diagonal,
pois a raiz quadrada de 200 é um número irracional; é
impossível medi-la com um número finito de milímetros
(ou qualquer unidade que dê um número inteiro dela para
os lados).
- [1] As ideias de infinitos geométricos. [2] A relação
de cardinalidade do quadrado com a reta. [3] Foi excelente. RESP.:
Na realidade, foi a relação do número infinito
de pontos de um quadrado (cardinalidade infinita) com o número
infinito de pontos de um segmento de reta. Eu mostrei que se pode construir
uma correspondência biunívoca entre um ponto qualquer de
um quadrado de lado 1, com algum ponto do segmento de tamanho 1, e vice-versa.
Pode-se associar cada ponto do quadrado com as coordenadas, digamos,
(a,b), sendo a nas abcissas e b nas ordenadas.
Aí se constrói um ponto do segmento, com a distância
à origem igual a um número formado pelos algarismos de
ordem ímpar usando os algarismos extraídos consecutivamente
de a, alternando com os de ordem par extraídos de b.
E vice-versa para associar cada ponto do segmento com um ponto do quadrado.
A existência da correspondência biunívoca mostra
que a cardinalidade do conjunto de pontos do quadrado é a mesma
que a do conjunto de pontos do segmento, isto é, o número
infinito de pontos do quadrado é o mesmo que o do segmento. Veja
a apresentação em ppt para compreender melhor o que acabei
de escrever.
- [1] A questão do infinito em relação às
retas e planos e como se dá a separação. [2] Como
apresentar essas questões na escola e em qual momento seria o
melhor para isso. [3] Podem pensar em usar o Zoom para essa transmissão
porque é possível ter perguntas em tempo real. RESP.:
ATENÇÃO: Quando eu disse que esses conteúdos deveriam
ser abordados no ensino médio (talvez no 3° ano, pois exigem
maturidade), eu esqueci de dizer que isso deveria ser feito em várias
aulas, e não numa só como tive que fazer. Seria interessante
dar mais exemplos e dialogar com os alunos. Quanto ao Zoom, é
a plataforma com a qual tenho mais experiência de dar palestras,
e a acho muito melhor do que o google meet. Infelizmente o IME não
tem o Zoom contratado, e sem contrato o limite é de 100 pessoas
e de 40 minutos por sessão. No entanto, se a palestra é
retransmitida pelo youtube, acaba havendo a separação
entre o palestrante e os participantes, o que não acho ideal;
isso ocorreria da mesma forma com o Zoom. Infelizemente não me
ocorreu usar um segundo micro, ou um tablet ou um celular, para ter
ao lado o que estava sendo transmitido pelo youtube.
- [1] Da questão da perspectiva de que a reta não divide
o plano em duas partes. [2] Como definimos o ponto de fuga de uma perspectiva.
RESP.: Tome duas retas paralelas, por exemplo as guias de uma
rua bem comprida, encontrando-se em um ponto, como você as vê.
Esse ponto, que deveria estar na altura de seus olhos em relação
às figuras representadas, será o ponto de fuga de todas
as outras paralelas às duas primeiras. Vou salientar isso nas
próximas palestras, obrigado!
- [1] Noção de infinito na matemática, principalmente.
[2] Nenhuma grande dúvida. [3] Excelente palestra! Ótima
didática do professor e transmissão fluindo muito bem!
RESP.: Que bom que tudo correu bem! Foi a primeira vez que dei
uma palestra com conteúdo matemático por vídeo
conferência. É bom saber que consigo fazer isso de maneira
a interessar os participantes (como é o caso de minhas palestras
presenciais).
- [1] Sobre "mostrações" de enumerabilidade,
que podem ser apresentadas na educação básica.
[2] Sobre enumerabilidade em geral. RESP.: Acho que os conceitos
de enumerabilidade e de inumerabilidade podem ser apresentados aos alunos
de maneira bem simples. Por exemplo, o fato de se poder contar quantos
eles são na classe (faça um deles contar). Em seguida,
mencione, por exemplo, o número de salas da escola. Depois, coloque
alguns conjuntos no quadro negro e peça para os alunos contarem
os elementos de cada um. Em seguida, coloque os primeiros números
naturais, e mostre que podem ser contados idefinidamente. Daí,
mecione algo da natureza que não se pode contar, como por exemplo
as moléculas de água em um lago. Finalmente, trace um
segmento de reta e peça para um dos alunos vir à frente
e contar quantos pontos há no segmento. Aí passe para
os reais. Veja aqui um exemplo de didática: sempre começar
com algo que diz respeito aos próprios alunos. Assim eles podem
identificar-se com o assunto, que deixa de ser puramente abstrato!
- [1] Foi muito interessante repensar os conceitos básicos da
geometria, afinal não é todo dia que olhamos para um ponto
e nos perguntamos se ele é um ponto geométrico! Também
foi legal abrir a mente para as retas paralelas que se encontram no
infinito, o conceito de ponto de fuga e a sua presença nas artes.
Gostei de rever os conceitos de análise real, como a enumerabilidade.
[2] Sem dúvidas. [3] A palestra foi incrível, o professor
é excelente, eu assistiria uma palestra sua que durasse até
5 ou 6 horas! A transmissão foi muito boa, uma plataforma acessível,
conexão estável, parabéns aos envolvidos pelo trabalho
bem elaborado. RESP.: Ótimo eu ter passado a mensagem
de que devemos encarar figuras geométricas como representando
conceitos que não vemos. Quanto à falta de dúvidas,
que péssima palestra (he he he)! Uma aula ou palestra sempre
deveria deixar dúvidas no ar... Mas às vezes as pessoas
não conseguem exprimir suas dúvidas.
- [1] Ampliou minha ideia de infinito! [2] A matemática é
desafiante para mim, mas consegui captar a mensagem no plano geral.[3]
Foi excelente a transmissão, fiquei maravilhada com o palestrante,
sua sabedoria, sua clareza, sua disposição e talento para
ensinar essa matéria tão complexa! Minha formação
acadêmica é psicologia, mas gosto de ampliar, estudando
antroposofia, cosmologia, o ser humano em sua totalidade e avançar
no infinito. RESP.: Obrigado pela avaliação, especialmente
interessante por vir de uma pessoa da área de humanas. Gostaria
de chamar a atenção para a importância de se praticar
a matemática, pois ela treina um pensamento claro, sintético
e coerente, que é necessário poder exercitar além
do pensar intuitivo não formal (eles se completam!).
- [1] Cardinalidade entre conjuntos fiquei encantada . [2] Sobre o tempo
gostaria de maiores informações, tenho também que
me aprofundar. [3] Aprendizado de alto grau, uma tarde onde tive o prazer
de ter explicações claras e fundamentadas de cada tema.
Um mestre com louvor . Sou professora de Matemática do Ensino
Médio na escola E.E.Dr.Aureliano Leite - em Osasco-SP. RESP.:
Vários filósofos abordaram a questão do tempo,
como Kant, Bergson e mais recentemente Heidegger. É importante
não confundir a medida do tempo, a cronometria, como o tempo
em si. Um excelente artigo sobre o tempo é o
https://en.wikipedia.org/wiki/Time
Chamei a atenção para o fato de que observamos o espaço,
mas o tempo em si não pode ser observado, deve ser vivenciado;
nesse sentido, para nós ele é real, contrariamente ao
que dizem certos filósofos . É importante salientar que
o tempo na física não é o nosso tempo; por exemplo,
a menos do crescimento da entropia, nas equações da física
a "flecha do tempo" pode ser revertida. Já que você
é professora de ensino médio, não quer me convidar
para dar palestras para seus alunos? A única palestra que dei
em Osasco foi para alunos da FITO em 2003. Veja meu endereço
de e-mail no topo de minha home page.
- [1] (Sem respostas além das de múltipla escolha..)
- [1] Uma reta não divide o plano em nenhuma parte. [3] Acredito
que a palestra conseguiu cumprir sua função mesmo de maneira
remota, muito boa e com bastante conteúdo pertinente.
- [1] Comparar cardinalidade dos elementos e o encontro dos infinitos.
[2] Ainda não compreendi muito porque a quantidade de pontos
no quadrado são iguais à quantidade de pontos em uma reta.
RESP.: Veja a resposta à avaliação 13 acima.
- [1] Aprimorei meus conhecimentos sobre cardinalidade entre conjuntos.
[2] Quais são as geometrias em que as retas paralelas se cruzam
no infinito. RESP.: Certamente na geometria euclidiana. Mas se
você tomar uma não euclidiana, como a esférica,
isso é algo óbvio. Pegue dois meridianos da Terra saindo
do equador. Eles são paralelos no equador, e se encontram nos
polos. Aliás, os ângulos do triângulo esférico
assim formado somam mais do que 180°! E se os meridiando forem opostos,
o triângulo terá 360°.
- [1] Os diferentes conceitos do infinito. [2] Qual será a próxima
palestra do Mestre. [3] Excelente palestra e uso da transmissão
remota. RESP.: Tenho apenas uma palestra agendada, uma 2ª
parte de outra que já dei, sobre filosofia.. Estou aguardando
convites! Para seguir minhas palestras programadas, veja em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
- [1] Conceitos de infinito na geometria, em conjuntos de números
e na física. [2] Parte de infinito. [3] Excelente.
- [1] Sobre os vários conceitos do infinito e a incapacidade
de nossos sentidos físicos para percebê-lo. [3] Excelente
palestra, muito esclarecedora. RESP.: Depende. Veja o caso das
nuvens: para o nosso sistema óptico, elas estão no infinito.
Os eixos de nossos dois olhos ficam paralelos quando observamos as nuvens,
devido à grande distância em que elas estão, isto
é, nosso sistema estereoscópico não distingue as
diferentes distâncias formadas pelos contornos das nuvens, é
como se todas estivessem no infinito. Idem para a adaptação
do cristalino quando se percorre as nuvens. Você poderia perguntar:
mas como percebemos os volumes delas? Isso é devido a efeitos
de luz e sombra! Observe bem as nuvens, e admire as formas de volume
que elas assumem devido aos efeitos de luz e sombra. Ou as diferentes
cores no nascer e pôr do Sol. Um exercício mental muito
bom é olhar para as nuvens, fechar os olhos e tentar formar a
imagem delas, a representação mental, pela lembrança
inclusive notando como nossa memória é muito mais
imprecisa do que a percepção visual direta.
- [1] Novas abordagens para discutir a ideia de infinito. [3] Bem planejada
e executada. RESP.: Aproveite meus enfoques, expanda-os, aperfeiçoe-os
e leve as ideias de infinito para seus alunos! Como você é
professor/a de ensino superior, se for de matemática certamente
trabalha com a noção de infinito no cálculo diferencial
e integral e nos limites. Mas aí o infinito reduz-se a um mero
símbolo com sua própria álgebra, como por exemplo
infinito+1=infinito.
- [1] Bom, como eu sou estudante de matemática, eu considerei
mais importante, os conceitos de infinito na física, mas aprendi
muitas coisas que não sabia nos conceitos matemáticos,
como por exemplo: o conceito de cardinalidade entre os conjuntos (as
demonstrações). [2] Não ficou dúvida, foi
tudo compreensível. [3] Palestra muito boa, com certeza eu consegui
expandir meus conhecimentos, otímo professor, e a transmissão
estava perfeita. RESP.: Mais correto teria sido eu dizer "o
infinito no mundo físico".
- [1] Acho que pude ampliar um pouco mais minha percepção
ou capacidade de abstração de certos conceitos. Busco
entender a natureza mais profunda do universo, e acho que a matemática
pode ser uma linguagem importante nesse sentido. [2] Não sei
expressar uma dúvida específica. Quando ultrapassou a
primeira parte, sobre perspectiva e com referências do universo
da arte, e entrou em explanações e terminologias um pouco
mais elaboradas (para meu entendimento particular), me perdi em alguns
momentos. Ainda assim, acredito que consegui acompanhar, em geral. [3]
Ótima palestra! Aprecio também o esforço em tornar
o tema acessível para leigos, como é meu caso, como designer.
RESP.: A matemática tem aplicações práticas,
mas também serve para se admirar a natureza, ao mostrar que ela
segue certas regularidades que podem ser expressas matematicamente.
Abordo isso no meu livro, que está para sair, "A matemática
pode ser interessante... e linda!" Veja a capa em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/Fibo-capa-definitiva.pdf
(Aumente a imagem para ler o sumário e o texto da 4ª capa.)
Ótimo que você busca entender natureza mais profunda. Em
minha concepção de mundo, para isso é necessário
sair do âmbito puramente físico, material. Jamais vai se
entender profundamente uma árvore examinando apenas seus aspecitos
físicos. É como se se quisesse examiná-la usando
apenas sua sombra... Note que ciência não sabe o que é
vida; as plantas são a manifestação mais pura da
vida. Goethe, que foi um grande cientista, afirmou que as plantas se
esgotam na sua forma, o que não se passa com os animais, muito
menos com o ser humano (que eu não classifico como animal, senão
teria que classificar os animais como plantas móveis).
- [1] A diferença conceitual da ideia 'infinito" para a
Geometria, e do conceito "infinito" na Física. [2]
Sobre o infinito, na Física. [3] Muito instigante o conceito
de cardinalidade. E a elegante demonstração de Cantor
da cardinalidade dos racionais. RESP.: Atenção,
o que apresentei sobre o infinito no mundo físico são
ideias minhas (fora a historinha do Giordano Bruno). A diagonalização
do Cantor mostrou que é possível fazer uma ordenação,
isto é, uma enumeração, dos números racionais.
A cardinalidade deles é obviamente infinita.
- [1] Uma nova visão (controversa) de infinito: +infinito = -infinito
= infinito. [3] Acho fundamental a produção de videoaulas.
Entendo que elas não substituem 100% as aulas presenciais, mas
pelo menos é mais uma fonte. A USP devia incentivar os professores
a gravarem as suas aulas e as disponibilizarem na internet. A USP deve
aproveitar os seus talentos e disseminar de forma gratuíta o
máximo possível de informações, não
apenas aos alunos matriculados, mas a toda população,
que também paga impostos, paga a USP e os salários dos
professores. RESP.: No caso da reta atingindo o mesmo infinito
em ambos os sentidos de percurso, eu não associei os seus pontos
com números reais. Seria possível marcar uma origem na
reta e considerar pontos de um lado da origem com coordenadas positivas
e, do lado oposto da origem, com coordenadas negativas. Nesse caso +infinito
= -infinito. Seria impossível gravar todas as aulas da USP no
sistema presencial, pois cada uma necessitaria de um operador da câmera,
e são centenas que se passam simultaneamente. Muitas aulas estão
sendo gravadas nesta época de isolamento; a disponibilidade delas
depende de cada unidade. Mas pelo menos palestras presenciais deveriam
ser transmitidas; o IME já faz isso.
- [1] Relembrei a necessidade de trazer a matemática para o dia
a dia, ampliar a visão, de deixá-la próxima da
nossa realidade. [2] Apenas que gostaria de assistir a mais palestras!
[3] Transmissão foi perfeita, sem falhas e o conteúdo
fluiu como em uma palestra presencial, mas com o conforto de estar em
casa. Sou Engenheira Civil e terapeuta complementar. Atuo em ambas as
áreas. RESP.: Acho que essa palestra deve interessar particularmente
às/aos engenheiras/os, pois em geral os assuntos não são
abordados nas aulas de matemática, e todas/os elas/os têm
afinidade com ela. Para você, como engenheira civil, a parte de
perspectiva certamente não trouxe nada de novo, a não
ser a maneira como abordei o tema. Mmmm, quem sabe vou oferecer ao Instituto
de Engenharia...
3. 9/3/20 palestra para um grupo de estudos inter-religiosos, São
Paulo; info: Newton Zimerman newton ponto zimerman no uol#pt@com#@br.
Nesta palestra, o título acima foi precedido por "Matemática
e espiritualidade".
- [1] A matemática e a luz não são físicas.
[2] Visualizar a geometria. [3] Aula encantadora! Nos faz pensar, viajar
e sonhar. RESP.: A geometria é a parte da matemática
que pode ser visualizada! Além disso, pode ter estética,
que falta à álgebra.
- [1] A medição dos spins. Relação
do físico e do espiritual. [3] Achei a parte da física
muito interessante. RESP.: Por detrás de qualquer coisa
há um conceito, que não é físico. Lembre-se
do que falei: o spin das partículas atômicas não
tem limite clássico, portanto não pode ser compreendido.
- [1] Consegui ter uma visão dos números que eu nem lembrava.
Compreender a questão dos infinitos. [2] A questão das
novas descobertas da física. As que desconstroem os conceitos
e teorias já propagados. [3] Adorei, embora estivesse bem cansada
para aproveitar mais. RESP.: Quanto mais a física e a
astrofísica avançam, mais paradoxos aparecem em suas teorias.
- [1] Achei interessante a relação entre a matemática
e a espiritualidade. [3] Se usa o pensamento para chegar ao mundo espiritual.
Pensamento é espiritual. RESP.: O fato de conseguirmos
captar conceitos, que não são físicos, mostra que
nosso pensamento deve ter algo da mesma natureza deles (cf. a citação
de Spinoza que eu fiz), isto é, algo não físico.
Uma outra evidência é o fato de termos a capacidade de
concentrar o pensamento em algum tema por alguns instantes. Essa liberdade
no pensamento não pode advir da matéria, pois ela segue
inexoravelmente as leis físicas.
- [1] A visão dos números infinitos é uma visão
espiritualista, pois as dimensões em 3D pela nossa vivência
é diferente da de 2D espiritual. [2] Como as linhas em um triângulo
também são infinitas e elas voltam, então não
deveriam se encontrar? [3] A minha vivência carnal, faz com que
meu pensamento conflita com essa razão. RESP.: A visão
mais baixa do mundo espiritual é em forma de imagens em 2D. Os
sonhos são uma evidência disso, pois em geral são
imagens. Quanto às retas onde estão os lados de um triângulo,
sim, se percorridas elas passam pelo infinito e "voltam",
cada uma das 3 se encontrando de novo nos lados do triângulo.
Quanto à sua vivência física, sim, quando se adentra
o mundo espiritual com o pensamento, por exemplo na matemática
(que não tem nada de físico, a menos de contagens), é
necessário deixar de pensar fisicamente, isto é, com pensamentos
baseados em nossas vivências com os sentidos físicos.
- [1] Os conceitos mais profundos da matemática, física
e geometria são contra-intuitivos, só existem enquanto
conceitos não materiais. [2] Compreensão vs. existência.
[3] Algumas conclusões poderiam ser mais abertas, por exemplo,
a conclusão da inexistência da matéria; existe essa
hipótese como a simples incompreensão. RESP.: Você
quer dizer que algo que não compreendemos poderá ser compreendido
posteriormente, com o avanço do conhecimento. Sim, mas está
mais do que na hora de reconhecer que, usando o paradigma científico
atual )à la Popper), jamais saberemos e compreenderemos certos
fenômenos. Eu citei que, em minha opinião, dessa maneira
jamais compreenderemos o átomo, bem como a origem e os limites
do universo
- [1] Provocou uma percepção de como meu entendimento
é limitado. [2] Há uma diferença entre físico
e infinito. Impossível saber o que não sei? [3] Gostaria
de ira além para ver como tudo isto contribui para minha vida.
RESP.: Não há limites ao conhecimento, se ele não
se restringir ao conhecimento físico.
- [1] Aprendi que as ciências exatas nos dão base até
certo ponto, mas não esgotam as possibilidades, havendo espaço
para as teorias espirituais. [2] Ter a clareza das correlações
das várias espécies de números para melhor compreender
as correlações entre esses números e o infinito.
[3] Adorei aprender sobre a influência do mundo espiritual sobre
o mundo da matéria, em especial no mundo das exatas.
- [1] O mais importante foi ver a beleza e a dimensão que se
pode alcançar com a matemática. [2] As dúvidas
só surgiram a partir do momento que eu já não conseguia
acompanhar. [3] Gostei muito da palestra... Acho que deve ser dada durante
o dia... À noite houve um momento no qual eu já não
acompanhava.
- [1] Que os infinitos podem ter [??] provas[??]. [2] Ainda falta muito
para aprender. [3] Preciso quebrar a resistência com os números.
RESP.: Infelizmente, algumas palavras estavam ilegíveis.
Leia meu próximo livro sendo editado pela Ed. Edgard Blücher,
A matemática pode ser interessante ... e linda - quem
sabe a sua resistência vai diminuir... E já estou escrevendo
o próximo, um livro sobre o infinito, baseado na palestra (mas
ainda não sei se vou incluir questões de espiritualidade,
para não assutar uns e outros).
2 .4/3/20 palestra no Espaço Cultural Rudolf Steiner da Sociedade
Antroposófica no Brasil, R. da Fraternidade 156, Alto da Boa Vista,
Santo Amaro, São Paulo; info: Derblai Sebben drderblai_at-arro.ba
gmail.com. Nesta palestra, o título acima foi precedido por "Matemática
e espiritualidade".
- [1] A matemática ajuda a compreender a completa diferença
entre o mundo físico e o mundo espiritual. [2] Talvez não
a maior dúvida, mas a maior curiosidade: como foi o "despertar"
do uso/conhecimento matemático relacionado ao mundo espiritual.
[3] Aula incrível pela didática e conhecimentos multidisciplinares.
RESP.: Na antiguidade, a matemática era associada com
o mundo espiritual. Segundo Rudolf Steiner, no volume GA 105, diz que
a matemática era algo vivo; para Pitágoras, era algo sagrado,
continha uma sabedoria religiosa. Acrescento que a materialização
do ser humano fez com que ele perdesse essa noção, mas
podemos reconquistá-la, reconhecendo que com a matemática
pode-se entrar em contato com realidades espirituais, que não
têm nada de físico.
- [1] Essencialmente, sinto que aprendi como provar e apresentar de
maneira clara e lógica a existência de elementos que fogem
do aspecto físico (intuitivo) e devem ser interpretados e analisados
de um ponto de vista espiritual (contra-intuitivo). Achei interessante
que o mais importante para uma correta interpretação,
nos é exigida a disposição de se pensar de maneira
diferente da habitual e aceitarmos um olhar que transcende o aspecto
sensorial do nosso eu físico. [2] Me perdi na parte da comparação
entre o infinito dos números naturais e inteiros ser diferente
do infinito dos números reais. [3] Gostei bastante da palestra,
que mostrou de maneira tão didática que estamos repletos
e cercados de circunstâncias em que nos deparamos com o aspecto
espiritual em nosso próprio cotidiano e, muitas vezes, nem percebemos.
Gostei da explicação dos diferentes infinitos e a divisão
do plano pelas retas. RESP.: Não é possível
achar uma correspondência biunívoca entre os reais e os
naturais ou os inteiros, pois há infinitos reais que não
são inteiros. portanto, os infinitos são diferentes. Como
os inteiros estão contidos nos reais, o infinito desses últimos
deve ser maior.
- [1] O que achai mais importante é o fato de que a matemática
é uma ferramenta para se entender melhor a respeito do mundo
espiritual. [2] Há muitas evidências a respeito da existência
do mundo espiritual. Mas como é exatamente a vida no mundo espiritual.
[3] Achei fascinante todo esse conteúdo, muitas coisas que devemos
aprender e ainda desconhecemos. Quero aprofundar todos esses conteúdos.
RESP.: Para as características do mundo espiritual, leia
as obras de Steiner, começando com as obras básicas (A
ciência oculta o titulo deveria ser A ciência
do oculto e Teosofia, mas antes leia o Noções
básicas de antroposofia, de Rudlf Lanz, que está disponível
na Internet, e meu artigo
Uma introdução
antroposófica à constituição humana
De qualquer modo, não se deve associar o que pode ser observado
no mundo físico com o mundo espiritual.
- [1] Que minha visão é puramente materialista. [2] Só
sei que nada sei. [3] Fantástico. RESP.: Você sabe
que existe, sabe o que os seus sentidos revelam, e confia neles; se
não fosse assim, seria pelo menos esquizoide.
- [1] Que cada reta não divide o plano e que a matemática,
considerando a espiritualidade não é visível com
a nossa parte sensorial. [2] Muitas, é um conceito diferente
do que aprendi até então.
- [1] A matemática nos ajuda a superar o pensamento suprassensível.
[2] Afinal, quantos infinitos? [3] Compartilhe conosco a lista de conferências
em R. Steiner menciona a matemática. RESP.: Nos conjuntos
de números mostrei dois: o dos naturais e inteiros, e o dos reais.
Mas há outros, por exemplo os dos números complexos, com
uma parte denominada de imaginária, que é 'maior"
do que o conjunto dos reais, pois qualquer real é também
complexo, mas há uma infinidade de números complexos,
com a parte imaginária, que não são reais. Quanto
às palestras do Steiner em que ele menciona a matemática,
veja a resposta seguinte.
- [1] A matemática é do âmbito inspirativo. [2]
Quais as 19 palestras de R. Steiner em que ele fala sobre matemática.
RESP.: Eram 19 ciclos. GAs 52 palestras de 16/3/04, 30/3/04,
27/11/03; 59 10/3/10; 84 20/4/23; 99; 101 15/9/07; 102 1/6/08; 105;
129; 131; 136; 150 5/5/13; 151; 167; 181 1/4/18; 201 14/5/20; 266b 15/3/11;
293 23/8/19; 323 9/1/21; 324 16/3/21; 324a 22/10/08, 22/4/09, 24/3/05,
7/11/05, 2/9/06, 28/6/08, 22/4/09, 13/2/13 (quem sabe algum dia eu complete
as datas faltantes)
- [1] Aprendi que a medida que exercitamos a consciência, nosso
repertório nos permite compreender o mundo físico em reflexão
ao mundo espiritual. [2] Carmicamente, como percorreremos o caminho
rumo à ampla consciência? Há uma consciência
infinita? Seria o "Eu"? [3] Participar de uma palestra do
Prof. V.W.Setzer é sempre enriquecedor ao espírito.
Gratidão ao mestre! Continue convidando-se para dar palestras
à comunidade. Estaremos sempre juntos! RESP.: O carma
nos coloca em situações em que podemos progredir. Mas,
atenção, progredir significa desenvolver a liberdade e,
a partir dela, o amor altruísta.
- [1] Essência espiritual da matemática. Racionalidade
da espiritualidade. [2] Infinito, lemniscata, conexões, conceitos...
[3] Sugiro aprofundar mais no conceito de espiritualidade para ajudar
a criar mais conexões com as demonstrações matemáticas.
Muito obrigado! RESP.: Infelizmente, havia limitações
de tempo.
- [1] Provar o conceito de infinito através do movimento. Pensar
fora da caixa, extrassensorialmente. [2] Como é um átomo?
Como o Universo está em expansão acelerada? [3] Maravilhoso!
Muito bem estruturado! Parabéns, professor. Muito grata. RESP.:
Sim, precisamos desenvolver o pensar independente do mundo físico.
Ninguém sabe como é um átomo. Os modelos matemáticos
são incompreensíveis. Por exemplo, todas as partículas
atômicas têm um spin. Mas ele não é
uma rotação usual, pois tudo se passa como se a partícula
girasse em todas as direções ao mesmo tempo, o que é
impossível de ser imaginado fisicamente. Ao se medir uma dessas
rotações, na interpretação de Kopenhagen
há um 'colapsamento' e o resultado é uma rotação
em uma só direção. O spin das fórmulas
da física quântica não tem limite clássico,
por isso é incompreensível. Não se sabe por que
o universo está em expansão acelerada (supõe-se
uma energia repulsiva desconhecida, a 'energia escura').
- [1] Aprendi que não sabemos nada da verdade absoluta, mas fiquei
mais apaixonada pela Matemática e Física. Quanto aos temas
abordados, consegui melhorar a compreensão sobre os infinitos.
[2] Como é possível chegar mais perto da verdade, embora
acredite que seja impossível por ter dimensão infinita.
Outra dúvida: como poderia me dedicar a essa pesquisa espiritual.
[3] Sua palestra foi sentida na alma e externada emocionalmente (não
estou puxando saco, sou realmente apaixonada por Matemática e
Física). RESP.: Você é uma verdade! As verdades
matemáticas são puramente objetivas, universais. Estude
a antroposofia.
- [1] Sobre a evolução da consciência e o desenvolvimento
da física etc. [2] Por que os dois infinitos são diferentes
e não um só infinito que engloba tudo. [3] Gostei muito
da palestra, me fez ter mais carinho e interesse na matemática.
Na geometria, por exemplo, cada reta vai para um infinito diferente
de outras retas que não sejam paralelas a ela. Nos conjuntos
de números, mostrei que o numero infinito de números naturais
é diferente do número infinito de números reais.
- [1] Só sabemos que nada sabemos. [2] "Necessitamos buscar
perguntas novas a partir de respostas antigas, ao invés de apenas
respostas novas para perguntas antigas." [3] Parabéns pela
palestra! Aguardando o livro... RESP.: Você sabe que você
existe... E confia em seus sentidos, que lhe transmitem várias
coisas que existem. Sim, tentei mostrar coisas que vocês provavelmente
não conheciam.
- [1] Sobre as quebras de paradigmas tão necessárias para
"entender" o mundo ou a infinitude deste nosso mundo. [2]
Como trazer mais pessoas para esta visão (essa que pressupõe
a quebra de paradigmas). [3] Adorei sua didática e vivacidade.
Virei fã. Quem sabe um dia consigo participar de algum curso
contigo e ter mais oportunidade de aprender. PS.: Meu negócio
chama-se Geometria do Ser. RESP.: A primeira coisa é cada
pessoa decidir ser espiritualista, isto é, reconhecer que há
algo mais no universo e no ser humano do que matéria, energia
e processos físicos.
- [1] Duas retas paralelas se encontram! E o sensorial nos dá
visão completamente diferente. [2] Infinitas! Rs. Plantou semente
de querer saber mais. [3] Obrigada! Sabedoria transmitida com amor.
- [1] Que existe um mundo espiritual, que vai além do físico
e isso pode ser provado pela matemática. [2] O mundo físico
está contido no espiritual? Eles se encontram? [3] Adorei! Parabéns!
Leve, profundo interessante e cheio de conteúdo. RESP.:
Acho que pela matemática pode-se reconhecer que há conceitos,
que podemos captar, que são universais, objetivos, não
são físicos e que nosso pensamento tem algo em comum com
eles.
- [1] Perceber que ainda há coisas a serem exploradas e entendidas
tanto no universo quanto em nossas vidas. [2] Se os números imaginários
também poderiam ser vistos como algo espiritual e meditativo.
[3] Ótima palestra, super-envolvente, por te fazer pensar, e
ótima didática. RESP.: Não falei dos números
complexos, pois certamente muitas pessoas teriam dificuldades com a
raiz quadrada de -1. Mas eles constituem um infinito 'maior" do
que o dos reais.
- [1] O conceito de infinito é um portal de acesso para uma espiritualidade
não mística. [2] Clareou minha compreensão sobre
as categorias dos números. [3] Obrigado!
- [1] Movimentação dos elétrons com perda de energia.
Teoria de Bohr. [2] Duas retas perpendiculares não dividem o
plano, porém duas retas diagonais dividem em duas partes. O que
o ângulo tem de especial. RESP.: Usei uma perpendicular
simplesmente para mostrar que uma reta não divide um plano em
duas partes. Usei as duas retas em diagonais, cruzando-se, para mostrar
que elas dividem o plano em apenas duas partes. Poderia ter usado duas
retas ortogonais para isso.
- [1] O mundo espiritual <u>não pode</u> ser compreendido
sensorialmente. Na Matemática e na Física podemos chegar
a essa fronteira. Logo, nos preparam para lidar com o mundo do espírito.
[2] Não fiquei com dúvidas. Tenho vivenciado muito disso
como meus alunos. [3] Parabéns. Estou ansioso para ler seu livro.
- [1] Que 2 paralelas encontram-se no infinito. [2] Não entendi
como há 2 infinitos. Ou até mais do que 2. [3] Obrigada!
Interessada pelo livro lindo! RESP.: Na geometria, cada retas
que não são paralelas passam por um infinito diferente.
Na teoria dos números, os número infinito de reais é
diferente (e "menor") do que o número infinito de naturais.
Não pode haver uma correspondência biunívoca entre
eles pois os reais não são numeráveis, como os
naturais.
- [1] Os conceitos sobre infinito e sua relação com a
espiritualidade. [2] Não ficou claro para mim o que está
chamando de espiritualidade. Entendo que chegamos a um conceito distante
do mundo físico, mas não ficou claro a relação
com o espírito. [3] Excelentes provocações e reflexões.
RESP.: Uma pessoa é espiritualista se admite, idealmente
por hipótese de trabalho, que existem fenômenos no ser
humano, animais, plantas e no universo, que não são redutíveis
a fenômenos físicos. Isto é, que tudo isso não
é somente composto de matéria e energia física.
Denomino de "Hipótese Existencial Fundamental" a decisão
que cada um tem que fazer, se adota a hipótese materialista de
que só há matéria e energia física no universo,
ou adota a hipótese espiritualista. A vida coerente deveria orientar-se
pela escolha de uma ou outra hipótese. Na palestra, tentei mostrar
que podemos trabalhar com conceitos matemáticos que não
têm nada a ver com o mundo físico. Como fazemos isso com
nosso pensamento, isso significa que ele tem algo em comum com o mundo
platônico, não físico, das ideias.
- [1] O infinito é provado pela continuidade utilizando a geometria
e a mecânica. [3] [É interessante saber que se pode provar
que as perspectivas são infinitas. RESP.: Talvez você
quis escrever algo diferente de "perspectivas", já
que eu falei da perspectiva linear.
- [1] Que a nossa intuição é baseada nos nossos
sentidos (representação de realidade), e não na
realidade. [2] Alguns raciocínios mais específicos como
o dos números racionais e naturais. Já não conseguia
mais raciocinar. RESP.: Cuidado, quando eu usei a palavra "intuição"
eu quis me referir à intuição baseada nas nossas
experiências sensoriais. Na verdade, a intuição
é ter uma ideia, e é um fenômeno anti-científico,
pois de onde ela vem?
- [1] Que a matemática é muito interessante e desconhecida.
[2] A dúvida sempre está presente em tudo. [3] Gostaria
de ouvi-lo mais vezes, os números me encantam. Grata. RESP.:
Você não duvida de sua existência. Não duvida
que, ao olhar para a entrada da sala onde está, está vendo
uma porta. Se tivesse essas e muitas outras dúvidas, seria pelo
menos esquizoide. É interessante notar que, às vezes,
sua consciência lhe dá certeza absoluta de alguma ideia.
- [1] A matemática e geometria como instrumento de meditação.
[2] Muitas informações em pouco tempo. [3] Excelente exposição.
Parabéns!!! RESP.: Infelizmente, o tempo era curto. Talvez
eu devesse transformar essa palestra em um curso de umas 4 horas. Mas
é mais fácil organizar uma palestra do que um curso.
- [1] O mundo espiritual é objetivo. [2] O espírito
é infinito? (Acho que sim!) O exato é poético!
O poético é exato? RESP.: No mundo espiritual não
há espaço, de modo que se poderia considerar que o espírito
é infinito. O exato não é poético, mas pode-se
fazer poesia sobre ele... A poesia não pode ser exata, senão
vira matemática.
- [1] Como quando criamos e usamos matemática para "figurar"
o nosso espiritual de infinitas formas, e não trazê-la
apenas para a situação física, 3D, mas que ela
pode ser de grande utilidade para representação espiritual.
- [1] Aprendi que o espírito está em tudo e por trás
de nossos sentidos está uma força divina. [2] Nossa capacidade
limitada de compreensão. RESP.: Cuidado, eu não
falei da divindade.
- [1] Sob a perspectiva do infinito, não se acha correspondência
perceptível a nossos sentidos terrenos (inferiores). A linguagem
do infinito é outra que só a matemática e a poesia
podem, talvez aproximarem-se da sua tradução.
- [1] Uma linha reta não divide o espaço. [2] O espírito
não é compreensível nem perceptível. A alma
da consciência é um instrumento de percepção
dele? [3] Muito legal! Parabéns. RESP.: O espírito
não é compreensível fisicamente!
- [1] Uma forma de ver o mundo espiritual através da matemática.
[2] O mistério, continua sendo o êxtase.
- [1] A importância de separar os domínios sensorial do
espiritual, a fim de obter maior compreensão da realidade. [2]
Provar que os números reais não possuem correspondência
biunívoca com os naturais. [3] Me ajudou a compreender melhor
o livro ("O mistério do Aleph") do Amir Aczel. RESP.:
Entre dois naturais, sempre há um número finito de outros
naturais. Entre dois reais, há um número infinito de reais.
Além disso, os reais não são numeráveis.
Não conheço o livro do Aczel, vou procurar.
- [1] Que a física quântica e atômica é na
verdade uma forma de noética metafísica. [2] Como tal
fé se estrutura como epistemologia fenomênica, da ontologia
da metodologia científica. [3] Como Steiner passou da fenomenologia
ecológica de Goethe para esta tal cosmologia diádica.
RESP.: Depende a que forma de noética você se refere.
Ela pode ser materialista, e aí a metafísica vira mera
abstração. Não usei absolutamente nada de fé
na minha palestra. Não tratei de epistemologia fenomênica,
pois foi tudo matemática. E não tratei de ontologias;
a matemática é puramente sintática. Significados
que podemos dar a ela são associações com nossas
vivência físicas, que não têm nada a ver com
ela. Só tratei da metodologia científica quando discorri
sobre o infinito na física.
- [1] Aprendi que o infinito, creio que disto posso inferir que o universo
também, são curvos! (estou errado?). Entendi que dividir
o infinito por 2 por exemplo resulta em infinito. Aprendi que o ponto
é infinitesimal e irrepresentável no papel sozinho. [2]
Minha maior dúvida é se o homem algum dia vai expulsar
para o infinito a idéia de deus, ou seja chegar no conhecimento
do infinito, visto que a ciência empurra deus cada vez para mais
longe. O método científico não é isto? Sempre
empurrando os limites do saber... Será que a inteligência
artificial nos dominará nos fazendo artificialmente burros? Ou
será que a dominaremos nos fazendo artificialmente deuses? [3]
Gosto do livre pensar, diferentemente de Steiner, talvez eu possa me
permitir ser um diletante. RESP.: Talvez você esteja se
referindo à minha demonstração de que uma reta
vai para o mesmo infinito dos dois lados, quando empreguei uma circunferência
aumentando de raio até que ele seja infinito. Note que isso não
tem nada com o universo, trata-se do puro conceito de reta. Há
uma teoria de que o universo é curvo; isso não resolve
o problema de se saber o que há do outro lado da curva. Sim,
dividindo o infinito numérico por 2 continua-se com o infinito.
Sim, qualquer representação gráfica de um ponto
não é um ponto ideal, que só existe no mundo conceitual.
Infelizmente a ciência corrente é puramente materialista,
não reconhece a existência de algo transcendente aos fenômenos
puramente físicos. Mas as evidências em contrário
são muito grandes. A ciência não empurra Deus para
longe, simplesmente não admite a existência de nenhum ser
divino, isto é, sem corpo físico. Sim, o método
científico está sempre empurrando os limites do saber,
mas de maneira unilateral, somente do ponto de vista físico.
Com isso, coloca limites em si próprio - até na matemática.
Existem problemas matemáticos bem definidos que não se
sabem se têm solução, são os "problemas
indecidíveis". Não, não é a "Inteligência"
Artificial que poderá nos dominar, mas seu uso indevido por seres
humanos. Sim, o seu mau uso poderá deixar as pessoas burras.
Mas a TV já faz isso... Steiner foi um ardoroso defensor do livre
pensar, veja seu livro A Filosofia da Liberdade. Qualquer opinião
em contrário é fruto de um desconhecimento de quem ele
foi e de sua obra.
1. 27/11/18 20h30, para participantes do Ramo Rudolf Steiner da Sociedade
Antroposófica no Brasil e interessados, na biblioteca da Escola
Waldorf Rudolf Steiner, R. Job Lane 900, Sto. Amaro, São Paulo,
SP; info: Sonia Setzer sosetzer_arrb.gmail.com33.
- [1] Minibiografia de Cantor e os desafios para a aceitação
de sua teoria pelos matemáticos da época. [2] Diagonalização,
no início da explicação, logo depois foi esclarecida.
[3] Ótima relação entre a atividade matemática
como um exercício de meditação espiritual. RESP.:
De fato Georg Cantor, que introduziu a teoria dos conjuntos, os números
transfinitos e a correspondência um-para-um (bijeção)
entre conjuntos, foi desprezado por vários matemáticos
famosos (mas não todos!),. Ele tinha uma cátedra na Universidade
de Halle e queria assumir uma na Universidade de Berlin, que tinha mais
prestígio, mas nunca conseguiu isso pois professores de lá
achavam que suas teorias eram contra-intuitivas (o que realmente são!)
e mesmo chocantes. No entanto, hoje elas fazem parte de qualquer conhecimento
matemático superior. A diagonalização, que vimos
na palestra, foi uma ferramenta mental desenvolvida por Cantor para
mostrar, usando a bijeção de um conjunto para um outro,
que o número infinito dos números racionais é igual
ao número infinito dos números naturais.
- [1] A espiritualidade do mundo infinito. [2] Se tudo se
transforma em um ponto, como posso ter dois planos separados por retas?
[3] Necessário trabalhar mais a pergunta 2 e racionalizar a mesma.
As provas de infinito e ponto não me trouxeram tranquilidade.
RESP.: Cuidado, tratamos apenas do infinito na geometria e nos
conjuntos de números; não tive tempo de abordar o infinito
na física. Qualquer objeto que se represente mentalmente pode
ser reduzido mentalmente em escala até se converter em um ponto;
como eu disse no começo, um ponto ideal pode ser encarado como
a representação mental de qualquer objeto (uma circunferência,
uma esfera, um cubo, uma cadeira e assim por diante) com escala reduzida
ao infinitamente pequeno. Um plano ideal pode ser dividido em duas partes
se se traçar nele duas retas convergentes, como mostrei. Experimente
fazer a meditação de reduzir uma figura geométrica
a um ponto, e os dois exercícios que usei para mostrar que uma
reta vai para o infinito de um lado e volta
do mesmo infinito do outro lado. Quem sabe familiarizando-se com essas
ideias você poderá encará-las com tranquilidade.
- [1] Aprendi que meu conhecimento é (infinitamente) limitado!!!
[3] O que foi apresentado é excelente para a interiorização
(meditação). Obrigado! A apresentação demostra
domínio do conhecimento da matemática. RESP.: O
conhecimento é limitado se baseado exclusivamente no mundo físico.
No mundo das ideias ele não tem limites!
- [1] A possibilidade que a matemática nos permite pensar no
irracional (espiritual) de forma objetiva. [2] Como aplicar
isso na prática? [3] Gratidão pelo compartilhamento! RESP.:
Cuidado com a palavra irracional: ela é usada na
matemática para indicar números que não podem ser
reduzidos à razão de dois inteiros. A matemática
é toda objetiva, pois quem tem domínio sobre ela entende
perfeitamente o que ela é, independente, por exemplo, se gosta
dela ou não, o que envolveria subjetividade (cada pessoa tem
sentimentos absolutamente individuais).
- [1] Que a matemática me dá a universalidade. [3] A todo
momento da palestra me vinha à memória o fato de Rudolf
Steiner ter iniciado sua vida acadêmica pelas ciências exatas.
Não será o primeiro caminho iniciático dele? RESP.:
Sim, os conceitos matemáticos são universais, não
dependem de quem os está observando com o pensamento. Rudolf
Steiner disse várias vezes que a ciência física
é essencial para se desenvolver um pensar objetivo e exprimi-lo
conceitualmente, para a compreensão objetiva e não para
os sentimentos, que são subjetivos, já que o mundo físico,
se observado sadiamente, é objetivo. Além disso, as leis
que regem o mundo físico são ideias, elas não estão
nos objetos. Nós as reconhecemos pois com o pensar observamos
o mundo platônico das ideias.
- [1] Sobre os pontos, retas, dos dois lados infinitos... [2] Tudo é
novidade, nunca foi meu forte a matemática. [3] Valeu a curiosidade.
RESP.: Qualquer pessoa pode compreender a matemática elementar.
Pegue um livro-texto de matemática escolar e siga tudo, você
verá que poderá desenvolver um raciocínio matemático.
- [1] Aprendi o conceito de infinito. [2] O conceito de diagonalidade.
[3] Interessante perceber que a maior parte do tempo fazemos contas
e não ficamos no conceito. RESP.: A construção
da tabela dos números racionais, e o percurso sistemático
deles na tabela, associando-se cada um com um número racional
ordinal (que indica uma ordem de disposição desses números)
foi uma construção genial do Cantor e de extrema simplicidade.
Sim, o uso mais comum da matemática é o de fazer contas.
Os conceitos de infinitamente grande e pequeno na matemática
transcendem as contas; trata de algo qualitativo objetivamente!
- [1] Que os infinitos se encontram tanto nos círculos progressivos
como na reta. [2] Várias dúvidas. Falta-me conhecimento
matemático. [3] Deu vontade de estudar matemática. RESP.:
Tentei mostrar que os conceitos matemáticos que abordei podem
ser compreendidos sem conhecimento matemático prévio.
- [1] Que os infinitos são iguais. [3] Pode-se chegar a conclusões
com simplicidade. RESP.: Mostrei que em alguns casos o o número
de elementos de um conjunto e o de outro que é um subconjunto
do primeiro é o mesmo infinito, como é caso dos números
naturais e dos números pares, o que é supreendente pois
claramente o segundo é um subconjunto próprio do primeiro.
Mas também mostrei que o número infinito de números
naturais é menor do que o número infinito dos números
reais (os que englobam os números racionais e os irracionais).
- [1] A importância de tentarmos compreender a realidade do pensamento
matemático, embora surpreendente. [3] Foi um bom exercício.
RESP.: Para mim, o mais importante no assunto é compreender
que conceitos matemáticos objetivos transcendem as representações
mentais baseadas no mundo físico.
- [1] O conceito de infinito não é exatamente o que pensamos,
sempre levamos relação com o mundo físico. [2]
Não é bem uma dúvida, mas uma curiosidade para
seguir na pesquisa do assunto. [3] Citando o músico Renato Russo
Realmente o infinito é um dos deuses mais lindos.
RESP.: De fato, o infinito na matemática não é
um conceito baseado no mundo físico, portanto está no
mundo divino.
- [1] A palestra é muito interessante porque demonstra como exercitar
o pensar a partir de realidades objetivas que não se fundamentam
na realidade física. Nos indica que podemos desenvolver o mesmo
caminho com conteúdos espirituais, ou seja, que não se
podem reconhecer pelo sentidos.
- [1] Não conhecia os transfinitos. Que um infinito pode ser
maior do que outro infinito... E que há infinitos infinitos!
[2] Como mostrar que há infinitos números transfinitos?
[3] Gostaria de assistir à palestra sobre ф. RESP.:
Fique de olho nas minhas palestras programadas, em
www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
A palestra que trata em detalhe da razão áurea é
a "A sequência e a espiral de Fibonacci, a razão e
a espiral áureas e suas ocorrências na natureza".
Ver o resumo,
as avaliações
de participantes, e a apresentação
com as ilustrações. Venha assistir a próxima!
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