OS SURPREENDENTES CONCEITOS DE INFINITO
NA GEOMETRIA E EM CONJUNTOS DE NÚMEROS

AVALIAÇÕES DE PARTICIPANTES

Valdemar W. Setzer
Departamento de Ciência da Computação, IME-USP
www.ime.usp.br/~vwsetzer – esta versão: 29/11/18

Nesta página encontram-se todas transcrições de avaliações de participantes desta palestra, conforme escreveram no One-minute paper: [1] Coisa mais importante aprendida; [2] Maior dúvida que ficou; [3] Comentários. Os originais estão à disposição para exame. Note-se que nem todos os participantes entregam as avaliações. Ver a descrição da palestra.

1. 27/11/18 20h30, para participantes do Ramo Rudolf Steiner da Sociedade Antroposófica no Brasil e interessados, na biblioteca da Escola Waldorf Rudolf Steiner, R. Job Lane 900, Sto. Amaro, São Paulo, SP; info: Sonia Setzer sosetzer_arrb.gmail.com33.

  1. [1] Minibiografia de Cantor e os desafios para a aceitação de sua teoria pelos matemáticos da época. [2] Diagonalização, no início da explicação, logo depois foi esclarecida. [3] Ótima relação entre a atividade matemática como um exercício de meditação espiritual. RESP.: De fato Georg Cantor, que introduziu a teoria dos conjuntos, os números transfinitos e a correspondência um-para-um (bijeção) entre conjuntos, foi desprezado por vários matemáticos famosos (mas não todos!),. Ele tinha uma cátedra na Universidade de Halle e queria assumir uma na Universidade de Berlin, que tinha mais prestígio, mas nunca conseguiu isso pois professores de lá achavam que suas teorias eram contra-intuitivas (o que realmente são!) e mesmo chocantes. No entanto, hoje elas fazem parte de qualquer conhecimento matemático superior. A diagonalização, que vimos na palestra, foi uma ferramenta mental desenvolvida por Cantor para mostrar, usando a bijeção de um conjunto para um outro, que o número infinito dos números racionais é igual ao número infinito dos números naturais.
  2. [1] A espiritualidade do “mundo” infinito. [2] Se tudo se transforma em um ponto, como posso ter dois planos separados por retas? [3] Necessário trabalhar mais a pergunta 2 e racionalizar a mesma. As provas de infinito e ponto não me trouxeram tranquilidade. RESP.: Cuidado, tratamos apenas do infinito na geometria e nos conjuntos de números; não tive tempo de abordar o infinito na física. Qualquer objeto que se represente mentalmente pode ser reduzido mentalmente em escala até se converter em um ponto; como eu disse no começo, um ponto ideal pode ser encarado como a representação mental de qualquer objeto (uma circunferência, uma esfera, um cubo, uma cadeira e assim por diante) com escala reduzida ao infinitamente pequeno. Um plano ideal pode ser dividido em duas partes se se traçar nele duas retas convergentes, como mostrei. Experimente fazer a meditação de reduzir uma figura geométrica a um ponto, e os dois exercícios que usei para mostrar que uma reta “vai” para o infinito de um lado e “volta” do mesmo infinito do outro lado. Quem sabe familiarizando-se com essas ideias você poderá encará-las com tranquilidade.
  3. [1] Aprendi que meu conhecimento é (infinitamente) limitado!!! [3] O que foi apresentado é excelente para a interiorização (meditação). Obrigado! A apresentação demostra domínio do conhecimento da matemática. RESP.: O conhecimento é limitado se baseado exclusivamente no mundo físico. No mundo das ideias ele não tem limites!
  4. [1] A possibilidade que a matemática nos permite pensar no irracional (espiritual) de forma “objetiva”. [2] Como aplicar isso na prática? [3] Gratidão pelo compartilhamento! RESP.: Cuidado com a palavra “irracional”: ela é usada na matemática para indicar números que não podem ser reduzidos à razão de dois inteiros. A matemática é toda objetiva, pois quem tem domínio sobre ela entende perfeitamente o que ela é, independente, por exemplo, se gosta dela ou não, o que envolveria subjetividade (cada pessoa tem sentimentos absolutamente individuais).
  5. [1] Que a matemática me dá a universalidade. [3] A todo momento da palestra me vinha à memória o fato de Rudolf Steiner ter iniciado sua vida acadêmica pelas ciências exatas. Não será o primeiro caminho iniciático dele? RESP.: Sim, os conceitos matemáticos são universais, não dependem de quem os está observando com o pensamento. Rudolf Steiner disse várias vezes que a ciência física é essencial para se desenvolver um pensar objetivo e exprimi-lo conceitualmente, para a compreensão objetiva e não para os sentimentos, que são subjetivos, já que o mundo físico, se observado sadiamente, é objetivo. Além disso, as leis que regem o mundo físico são ideias, elas não estão nos objetos. Nós as reconhecemos pois com o pensar observamos o mundo platônico das ideias.
  6. [1] Sobre os pontos, retas, dos dois lados infinitos... [2] Tudo é novidade, nunca foi meu forte a matemática. [3] Valeu a curiosidade. RESP.: Qualquer pessoa pode compreender a matemática elementar. Pegue um livro-texto de matemática escolar e siga tudo, você verá que poderá desenvolver um raciocínio matemático.
  7. [1] Aprendi o conceito de infinito. [2] O conceito de diagonalidade. [3] Interessante perceber que a maior parte do tempo fazemos contas e não ficamos no conceito. RESP.: A construção da tabela dos números racionais, e o percurso sistemático deles na tabela, associando-se cada um com um número racional ordinal (que indica uma ordem de disposição desses números) foi uma construção genial do Cantor e de extrema simplicidade. Sim, o uso mais comum da matemática é o de fazer contas. Os conceitos de infinitamente grande e pequeno na matemática transcendem as contas; trata de algo qualitativo objetivamente!
  8. [1] Que os infinitos se encontram tanto nos círculos progressivos como na reta. [2] Várias dúvidas. Falta-me conhecimento matemático. [3] Deu vontade de estudar matemática. RESP.: Tentei mostrar que os conceitos matemáticos que abordei podem ser compreendidos sem conhecimento matemático prévio.
  9. [1] Que os infinitos são iguais. [3] Pode-se chegar a conclusões com simplicidade. RESP.: Mostrei que em alguns casos o o número de elementos de um conjunto e o de outro que é um subconjunto do primeiro é o mesmo infinito, como é caso dos números naturais e dos números pares, o que é supreendente pois claramente o segundo é um subconjunto próprio do primeiro. Mas também mostrei que o número infinito de números naturais é menor do que o número infinito dos números reais (os que englobam os números racionais e os irracionais).
  10. [1] A importância de tentarmos compreender a realidade do pensamento matemático, embora surpreendente. [3] Foi um bom exercício. RESP.: Para mim, o mais importante no assunto é compreender que conceitos matemáticos objetivos transcendem as representações mentais baseadas no mundo físico.
  11. [1] O conceito de infinito não é exatamente o que pensamos, sempre levamos relação com o mundo físico. [2] Não é bem uma dúvida, mas uma curiosidade para seguir na pesquisa do assunto. [3] Citando o músico Renato Russo “Realmente o infinito é um dos deuses mais lindos.” RESP.: De fato, o infinito na matemática não é um conceito baseado no mundo físico, portanto está no mundo divino.
  12. [1] A palestra é muito interessante porque demonstra como exercitar o pensar a partir de realidades objetivas que não se fundamentam na realidade física. Nos indica que podemos desenvolver o mesmo caminho com conteúdos espirituais, ou seja, que não se podem reconhecer pelo sentidos.
  13. [1] Não conhecia os transfinitos. Que um infinito pode ser maior do que outro infinito... E que há infinitos infinitos! [2] Como mostrar que há infinitos números transfinitos? [3] Gostaria de assistir à palestra sobre ф. RESP.: Fique de olho nas minhas palestras programadas, em
    www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html
    A palestra que trata em detalhe da razão áurea é a "A sequência e a espiral de Fibonacci, a razão e a espiral áureas e suas ocorrências na natureza". Ver o resumo, as avaliações de participantes, e a apresentação com as ilustrações. Venha assistir a próxima!