Exercícios: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6(a), 1.7(a), 1.8(a), 1.18, 1.19, 1.20, 1.21, 1.22 do livro Estatística Bayesiana, 2ªed. (Paulino, Turkman, Murteira e Silva).
Exercício: Seja \(\boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_n)\) variáveis aleatórias permutáveis. Para cada um dos casos a seguir, calcule as distribuições preditiva \(f(\boldsymbol{x})=f(x_1\ldots,x_n)\), a posteriori \(f(\theta|\boldsymbol{x})\) e a preditiva a posteriori \(f(x_{n+1}|\boldsymbol{x})\).
- \(X|\theta \sim \text{Bin}(n,\theta)\) e \(\theta \sim \text{Beta}(a, b)\), com \(a,b\in \mathbb{R}_+\) e \(n \in \mathbb{N}\) fixado.
- \(X_i|\theta \sim \text{Poisson}(\theta)\) e \(\theta \sim \text{Gama}(a, b)\), com \(a,b\in \mathbb{R}_+\).
- \(X_i|\theta \sim \text{Exp}(\theta)\) e \(\theta \sim \text{Gama}(a, b)\) , com \(a,b\in \mathbb{R}_+\).
- \(X_i|\theta \sim \text{Unif}(0,\theta)\) e \(\theta \sim \text{Pareto}(a, b)\), com \(a,b\in \mathbb{R}_+\).
- \(\boldsymbol{X}|\boldsymbol{\theta} \sim \text{Multinomial}(n,\boldsymbol{\theta})\) e \(\boldsymbol{\theta} \sim \text{Dirichlet}(\boldsymbol{a})\), em que \(\boldsymbol{X}=(X_1, \ldots, X_p) \in \mathbb{N}^p\), \(\sum{X_i}=n\), \(\boldsymbol{\theta}=(\theta_1, \ldots, \theta_p) \in [0,1]^p\), \(\sum{\theta_i}=1\), \(\boldsymbol{a}=(a_1, \ldots, a_p) \in \mathbb{R}_+^p\) e \(p\geq2\) e \(n \in \mathbb{N}\) fixados.