OS SURPREENDENTES CONCEITOS DE INFINITO
NA GEOMETRIA, EM CONJUNTOS DE NÚMEROS E NA FÍSICA

AVALIAÇÕES DE PARTICIPANTES

Valdemar W. Setzer
Departamento de Ciência da Computação, IME-USP
www.ime.usp.br/~vwsetzer – esta versão:13/7/20

Nesta página encontram-se todas transcrições de avaliações de participantes desta palestra, conforme escreveram no One-minute paper ou no formulário on-line: [1] Coisa mais importante aprendida; [2] Maior dúvida que ficou; [3] Comentários. Os originais estão à disposição para exame. Note-se que nem todos os participantes entregam as avaliações. Ver a o resumo da palestra e a apresentação em ppt.

4. 8/7/20 palestra remota pelo google meet com transmissão pelo yutube, para professores, alunos de licenciatura, e interessados, promovida pelo Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM) do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, dentro do projeto Embaixadores da Matemática do IME; info: profa. Ana Paula Jahn anap junto jahn no gmail. Na avaliação remota, graus de satisfação 1: muito insatisfeito a 4: muito satisfeito. Com a palestra: 91,2% de 4 e 8,8% de 3. Com a transmissão remota: 85,3% de 4 e 14,7% de 3. Alunas/os de curso superior: 13; professoras/es de ensino básico: 9; professoras/es de ensino superior 3; formado em curso superior: 7; aluna/o de ensino médio: 1; outra atuação: 1. Houve um pico de 182 participantes.

  1. [1] (Sem respostas além das de múltipla escolha.) RESP.: O pintor cujo nome eu tinha esquecido, que fez a demonstração pública da perspectiva foi o famoso arquiteto e pintor Brunelleschi, em alguma data entre 1412 e 1425, mostrando a praça e a catedral de Santa Maria del Fiore em Florença pintadas no verso de um quadro, e montando atrás dele um anteparo que deixava ver a praça e depois tapava parte dela. Girando o anteparo, aparecia um espelho que refletia o quadro, que completava a parte tapada pelo anteparo. Como o quadro tinha sido pintado em perspectiva, o espelho completava a praça direitinho, para surpresa de todo o público, que não estava acostumado a quadros em perspectiva.
  2. [1] Tudo foi de estrema importância. [2] Não, tudo foi bem explicado. [3] Muito boa, tudo foi bem explicado.
  3. [1] A representação projetiva do infinito. [3] Ótimo, apenas ficou confuso quando aos links que precisaríamos acessar. Seria interessante deixar os links na descrição do vídeo. RESP.: Os links estão em minha home page e também no formulário de avaliação que você preencheu, além de estarem nesta página com a síntese das avaliações
  4. [1] Muito interessante a análise de perspectiva. [3] Ocorreu tudo bem.
  5. [1] Perspectiva. [2] Nenhuma. [3] Professor excelente.
  6. [1] Todo conteúdo abordado foi de extrema relevância. [3] Excelente!
  7. [1] Gostei muito da parte da mesma cardinalidade de conjuntos diferentes. [2] A parte que a reta cortava o plano, mas acho que entendi. RESP.: Mostrei que, exlcuindo-se os pontos de uma reta, ela não dividia o plano em duas partes; se ela é horizontal, a parte "de cima" vai para o infinito e continua "em baixo", isto é, é a mesma parte.
  8. [1] Mais sobre o infinito na geometria e como trabalhar isso com meus alunos, perspectiva para trabalhar o conceito das retas paralelas no infinito e poder relembrar geometria projetiva (que faz tempo que não dou aula). [2] Conseguir entender melhor a divisão do plano pela reta. [3] A palestra foi maravilhosa; por ser on-line, permitiu que eu pudesse participar pois, se fosse presencial, não poderia. RESP.: Vou propor que minhas futuras palestras presenciais no IME sejam simultaneamente transmitidas pela internet.
  9. [1] É incrível como um ponto ou uma reta, podem ser tão complexos. A apresentação é realmente interessante. [2] O infinito na Física. RESP.: Talvez eu devesse ter chamado de "o infinito no mundo físico", mas eu quis fazer, no título, uma contraposição à matemática.
  10. [1] Quando se trata de infinito não se pode usar o raciocínio com base nas percepções sensoriais. [2] Se não faz sentido falar em matéria no nível atômico (microcosmo) também não faz sentido no macrocosmo? A matéria então é uma ilusão dos sentidos ? [3] A palestra do Professor Setzer foi excelente para despertar reflexões sobre a finitude do mundo sensível. RESP.: No fundo, qualquer elemento geométrico ideal não existe fisicamente. No caso do infinito, isso fica patente, mas acho importante que se tenha consciência que jamais vimos um ponto geométrico, um segmento de reta, uma circunferência etc.. O que vemos são representações dos conceitos, que não existem fisicamente e são objetivos e universais. Acho importante explicar isso para os alunos, chamando a atenção para o fato de que nosso pensamento é capaz de captar realidades que, na minha opinião, não são físicas. Sim, na minha concepção tanto no micro quanto no macrocosmo a matéria como a vivenciamos desaparece. A própria física reconhece isso, ao estabelecer que há correspondência entre energia e matéria. Mas eu vou mais longe: na minha hipótese de trabalho, tanto a matéria quanto a energia são condensações de algo que não é físico – por isso não conseguimos compreender o micro ou macrocosmo com umpensamento baseado em nossas vivências físicas sensoriais. Porém, a matemática mostra que podemos pensar não sensorialmente. Não, a matéria não é uma ilusão dos sentidos (os antigos hindus achavam que era, e a chamavam de "maia"), mas é fundamental ter consciência de que existe uma realidade subjacente a qualquer objeto, que é a sua essência, seu conceito (os antigos hindus davam mais realidade a essa essência, que eles percebiam, do que ao seu aspecto material, daí a "maia"). O mundo sensível não é finito, ele tem infinitas nuances; por exemplo, uma árvore já mostra isso; idem para uma orquídea em flor.
  11. [1] Noções de infinito. Fiquei maravilhado. [2] Quando imagino o infinito em minha cabeça e eles se encontram, uma figura que eu imagino é uma esfera. Mas isso é loucura!! Pois o infinito não tem fim. Então, não se encontram. Mas o senhor falou que se encontram. Estou confuso. Rsrs. [3] Muito bem executada. Parabéns! RESP.: Em primeiro lugar, suas imaginações passam-se na sua mente, e não na sua cabeça; se o cérebro excretasse os pensamentos não poderíamos concentrá-los segundo nossa vontade. Em segundo lugar, vamos pegar a reta, para simplificar. Realmente não conseguimos imaginar, como nosso pensamento comum, que as extremidades de uma reta horizontal prolongada para a direita e para a esquerda acabam se encontrando. É preciso fazer um esforço mental para captar esse conceito. Experimente fazer um exercício de concentração mental, imaginando as duas maneiras que eu usei para demonstrar que o infinito é o mesmo: a rotação da reta em torno de um ponto e os percursos nas circunferências de raio cada vez maior. Aliás, essa técnica de percorrer figuras geométricas foi muito usada em demonstrações na antiguidade. Sim, você pode usar uma esfera, mas aí, em lugar de uma reta, use um plano e esferas que o tangenciam num mesmo ponto, com os raios aumentando gradativamente.
  12. [1] A aplicação de raciocínio mental aliada à matemática e a ideia de infinito aliado aos conceitos da física, pois como matemática só penso mentalmente. [2] Gostaria que o professor divulgasse o canal para os congressos religiosos da matemática, pois me interessei em conhecer mais. [3] A palestra foi ótima, me interessei do inicio ao fim. Gostaria de ter outra. RESP.: A física teórica também tornou-se algo puramente mental. Não conheço congressos religiosos sobre matemática. O que eu citei foi que já dei essa palestra para grupos de estudo espiritualistas, quando salientei muito mais o fato de que na matemática usamos um pensamento cujo conteúdo não é físico, isto é, é espiritual. Quanto a eu dar outra palestra, é só organizar um bom grupo, em qualquer ambiente e me convidar. Veja as palestras que tenho dado ultimamente em
    www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
  13. [1] Como abordar assuntos com alunos do ensino fundamental de forma diferente. [2] Sobre incomensurabilidade. [3] Adorei a palestra, achei os exemplos bem didáticos e mostra outras formas de abordarmos esses temas com alunos do ensino fundamental, além de mostrar como a matemática é mágica e cativante. O Professor Valdemar transborda essa paixão pela matemática e nos entusiasma. Sou formada em Lic. Matematica (UEPG), em Lic. Interdisciplinar em Ciências Naturais (UTFPR), mestranda do PPGECT - UTFPR e professora do ensino fundamental e médio. RESP.: Atenção: em minha opinião os conceitos que abordei não devem ser expostos no ensino fundamental, são abstratos demais para essa idade. É muito prejudicial aos jovens serem forçados a pensar abstratamente, o que infelizmente é o padrão do ensino. Por exemplo, veja como se define o que é uma ilha (mais ou menos aos 8 anos de idade?), "um pedaço de terra cercado de água por todos os lados." Essa é uma ilha absolutamente morta, abstrata, sem vida, sem árvores e bichos, sem ondas batendo nas praias em em pedras etc. Sobre a incomensurabilidade, usei como exemplo a diagonal de um quadrado. Por exemplo, seja um quadrado com lado de 10 cm; a diagonal terá o tamanho da raiz quadrada de 200 cm. É impossível achar uma unidade de medida dos lados, como por exemplo o milímetro, isto é, cada lado tendo 100 mm, dando um número inteiro de milímetros para a diagonal, pois a raiz quadrada de 200 é um número irracional; é impossível medi-la com um número finito de milímetros (ou qualquer unidade que dê um número inteiro dela para os lados).
  14. [1] As ideias de infinitos geométricos. [2] A relação de cardinalidade do quadrado com a reta. [3] Foi excelente. RESP.: Na realidade, foi a relação do número infinito de pontos de um quadrado (cardinalidade infinita) com o número infinito de pontos de um segmento de reta. Eu mostrei que se pode construir uma correspondência biunívoca entre um ponto qualquer de um quadrado de lado 1, com algum ponto do segmento de tamanho 1, e vice-versa. Pode-se associar cada ponto do quadrado com as coordenadas, digamos, (a,b), sendo a nas abcissas e b nas ordenadas. Aí se constrói um ponto do segmento, com a distância à origem igual a um número formado pelos algarismos de ordem ímpar usando os algarismos extraídos consecutivamente de a, alternando com os de ordem par extraídos de b. E vice-versa para associar cada ponto do segmento com um ponto do quadrado. A existência da correspondência biunívoca mostra que a cardinalidade do conjunto de pontos do quadrado é a mesma que a do conjunto de pontos do segmento, isto é, o número infinito de pontos do quadrado é o mesmo que o do segmento. Veja a apresentação em ppt para compreender melhor o que acabei de escrever.
  15. [1] A questão do infinito em relação às retas e planos e como se dá a separação. [2] Como apresentar essas questões na escola e em qual momento seria o melhor para isso. [3] Podem pensar em usar o Zoom para essa transmissão porque é possível ter perguntas em tempo real. RESP.: ATENÇÃO: Quando eu disse que esses conteúdos deveriam ser abordados no ensino médio (talvez no 3° ano, pois exigem maturidade), eu esqueci de dizer que isso deveria ser feito em várias aulas, e não numa só como tive que fazer. Seria interessante dar mais exemplos e dialogar com os alunos. Quanto ao Zoom, é a plataforma com a qual tenho mais experiência de dar palestras, e a acho muito melhor do que o google meet. Infelizmente o IME não tem o Zoom contratado, e sem contrato o limite é de 100 pessoas e de 40 minutos por sessão. No entanto, se a palestra é retransmitida pelo youtube, acaba havendo a separação entre o palestrante e os participantes, o que não acho ideal; isso ocorreria da mesma forma com o Zoom. Infelizemente não me ocorreu usar um segundo micro, ou um tablet ou um celular, para ter ao lado o que estava sendo transmitido pelo youtube.
  16. [1] Da questão da perspectiva de que a reta não divide o plano em duas partes. [2] Como definimos o ponto de fuga de uma perspectiva. RESP.: Tome duas retas paralelas, por exemplo as guias de uma rua bem comprida, encontrando-se em um ponto, como você as vê. Esse ponto, que deveria estar na altura de seus olhos em relação às figuras representadas, será o ponto de fuga de todas as outras paralelas às duas primeiras. Vou salientar isso nas próximas palestras, obrigado!
  17. [1] Noção de infinito na matemática, principalmente. [2] Nenhuma grande dúvida. [3] Excelente palestra! Ótima didática do professor e transmissão fluindo muito bem! RESP.: Que bom que tudo correu bem! Foi a primeira vez que dei uma palestra com conteúdo matemático por vídeo conferência. É bom saber que consigo fazer isso de maneira a interessar os participantes (como é o caso de minhas palestras presenciais).
  18. [1] Sobre "mostrações" de enumerabilidade, que podem ser apresentadas na educação básica. [2] Sobre enumerabilidade em geral. RESP.: Acho que os conceitos de enumerabilidade e de inumerabilidade podem ser apresentados aos alunos de maneira bem simples. Por exemplo, o fato de se poder contar quantos eles são na classe (faça um deles contar). Em seguida, mencione, por exemplo, o número de salas da escola. Depois, coloque alguns conjuntos no quadro negro e peça para os alunos contarem os elementos de cada um. Em seguida, coloque os primeiros números naturais, e mostre que podem ser contados idefinidamente. Daí, mecione algo da natureza que não se pode contar, como por exemplo as moléculas de água em um lago. Finalmente, trace um segmento de reta e peça para um dos alunos vir à frente e contar quantos pontos há no segmento. Aí passe para os reais. Veja aqui um exemplo de didática: sempre começar com algo que diz respeito aos próprios alunos. Assim eles podem identificar-se com o assunto, que deixa de ser puramente abstrato!
  19. [1] Foi muito interessante repensar os conceitos básicos da geometria, afinal não é todo dia que olhamos para um ponto e nos perguntamos se ele é um ponto geométrico! Também foi legal abrir a mente para as retas paralelas que se encontram no infinito, o conceito de ponto de fuga e a sua presença nas artes. Gostei de rever os conceitos de análise real, como a enumerabilidade. [2] Sem dúvidas. [3] A palestra foi incrível, o professor é excelente, eu assistiria uma palestra sua que durasse até 5 ou 6 horas! A transmissão foi muito boa, uma plataforma acessível, conexão estável, parabéns aos envolvidos pelo trabalho bem elaborado. RESP.: Ótimo eu ter passado a mensagem de que devemos encarar figuras geométricas como representando conceitos que não vemos. Quanto à falta de dúvidas, que péssima palestra (he he he)! Uma aula ou palestra sempre deveria deixar dúvidas no ar... Mas às vezes as pessoas não conseguem exprimir suas dúvidas.
  20. [1] Ampliou minha ideia de infinito! [2] A matemática é desafiante para mim, mas consegui captar a mensagem no plano geral.[3] Foi excelente a transmissão, fiquei maravilhada com o palestrante, sua sabedoria, sua clareza, sua disposição e talento para ensinar essa matéria tão complexa! Minha formação acadêmica é psicologia, mas gosto de ampliar, estudando antroposofia, cosmologia, o ser humano em sua totalidade e avançar no infinito. RESP.: Obrigado pela avaliação, especialmente interessante por vir de uma pessoa da área de humanas. Gostaria de chamar a atenção para a importância de se praticar a matemática, pois ela treina um pensamento claro, sintético e coerente, que é necessário poder exercitar além do pensar intuitivo não formal (eles se completam!).
  21. [1] Cardinalidade entre conjuntos fiquei encantada . [2] Sobre o tempo gostaria de maiores informações, tenho também que me aprofundar. [3] Aprendizado de alto grau, uma tarde onde tive o prazer de ter explicações claras e fundamentadas de cada tema. Um mestre com louvor . Sou professora de Matemática do Ensino Médio na escola E.E.Dr.Aureliano Leite - em Osasco-SP. RESP.: Vários filósofos abordaram a questão do tempo, como Kant, Bergson e mais recentemente Heidegger. É importante não confundir a medida do tempo, a cronometria, como o tempo em si. Um excelente artigo sobre o tempo é o
    https://en.wikipedia.org/wiki/Time
    Chamei a atenção para o fato de que observamos o espaço, mas o tempo em si não pode ser observado, deve ser vivenciado; nesse sentido, para nós ele é real, contrariamente ao que dizem certos filósofos . É importante salientar que o tempo na física não é o nosso tempo; por exemplo, a menos do crescimento da entropia, nas equações da física a "flecha do tempo" pode ser revertida. Já que você é professora de ensino médio, não quer me convidar para dar palestras para seus alunos? A única palestra que dei em Osasco foi para alunos da FITO em 2003. Veja meu endereço de e-mail no topo de minha home page.
  22. [1] (Sem respostas além das de múltipla escolha..)
  23. [1] Uma reta não divide o plano em nenhuma parte. [3] Acredito que a palestra conseguiu cumprir sua função mesmo de maneira remota, muito boa e com bastante conteúdo pertinente.
  24. [1] Comparar cardinalidade dos elementos e o encontro dos infinitos. [2] Ainda não compreendi muito porque a quantidade de pontos no quadrado são iguais à quantidade de pontos em uma reta. RESP.: Veja a resposta à avaliação 13 acima.
  25. [1] Aprimorei meus conhecimentos sobre cardinalidade entre conjuntos. [2] Quais são as geometrias em que as retas paralelas se cruzam no infinito. RESP.: Certamente na geometria euclidiana. Mas se você tomar uma não euclidiana, como a esférica, isso é algo óbvio. Pegue dois meridianos da Terra saindo do equador. Eles são paralelos no equador, e se encontram nos polos. Aliás, os ângulos do triângulo esférico assim formado somam mais do que 180°! E se os meridiando forem opostos, o triângulo terá 360°.
  26. [1] Os diferentes conceitos do infinito. [2] Qual será a próxima palestra do Mestre. [3] Excelente palestra e uso da transmissão remota. RESP.: Tenho apenas uma palestra agendada, uma 2ª parte de outra que já dei, sobre filosofia.. Estou aguardando convites! Para seguir minhas palestras programadas, veja em
    www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
  27. [1] Conceitos de infinito na geometria, em conjuntos de números e na física. [2] Parte de infinito. [3] Excelente.
  28. [1] Sobre os vários conceitos do infinito e a incapacidade de nossos sentidos físicos para percebê-lo. [3] Excelente palestra, muito esclarecedora. RESP.: Depende. Veja o caso das nuvens: para o nosso sistema óptico, elas estão no infinito. Os eixos de nossos dois olhos ficam paralelos quando observamos as nuvens, devido à grande distância em que elas estão, isto é, nosso sistema estereoscópico não distingue as diferentes distâncias formadas pelos contornos das nuvens, é como se todas estivessem no infinito. Idem para a adaptação do cristalino quando se percorre as nuvens. Você poderia perguntar: mas como percebemos os volumes delas? Isso é devido a efeitos de luz e sombra! Observe bem as nuvens, e admire as formas de volume que elas assumem devido aos efeitos de luz e sombra. Ou as diferentes cores no nascer e pôr do Sol. Um exercício mental muito bom é olhar para as nuvens, fechar os olhos e tentar formar a imagem delas, a representação mental, pela lembrança – inclusive notando como nossa memória é muito mais imprecisa do que a percepção visual direta.
  29. [1] Novas abordagens para discutir a ideia de infinito. [3] Bem planejada e executada. RESP.: Aproveite meus enfoques, expanda-os, aperfeiçoe-os e leve as ideias de infinito para seus alunos! Como você é professor/a de ensino superior, se for de matemática certamente trabalha com a noção de infinito no cálculo diferencial e integral e nos limites. Mas aí o infinito reduz-se a um mero símbolo com sua própria álgebra, como por exemplo infinito+1=infinito.
  30. [1] Bom, como eu sou estudante de matemática, eu considerei mais importante, os conceitos de infinito na física, mas aprendi muitas coisas que não sabia nos conceitos matemáticos, como por exemplo: o conceito de cardinalidade entre os conjuntos (as demonstrações). [2] Não ficou dúvida, foi tudo compreensível. [3] Palestra muito boa, com certeza eu consegui expandir meus conhecimentos, otímo professor, e a transmissão estava perfeita. RESP.: Mais correto teria sido eu dizer "o infinito no mundo físico".
  31. [1] Acho que pude ampliar um pouco mais minha percepção ou capacidade de abstração de certos conceitos. Busco entender a natureza mais profunda do universo, e acho que a matemática pode ser uma linguagem importante nesse sentido. [2] Não sei expressar uma dúvida específica. Quando ultrapassou a primeira parte, sobre perspectiva e com referências do universo da arte, e entrou em explanações e terminologias um pouco mais elaboradas (para meu entendimento particular), me perdi em alguns momentos. Ainda assim, acredito que consegui acompanhar, em geral. [3] Ótima palestra! Aprecio também o esforço em tornar o tema acessível para leigos, como é meu caso, como designer. RESP.: A matemática tem aplicações práticas, mas também serve para se admirar a natureza, ao mostrar que ela segue certas regularidades que podem ser expressas matematicamente. Abordo isso no meu livro, que está para sair, "A matemática pode ser interessante... e linda!" Veja a capa em
    www.ime.usp.br/~vwsetzer/Fibo-capa-definitiva.pdf
    (Aumente a imagem para ler o sumário e o texto da 4ª capa.) Ótimo que você busca entender natureza mais profunda. Em minha concepção de mundo, para isso é necessário sair do âmbito puramente físico, material. Jamais vai se entender profundamente uma árvore examinando apenas seus aspecitos físicos. É como se se quisesse examiná-la usando apenas sua sombra... Note que ciência não sabe o que é vida; as plantas são a manifestação mais pura da vida. Goethe, que foi um grande cientista, afirmou que as plantas se esgotam na sua forma, o que não se passa com os animais, muito menos com o ser humano (que eu não classifico como animal, senão teria que classificar os animais como plantas móveis).
  32. [1] A diferença conceitual da ideia 'infinito" para a Geometria, e do conceito "infinito" na Física. [2] Sobre o infinito, na Física. [3] Muito instigante o conceito de cardinalidade. E a elegante demonstração de Cantor da cardinalidade dos racionais. RESP.: Atenção, o que apresentei sobre o infinito no mundo físico são ideias minhas (fora a historinha do Giordano Bruno). A diagonalização do Cantor mostrou que é possível fazer uma ordenação, isto é, uma enumeração, dos números racionais. A cardinalidade deles é obviamente infinita.
  33. [1] Uma nova visão (controversa) de infinito: +infinito = -infinito = infinito. [3] Acho fundamental a produção de videoaulas. Entendo que elas não substituem 100% as aulas presenciais, mas pelo menos é mais uma fonte. A USP devia incentivar os professores a gravarem as suas aulas e as disponibilizarem na internet. A USP deve aproveitar os seus talentos e disseminar de forma gratuíta o máximo possível de informações, não apenas aos alunos matriculados, mas a toda população, que também paga impostos, paga a USP e os salários dos professores. RESP.: No caso da reta atingindo o mesmo infinito em ambos os sentidos de percurso, eu não associei os seus pontos com números reais. Seria possível marcar uma origem na reta e considerar pontos de um lado da origem com coordenadas positivas e, do lado oposto da origem, com coordenadas negativas. Nesse caso +infinito = -infinito. Seria impossível gravar todas as aulas da USP no sistema presencial, pois cada uma necessitaria de um operador da câmera, e são centenas que se passam simultaneamente. Muitas aulas estão sendo gravadas nesta época de isolamento; a disponibilidade delas depende de cada unidade. Mas pelo menos palestras presenciais deveriam ser transmitidas; o IME já faz isso.
  34. [1] Relembrei a necessidade de trazer a matemática para o dia a dia, ampliar a visão, de deixá-la próxima da nossa realidade. [2] Apenas que gostaria de assistir a mais palestras! [3] Transmissão foi perfeita, sem falhas e o conteúdo fluiu como em uma palestra presencial, mas com o conforto de estar em casa. Sou Engenheira Civil e terapeuta complementar. Atuo em ambas as áreas. RESP.: Acho que essa palestra deve interessar particularmente às/aos engenheiras/os, pois em geral os assuntos não são abordados nas aulas de matemática, e todas/os elas/os têm afinidade com ela. Para você, como engenheira civil, a parte de perspectiva certamente não trouxe nada de novo, a não ser a maneira como abordei o tema. Mmmm, quem sabe vou oferecer ao Instituto de Engenharia...

3. 9/3/20 palestra para um grupo de estudos inter-religiosos, São Paulo; info: Newton Zimerman newton ponto zimerman no uol#pt@com#@br. Nesta palestra, o título acima foi precedido por "Matemática e espiritualidade".

  1. [1] A matemática e a luz não são físicas. [2] Visualizar a geometria. [3] Aula encantadora! Nos faz pensar, viajar e sonhar. RESP.: A geometria é a parte da matemática que pode ser visualizada! Além disso, pode ter estética, que falta à álgebra.
  2. [1] A medição dos spins. Relação do físico e do espiritual. [3] Achei a parte da física muito interessante. RESP.: Por detrás de qualquer coisa há um conceito, que não é físico. Lembre-se do que falei: o spin das partículas atômicas não tem limite clássico, portanto não pode ser compreendido.
  3. [1] Consegui ter uma visão dos números que eu nem lembrava. Compreender a questão dos infinitos. [2] A questão das novas descobertas da física. As que desconstroem os conceitos e teorias já propagados. [3] Adorei, embora estivesse bem cansada para aproveitar mais. RESP.: Quanto mais a física e a astrofísica avançam, mais paradoxos aparecem em suas teorias.
  4. [1] Achei interessante a relação entre a matemática e a espiritualidade. [3] Se usa o pensamento para chegar ao mundo espiritual. Pensamento é espiritual. RESP.: O fato de conseguirmos captar conceitos, que não são físicos, mostra que nosso pensamento deve ter algo da mesma natureza deles (cf. a citação de Spinoza que eu fiz), isto é, algo não físico. Uma outra evidência é o fato de termos a capacidade de concentrar o pensamento em algum tema por alguns instantes. Essa liberdade no pensamento não pode advir da matéria, pois ela segue inexoravelmente as leis físicas.
  5. [1] A visão dos números infinitos é uma visão espiritualista, pois as dimensões em 3D pela nossa vivência é diferente da de 2D espiritual. [2] Como as linhas em um triângulo também são infinitas e elas voltam, então não deveriam se encontrar? [3] A minha vivência carnal, faz com que meu pensamento conflita com essa razão. RESP.: A visão mais baixa do mundo espiritual é em forma de imagens em 2D. Os sonhos são uma evidência disso, pois em geral são imagens. Quanto às retas onde estão os lados de um triângulo, sim, se percorridas elas passam pelo infinito e "voltam", cada uma das 3 se encontrando de novo nos lados do triângulo. Quanto à sua vivência física, sim, quando se adentra o mundo espiritual com o pensamento, por exemplo na matemática (que não tem nada de físico, a menos de contagens), é necessário deixar de pensar fisicamente, isto é, com pensamentos baseados em nossas vivências com os sentidos físicos.
  6. [1] Os conceitos mais profundos da matemática, física e geometria são contra-intuitivos, só existem enquanto conceitos não materiais. [2] Compreensão vs. existência. [3] Algumas conclusões poderiam ser mais abertas, por exemplo, a conclusão da inexistência da matéria; existe essa hipótese como a simples incompreensão. RESP.: Você quer dizer que algo que não compreendemos poderá ser compreendido posteriormente, com o avanço do conhecimento. Sim, mas está mais do que na hora de reconhecer que, usando o paradigma científico atual )à la Popper), jamais saberemos e compreenderemos certos fenômenos. Eu citei que, em minha opinião, dessa maneira jamais compreenderemos o átomo, bem como a origem e os limites do universo
  7. [1] Provocou uma percepção de como meu entendimento é limitado. [2] Há uma diferença entre físico e infinito. Impossível saber o que não sei? [3] Gostaria de ira além para ver como tudo isto contribui para minha vida. RESP.: Não há limites ao conhecimento, se ele não se restringir ao conhecimento físico.
  8. [1] Aprendi que as ciências exatas nos dão base até certo ponto, mas não esgotam as possibilidades, havendo espaço para as teorias espirituais. [2] Ter a clareza das correlações das várias espécies de números para melhor compreender as correlações entre esses números e o infinito. [3] Adorei aprender sobre a influência do mundo espiritual sobre o mundo da matéria, em especial no mundo das exatas.
  9. [1] O mais importante foi ver a beleza e a dimensão que se pode alcançar com a matemática. [2] As dúvidas só surgiram a partir do momento que eu já não conseguia acompanhar. [3] Gostei muito da palestra... Acho que deve ser dada durante o dia... À noite houve um momento no qual eu já não acompanhava.
  10. [1] Que os infinitos podem ter [??] provas[??]. [2] Ainda falta muito para aprender. [3] Preciso quebrar a resistência com os números. RESP.: Infelizmente, algumas palavras estavam ilegíveis. Leia meu próximo livro sendo editado pela Ed. Edgard Blücher, A matemática pode ser interessante ... e linda - quem sabe a sua resistência vai diminuir... E já estou escrevendo o próximo, um livro sobre o infinito, baseado na palestra (mas ainda não sei se vou incluir questões de espiritualidade, para não assutar uns e outros).

2 .4/3/20 palestra no Espaço Cultural Rudolf Steiner da Sociedade Antroposófica no Brasil, R. da Fraternidade 156, Alto da Boa Vista, Santo Amaro, São Paulo; info: Derblai Sebben drderblai_at-arro.ba gmail.com. Nesta palestra, o título acima foi precedido por "Matemática e espiritualidade".

  1. [1] A matemática ajuda a compreender a completa diferença entre o mundo físico e o mundo espiritual. [2] Talvez não a maior dúvida, mas a maior curiosidade: como foi o "despertar" do uso/conhecimento matemático relacionado ao mundo espiritual. [3] Aula incrível pela didática e conhecimentos multidisciplinares. RESP.: Na antiguidade, a matemática era associada com o mundo espiritual. Segundo Rudolf Steiner, no volume GA 105, diz que a matemática era algo vivo; para Pitágoras, era algo sagrado, continha uma sabedoria religiosa. Acrescento que a materialização do ser humano fez com que ele perdesse essa noção, mas podemos reconquistá-la, reconhecendo que com a matemática pode-se entrar em contato com realidades espirituais, que não têm nada de físico.
  2. [1] Essencialmente, sinto que aprendi como provar e apresentar de maneira clara e lógica a existência de elementos que fogem do aspecto físico (intuitivo) e devem ser interpretados e analisados de um ponto de vista espiritual (contra-intuitivo). Achei interessante que o mais importante para uma correta interpretação, nos é exigida a disposição de se pensar de maneira diferente da habitual e aceitarmos um olhar que transcende o aspecto sensorial do nosso eu físico. [2] Me perdi na parte da comparação entre o infinito dos números naturais e inteiros ser diferente do infinito dos números reais. [3] Gostei bastante da palestra, que mostrou de maneira tão didática que estamos repletos e cercados de circunstâncias em que nos deparamos com o aspecto espiritual em nosso próprio cotidiano e, muitas vezes, nem percebemos. Gostei da explicação dos diferentes infinitos e a divisão do plano pelas retas. RESP.: Não é possível achar uma correspondência biunívoca entre os reais e os naturais ou os inteiros, pois há infinitos reais que não são inteiros. portanto, os infinitos são diferentes. Como os inteiros estão contidos nos reais, o infinito desses últimos deve ser maior.
  3. [1] O que achai mais importante é o fato de que a matemática é uma ferramenta para se entender melhor a respeito do mundo espiritual. [2] Há muitas evidências a respeito da existência do mundo espiritual. Mas como é exatamente a vida no mundo espiritual. [3] Achei fascinante todo esse conteúdo, muitas coisas que devemos aprender e ainda desconhecemos. Quero aprofundar todos esses conteúdos. RESP.: Para as características do mundo espiritual, leia as obras de Steiner, começando com as obras básicas (A ciência oculta – o titulo deveria ser A ciência do oculto – e Teosofia, mas antes leia o Noções básicas de antroposofia, de Rudlf Lanz, que está disponível na Internet, e meu artigo
    Uma introdução antroposófica à constituição humana
    De qualquer modo, não se deve associar o que pode ser observado no mundo físico com o mundo espiritual.
  4. [1] Que minha visão é puramente materialista. [2] Só sei que nada sei. [3] Fantástico. RESP.: Você sabe que existe, sabe o que os seus sentidos revelam, e confia neles; se não fosse assim, seria pelo menos esquizoide.
  5. [1] Que cada reta não divide o plano e que a matemática, considerando a espiritualidade não é visível com a nossa parte sensorial. [2] Muitas, é um conceito diferente do que aprendi até então.
  6. [1] A matemática nos ajuda a superar o pensamento suprassensível. [2] Afinal, quantos infinitos? [3] Compartilhe conosco a lista de conferências em R. Steiner menciona a matemática. RESP.: Nos conjuntos de números mostrei dois: o dos naturais e inteiros, e o dos reais. Mas há outros, por exemplo os dos números complexos, com uma parte denominada de imaginária, que é 'maior" do que o conjunto dos reais, pois qualquer real é também complexo, mas há uma infinidade de números complexos, com a parte imaginária, que não são reais. Quanto às palestras do Steiner em que ele menciona a matemática, veja a resposta seguinte.
  7. [1] A matemática é do âmbito inspirativo. [2] Quais as 19 palestras de R. Steiner em que ele fala sobre matemática. RESP.: Eram 19 ciclos. GAs 52 palestras de 16/3/04, 30/3/04, 27/11/03; 59 10/3/10; 84 20/4/23; 99; 101 15/9/07; 102 1/6/08; 105; 129; 131; 136; 150 5/5/13; 151; 167; 181 1/4/18; 201 14/5/20; 266b 15/3/11; 293 23/8/19; 323 9/1/21; 324 16/3/21; 324a 22/10/08, 22/4/09, 24/3/05, 7/11/05, 2/9/06, 28/6/08, 22/4/09, 13/2/13 (quem sabe algum dia eu complete as datas faltantes)
  8. [1] Aprendi que a medida que exercitamos a consciência, nosso repertório nos permite compreender o mundo físico em reflexão ao mundo espiritual. [2] Carmicamente, como percorreremos o caminho rumo à ampla consciência? Há uma consciência infinita? Seria o "Eu"? [3] Participar de uma palestra do Prof. V.W.Setzer é sempre enriquecedor ao espírito. Gratidão ao mestre! Continue convidando-se para dar palestras à comunidade. Estaremos sempre juntos! RESP.: O carma nos coloca em situações em que podemos progredir. Mas, atenção, progredir significa desenvolver a liberdade e, a partir dela, o amor altruísta.
  9. [1] Essência espiritual da matemática. Racionalidade da espiritualidade. [2] Infinito, lemniscata, conexões, conceitos... [3] Sugiro aprofundar mais no conceito de espiritualidade para ajudar a criar mais conexões com as demonstrações matemáticas. Muito obrigado! RESP.: Infelizmente, havia limitações de tempo.
  10. [1] Provar o conceito de infinito através do movimento. Pensar fora da caixa, extrassensorialmente. [2] Como é um átomo? Como o Universo está em expansão acelerada? [3] Maravilhoso! Muito bem estruturado! Parabéns, professor. Muito grata. RESP.: Sim, precisamos desenvolver o pensar independente do mundo físico. Ninguém sabe como é um átomo. Os modelos matemáticos são incompreensíveis. Por exemplo, todas as partículas atômicas têm um spin. Mas ele não é uma rotação usual, pois tudo se passa como se a partícula girasse em todas as direções ao mesmo tempo, o que é impossível de ser imaginado fisicamente. Ao se medir uma dessas rotações, na interpretação de Kopenhagen há um 'colapsamento' e o resultado é uma rotação em uma só direção. O spin das fórmulas da física quântica não tem limite clássico, por isso é incompreensível. Não se sabe por que o universo está em expansão acelerada (supõe-se uma energia repulsiva desconhecida, a 'energia escura').
  11. [1] Aprendi que não sabemos nada da verdade absoluta, mas fiquei mais apaixonada pela Matemática e Física. Quanto aos temas abordados, consegui melhorar a compreensão sobre os infinitos. [2] Como é possível chegar mais perto da verdade, embora acredite que seja impossível por ter dimensão infinita. Outra dúvida: como poderia me dedicar a essa pesquisa espiritual. [3] Sua palestra foi sentida na alma e externada emocionalmente (não estou puxando saco, sou realmente apaixonada por Matemática e Física). RESP.: Você é uma verdade! As verdades matemáticas são puramente objetivas, universais. Estude a antroposofia.
  12. [1] Sobre a evolução da consciência e o desenvolvimento da física etc. [2] Por que os dois infinitos são diferentes e não um só infinito que engloba tudo. [3] Gostei muito da palestra, me fez ter mais carinho e interesse na matemática. Na geometria, por exemplo, cada reta vai para um infinito diferente de outras retas que não sejam paralelas a ela. Nos conjuntos de números, mostrei que o numero infinito de números naturais é diferente do número infinito de números reais.
  13. [1] Só sabemos que nada sabemos. [2] "Necessitamos buscar perguntas novas a partir de respostas antigas, ao invés de apenas respostas novas para perguntas antigas." [3] Parabéns pela palestra! Aguardando o livro... RESP.: Você sabe que você existe... E confia em seus sentidos, que lhe transmitem várias coisas que existem. Sim, tentei mostrar coisas que vocês provavelmente não conheciam.
  14. [1] Sobre as quebras de paradigmas tão necessárias para "entender" o mundo ou a infinitude deste nosso mundo. [2] Como trazer mais pessoas para esta visão (essa que pressupõe a quebra de paradigmas). [3] Adorei sua didática e vivacidade. Virei fã. Quem sabe um dia consigo participar de algum curso contigo e ter mais oportunidade de aprender. PS.: Meu negócio chama-se Geometria do Ser. RESP.: A primeira coisa é cada pessoa decidir ser espiritualista, isto é, reconhecer que há algo mais no universo e no ser humano do que matéria, energia e processos físicos.
  15. [1] Duas retas paralelas se encontram! E o sensorial nos dá visão completamente diferente. [2] Infinitas! Rs. Plantou semente de querer saber mais. [3] Obrigada! Sabedoria transmitida com amor.
  16. [1] Que existe um mundo espiritual, que vai além do físico e isso pode ser provado pela matemática. [2] O mundo físico está contido no espiritual? Eles se encontram? [3] Adorei! Parabéns! Leve, profundo interessante e cheio de conteúdo. RESP.: Acho que pela matemática pode-se reconhecer que há conceitos, que podemos captar, que são universais, objetivos, não são físicos e que nosso pensamento tem algo em comum com eles.
  17. [1] Perceber que ainda há coisas a serem exploradas e entendidas tanto no universo quanto em nossas vidas. [2] Se os números imaginários também poderiam ser vistos como algo espiritual e meditativo. [3] Ótima palestra, super-envolvente, por te fazer pensar, e ótima didática. RESP.: Não falei dos números complexos, pois certamente muitas pessoas teriam dificuldades com a raiz quadrada de -1. Mas eles constituem um infinito 'maior" do que o dos reais.
  18. [1] O conceito de infinito é um portal de acesso para uma espiritualidade não mística. [2] Clareou minha compreensão sobre as categorias dos números. [3] Obrigado!
  19. [1] Movimentação dos elétrons com perda de energia. Teoria de Bohr. [2] Duas retas perpendiculares não dividem o plano, porém duas retas diagonais dividem em duas partes. O que o ângulo tem de especial. RESP.: Usei uma perpendicular simplesmente para mostrar que uma reta não divide um plano em duas partes. Usei as duas retas em diagonais, cruzando-se, para mostrar que elas dividem o plano em apenas duas partes. Poderia ter usado duas retas ortogonais para isso.
  20. [1] O mundo espiritual <u>não pode</u> ser compreendido sensorialmente. Na Matemática e na Física podemos chegar a essa fronteira. Logo, nos preparam para lidar com o mundo do espírito. [2] Não fiquei com dúvidas. Tenho vivenciado muito disso como meus alunos. [3] Parabéns. Estou ansioso para ler seu livro.
  21. [1] Que 2 paralelas encontram-se no infinito. [2] Não entendi como há 2 infinitos. Ou até mais do que 2. [3] Obrigada! Interessada pelo livro lindo! RESP.: Na geometria, cada retas que não são paralelas passam por um infinito diferente. Na teoria dos números, os número infinito de reais é diferente (e "menor") do que o número infinito de naturais. Não pode haver uma correspondência biunívoca entre eles pois os reais não são numeráveis, como os naturais.
  22. [1] Os conceitos sobre infinito e sua relação com a espiritualidade. [2] Não ficou claro para mim o que está chamando de espiritualidade. Entendo que chegamos a um conceito distante do mundo físico, mas não ficou claro a relação com o espírito. [3] Excelentes provocações e reflexões. RESP.: Uma pessoa é espiritualista se admite, idealmente por hipótese de trabalho, que existem fenômenos no ser humano, animais, plantas e no universo, que não são redutíveis a fenômenos físicos. Isto é, que tudo isso não é somente composto de matéria e energia física. Denomino de "Hipótese Existencial Fundamental" a decisão que cada um tem que fazer, se adota a hipótese materialista de que só há matéria e energia física no universo, ou adota a hipótese espiritualista. A vida coerente deveria orientar-se pela escolha de uma ou outra hipótese. Na palestra, tentei mostrar que podemos trabalhar com conceitos matemáticos que não têm nada a ver com o mundo físico. Como fazemos isso com nosso pensamento, isso significa que ele tem algo em comum com o mundo platônico, não físico, das ideias.
  23. [1] O infinito é provado pela continuidade utilizando a geometria e a mecânica. [3] [É interessante saber que se pode provar que as perspectivas são infinitas. RESP.: Talvez você quis escrever algo diferente de "perspectivas", já que eu falei da perspectiva linear.
  24. [1] Que a nossa intuição é baseada nos nossos sentidos (representação de realidade), e não na realidade. [2] Alguns raciocínios mais específicos como o dos números racionais e naturais. Já não conseguia mais raciocinar. RESP.: Cuidado, quando eu usei a palavra "intuição" eu quis me referir à intuição baseada nas nossas experiências sensoriais. Na verdade, a intuição é ter uma ideia, e é um fenômeno anti-científico, pois de onde ela vem?
  25. [1] Que a matemática é muito interessante e desconhecida. [2] A dúvida sempre está presente em tudo. [3] Gostaria de ouvi-lo mais vezes, os números me encantam. Grata. RESP.: Você não duvida de sua existência. Não duvida que, ao olhar para a entrada da sala onde está, está vendo uma porta. Se tivesse essas e muitas outras dúvidas, seria pelo menos esquizoide. É interessante notar que, às vezes, sua consciência lhe dá certeza absoluta de alguma ideia.
  26. [1] A matemática e geometria como instrumento de meditação. [2] Muitas informações em pouco tempo. [3] Excelente exposição. Parabéns!!! RESP.: Infelizmente, o tempo era curto. Talvez eu devesse transformar essa palestra em um curso de umas 4 horas. Mas é mais fácil organizar uma palestra do que um curso.
  27. [1] O mundo espiritual é objetivo. [2] O espírito é infinito? (Acho que sim!) O exato é poético! O poético é exato? RESP.: No mundo espiritual não há espaço, de modo que se poderia considerar que o espírito é infinito. O exato não é poético, mas pode-se fazer poesia sobre ele... A poesia não pode ser exata, senão vira matemática.
  28. [1] Como quando criamos e usamos matemática para "figurar" o nosso espiritual de infinitas formas, e não trazê-la apenas para a situação física, 3D, mas que ela pode ser de grande utilidade para representação espiritual.
  29. [1] Aprendi que o espírito está em tudo e por trás de nossos sentidos está uma força divina. [2] Nossa capacidade limitada de compreensão. RESP.: Cuidado, eu não falei da divindade.
  30. [1] Sob a perspectiva do infinito, não se acha correspondência perceptível a nossos sentidos terrenos (inferiores). A linguagem do infinito é outra que só a matemática e a poesia podem, talvez aproximarem-se da sua tradução.
  31. [1] Uma linha reta não divide o espaço. [2] O espírito não é compreensível nem perceptível. A alma da consciência é um instrumento de percepção dele? [3] Muito legal! Parabéns. RESP.: O espírito não é compreensível fisicamente!
  32. [1] Uma forma de ver o mundo espiritual através da matemática. [2] O mistério, continua sendo o êxtase.
  33. [1] A importância de separar os domínios sensorial do espiritual, a fim de obter maior compreensão da realidade. [2] Provar que os números reais não possuem correspondência biunívoca com os naturais. [3] Me ajudou a compreender melhor o livro ("O mistério do Aleph") do Amir Aczel. RESP.: Entre dois naturais, sempre há um número finito de outros naturais. Entre dois reais, há um número infinito de reais. Além disso, os reais não são numeráveis. Não conheço o livro do Aczel, vou procurar.
  34. [1] Que a física quântica e atômica é na verdade uma forma de noética metafísica. [2] Como tal fé se estrutura como epistemologia fenomênica, da ontologia da metodologia científica. [3] Como Steiner passou da fenomenologia ecológica de Goethe para esta tal cosmologia diádica. RESP.: Depende a que forma de noética você se refere. Ela pode ser materialista, e aí a metafísica vira mera abstração. Não usei absolutamente nada de fé na minha palestra. Não tratei de epistemologia fenomênica, pois foi tudo matemática. E não tratei de ontologias; a matemática é puramente sintática. Significados que podemos dar a ela são associações com nossas vivência físicas, que não têm nada a ver com ela. Só tratei da metodologia científica quando discorri sobre o infinito na física.
  35. [1] Aprendi que o infinito, creio que disto posso inferir que o universo também, são curvos! (estou errado?). Entendi que dividir o infinito por 2 por exemplo resulta em infinito. Aprendi que o ponto é infinitesimal e irrepresentável no papel sozinho. [2] Minha maior dúvida é se o homem algum dia vai expulsar para o infinito a idéia de deus, ou seja chegar no conhecimento do infinito, visto que a ciência empurra deus cada vez para mais longe. O método científico não é isto? Sempre empurrando os limites do saber... Será que a inteligência artificial nos dominará nos fazendo artificialmente burros? Ou será que a dominaremos nos fazendo artificialmente deuses? [3] Gosto do livre pensar, diferentemente de Steiner, talvez eu possa me permitir ser um diletante. RESP.: Talvez você esteja se referindo à minha demonstração de que uma reta vai para o mesmo infinito dos dois lados, quando empreguei uma circunferência aumentando de raio até que ele seja infinito. Note que isso não tem nada com o universo, trata-se do puro conceito de reta. Há uma teoria de que o universo é curvo; isso não resolve o problema de se saber o que há do outro lado da curva. Sim, dividindo o infinito numérico por 2 continua-se com o infinito. Sim, qualquer representação gráfica de um ponto não é um ponto ideal, que só existe no mundo conceitual. Infelizmente a ciência corrente é puramente materialista, não reconhece a existência de algo transcendente aos fenômenos puramente físicos. Mas as evidências em contrário são muito grandes. A ciência não empurra Deus para longe, simplesmente não admite a existência de nenhum ser divino, isto é, sem corpo físico. Sim, o método científico está sempre empurrando os limites do saber, mas de maneira unilateral, somente do ponto de vista físico. Com isso, coloca limites em si próprio - até na matemática. Existem problemas matemáticos bem definidos que não se sabem se têm solução, são os "problemas indecidíveis". Não, não é a "Inteligência" Artificial que poderá nos dominar, mas seu uso indevido por seres humanos. Sim, o seu mau uso poderá deixar as pessoas burras. Mas a TV já faz isso... Steiner foi um ardoroso defensor do livre pensar, veja seu livro A Filosofia da Liberdade. Qualquer opinião em contrário é fruto de um desconhecimento de quem ele foi e de sua obra.

1. 27/11/18 20h30, para participantes do Ramo Rudolf Steiner da Sociedade Antroposófica no Brasil e interessados, na biblioteca da Escola Waldorf Rudolf Steiner, R. Job Lane 900, Sto. Amaro, São Paulo, SP; info: Sonia Setzer sosetzer_arrb.gmail.com33.

  1. [1] Minibiografia de Cantor e os desafios para a aceitação de sua teoria pelos matemáticos da época. [2] Diagonalização, no início da explicação, logo depois foi esclarecida. [3] Ótima relação entre a atividade matemática como um exercício de meditação espiritual. RESP.: De fato Georg Cantor, que introduziu a teoria dos conjuntos, os números transfinitos e a correspondência um-para-um (bijeção) entre conjuntos, foi desprezado por vários matemáticos famosos (mas não todos!),. Ele tinha uma cátedra na Universidade de Halle e queria assumir uma na Universidade de Berlin, que tinha mais prestígio, mas nunca conseguiu isso pois professores de lá achavam que suas teorias eram contra-intuitivas (o que realmente são!) e mesmo chocantes. No entanto, hoje elas fazem parte de qualquer conhecimento matemático superior. A diagonalização, que vimos na palestra, foi uma ferramenta mental desenvolvida por Cantor para mostrar, usando a bijeção de um conjunto para um outro, que o número infinito dos números racionais é igual ao número infinito dos números naturais.
  2. [1] A espiritualidade do “mundo” infinito. [2] Se tudo se transforma em um ponto, como posso ter dois planos separados por retas? [3] Necessário trabalhar mais a pergunta 2 e racionalizar a mesma. As provas de infinito e ponto não me trouxeram tranquilidade. RESP.: Cuidado, tratamos apenas do infinito na geometria e nos conjuntos de números; não tive tempo de abordar o infinito na física. Qualquer objeto que se represente mentalmente pode ser reduzido mentalmente em escala até se converter em um ponto; como eu disse no começo, um ponto ideal pode ser encarado como a representação mental de qualquer objeto (uma circunferência, uma esfera, um cubo, uma cadeira e assim por diante) com escala reduzida ao infinitamente pequeno. Um plano ideal pode ser dividido em duas partes se se traçar nele duas retas convergentes, como mostrei. Experimente fazer a meditação de reduzir uma figura geométrica a um ponto, e os dois exercícios que usei para mostrar que uma reta “vai” para o infinito de um lado e “volta” do mesmo infinito do outro lado. Quem sabe familiarizando-se com essas ideias você poderá encará-las com tranquilidade.
  3. [1] Aprendi que meu conhecimento é (infinitamente) limitado!!! [3] O que foi apresentado é excelente para a interiorização (meditação). Obrigado! A apresentação demostra domínio do conhecimento da matemática. RESP.: O conhecimento é limitado se baseado exclusivamente no mundo físico. No mundo das ideias ele não tem limites!
  4. [1] A possibilidade que a matemática nos permite pensar no irracional (espiritual) de forma “objetiva”. [2] Como aplicar isso na prática? [3] Gratidão pelo compartilhamento! RESP.: Cuidado com a palavra “irracional”: ela é usada na matemática para indicar números que não podem ser reduzidos à razão de dois inteiros. A matemática é toda objetiva, pois quem tem domínio sobre ela entende perfeitamente o que ela é, independente, por exemplo, se gosta dela ou não, o que envolveria subjetividade (cada pessoa tem sentimentos absolutamente individuais).
  5. [1] Que a matemática me dá a universalidade. [3] A todo momento da palestra me vinha à memória o fato de Rudolf Steiner ter iniciado sua vida acadêmica pelas ciências exatas. Não será o primeiro caminho iniciático dele? RESP.: Sim, os conceitos matemáticos são universais, não dependem de quem os está observando com o pensamento. Rudolf Steiner disse várias vezes que a ciência física é essencial para se desenvolver um pensar objetivo e exprimi-lo conceitualmente, para a compreensão objetiva e não para os sentimentos, que são subjetivos, já que o mundo físico, se observado sadiamente, é objetivo. Além disso, as leis que regem o mundo físico são ideias, elas não estão nos objetos. Nós as reconhecemos pois com o pensar observamos o mundo platônico das ideias.
  6. [1] Sobre os pontos, retas, dos dois lados infinitos... [2] Tudo é novidade, nunca foi meu forte a matemática. [3] Valeu a curiosidade. RESP.: Qualquer pessoa pode compreender a matemática elementar. Pegue um livro-texto de matemática escolar e siga tudo, você verá que poderá desenvolver um raciocínio matemático.
  7. [1] Aprendi o conceito de infinito. [2] O conceito de diagonalidade. [3] Interessante perceber que a maior parte do tempo fazemos contas e não ficamos no conceito. RESP.: A construção da tabela dos números racionais, e o percurso sistemático deles na tabela, associando-se cada um com um número racional ordinal (que indica uma ordem de disposição desses números) foi uma construção genial do Cantor e de extrema simplicidade. Sim, o uso mais comum da matemática é o de fazer contas. Os conceitos de infinitamente grande e pequeno na matemática transcendem as contas; trata de algo qualitativo objetivamente!
  8. [1] Que os infinitos se encontram tanto nos círculos progressivos como na reta. [2] Várias dúvidas. Falta-me conhecimento matemático. [3] Deu vontade de estudar matemática. RESP.: Tentei mostrar que os conceitos matemáticos que abordei podem ser compreendidos sem conhecimento matemático prévio.
  9. [1] Que os infinitos são iguais. [3] Pode-se chegar a conclusões com simplicidade. RESP.: Mostrei que em alguns casos o o número de elementos de um conjunto e o de outro que é um subconjunto do primeiro é o mesmo infinito, como é caso dos números naturais e dos números pares, o que é supreendente pois claramente o segundo é um subconjunto próprio do primeiro. Mas também mostrei que o número infinito de números naturais é menor do que o número infinito dos números reais (os que englobam os números racionais e os irracionais).
  10. [1] A importância de tentarmos compreender a realidade do pensamento matemático, embora surpreendente. [3] Foi um bom exercício. RESP.: Para mim, o mais importante no assunto é compreender que conceitos matemáticos objetivos transcendem as representações mentais baseadas no mundo físico.
  11. [1] O conceito de infinito não é exatamente o que pensamos, sempre levamos relação com o mundo físico. [2] Não é bem uma dúvida, mas uma curiosidade para seguir na pesquisa do assunto. [3] Citando o músico Renato Russo “Realmente o infinito é um dos deuses mais lindos.” RESP.: De fato, o infinito na matemática não é um conceito baseado no mundo físico, portanto está no mundo divino.
  12. [1] A palestra é muito interessante porque demonstra como exercitar o pensar a partir de realidades objetivas que não se fundamentam na realidade física. Nos indica que podemos desenvolver o mesmo caminho com conteúdos espirituais, ou seja, que não se podem reconhecer pelo sentidos.
  13. [1] Não conhecia os transfinitos. Que um infinito pode ser maior do que outro infinito... E que há infinitos infinitos! [2] Como mostrar que há infinitos números transfinitos? [3] Gostaria de assistir à palestra sobre ф. RESP.: Fique de olho nas minhas palestras programadas, em
    www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
    A palestra que trata em detalhe da razão áurea é a "A sequência e a espiral de Fibonacci, a razão e a espiral áureas e suas ocorrências na natureza". Ver o resumo, as avaliações de participantes, e a apresentação com as ilustrações. Venha assistir a próxima!