Teoria dos Conjuntos e Aplicações

In this talk we connect modal set theory with Boolean-valued models by developing an internal Kripke semantics for modal formulas whose atomic propositions are set-theoretic sentences. Given a complete Boolean algebra B, we view its elements as “local perspectives on truth” inside the Boolean-valued universe V(B) and interpret the modal operators using an accessibility relation R on B defined by co-consistency (equivalently, Boolean compatibility): aRb iff a ∧ b ̸= 0. Our central conceptual point is that, for set-theoretic sentences p, the internal modality ♢p holds at b iff there is an ultrafilter U of B containing b such that the classical quotient V(B)/U satisfies p. We compute several general and algebra-dependent modal validities, and analyze the special behavior of complete atomic Boolean algebras. Finally, adopting a translation-based semantics on the nonzero part B+ = B \ {0}, we prove a soundness-and-completeness theorem: the normal logic KTB is exactly the set of modal formulas valid in all translated co-consistency models with parameters.

Um espaço topológico X é dito D se para toda família de abertos (V_x: x em X) com x em V_x, existe um D fechado e discreto tal que (V_x: x em D) cobre X. Mesmo tendo sido introduzidos faz décadas, sabemos bem pouco sobre estes espaços. A principal pergunta relacionada é se existe algum exemplo de espaço regular de Lindelöf que não é D.

Nesta palestra, exploraremos o que se sabe sobre sua relação com outras propriedades de recobrimento, além de descrevermos respostas parciais à pergunta anterior.

Q-sets e ∆-sets são subconjuntos especiais do conjunto dos números reais relacionados a questões de normalidade e paracompacidade enumerável. Todo Q-set é trivialmente um ∆-set, e não se sabe se a recíproca é verdadeira. Nesta palestra, apresentarei dois resultados sobre a produtividade de ∆-sets que são estreitamente análogos a resultados da literatura sobre Q-sets:

(1) é consistente que exista um Q-set cujo quadrado não seja um ∆-set; e

(2) se existe um ∆-set, então existe outro ∆-set cujas potências finitas são todas ∆-sets.

Diversos resultados na literatura relacionam variações do grau de Lindelöf de um espaço topológico com propriedades de "fecho" de espaços de funções com topologias apropriadas. Neste seminário, vamos adaptar um teorema de Binz no contexto de espaços de convergência para mostrar que o grau de Lindelöf de um espaço de Tychonoff X é o caráter do espaço C(X), onde o último é munido da convergência contínua. Algumas perspectivas de como usar esse resultado serão discutidas ao final.

Forcing was first introduced by Paul J. Cohen in his work on the independence of the Continuum Hypothesis. Inspired by the ideas of Cohen, other formulations of forcing appeared using Model Theory, Boolean-valued Models, and Topos Theory. There is a well-known claim that these three approaches are the same, at least at the level of their mathematical content. In this work, we will present some results not found in the literature toward establishing connections between these versions of forcing.

Discutiremos resultados já consagrados sobre as diferenças entre os números Borel cromáticos entre instâncias de G_0 e o grafo de Hamming, G_1, enfatizando a hipótese de aciclicidade para grafos fechados. A partir disso, discutiremos caracterizações da existência de ciclos para extensões de grafos G_0.

Este é um trabalho em conjunto com Paul Larson.

O teorema do rearranjo de Riemann garante que toda série condicionalmente convergente pode ser permutada de forma que seu limite seja alterado. Da mesma forma, todo conjunto infinito e coinfinito de números naturais com densidade assintótica pode ser permutado de forma que sua densidade seja alterada. Cardinais de densidade e cardinais de rearranjo mensuram quantas permutações são necessárias para alterar esses limites. Neste seminário vamos discutir as coincidências e diferenças no estudo desses cardinais.

Trabalho conjunto com Arthur Cahali e José Alvim.

Até onde sabemos, existem poucos resultados sobre como as expansões do universo dos conjuntos por meio de álgebras de Heyting completas são afetados pelos morfismos nas álgebras de Heyting completas que os determinam: os únicos casos encontrados na literatura são referentes a automorfismos de álgebras booleanas completas e imersões completas entre elas (ou seja, homomorfismos de álgebras booleanas injetivas que preservam supremos arbitrários e ínfimos arbitrários). No presente trabalho, consideramos e exploramos como tipos mais gerais de morfismos entre álgebras de Heyting completas H e H′ induzem setas entre V(H) e V(H′), e entre seus correspondentes topos locálicos Set(H) (≃ Sh(H)) e Set(H′) (≃ Sh(H′)). Mais especificamente em termos gerais: qualquer morfismo geométrico f∗ : Set(H) → Set(H′) (que automaticamente veio de um único morfismo de locale f : H → H′) pode ser “levantado” a uma seta f+ : V(H) → V(H′). Também fornecemos alguns resultados de preservação semântica relativos a esta seta f+ : V(H) → V(H′).

Um espaço topológico é dito disperso se todo subespaço dele possui um discreto denso. Neste seminário, apresentaremos alguns exemplos de espaços dispersos e introduziremos a Derivada de Cantor-Bendixson, principal ferramenta de estudo desses espaços. Terminaremos o seminário com demonstração da versão enumerável de um teorema clássico da área, o Teorema de Lagrange para Sequências Cardinais, seguido de uma breve introdução da pesquisa atual nessa área.

Grafos são estruturas matemáticas com as mais diversas aplicações. No presente seminário pretendemos investigar um tipo de espaço topológico que surge naturalmente destas estruturas, os espaços de extremidades. Verificaremos algumas propriedades topológicas básicas destes espaços com enfoque em propriedades de recobrimento.

Nesta palestra, apresentaremos alguns desenvolvimentos recentes associados a algumas teses de doutorado no IME-USP sobre categorias de feixes sobre quantales e categorias de conjuntos valorados por quantales, retornando a um tema de estudos envolvendo lógica e categorias realizado no IME-USP na segunda metade da década de 1990, mas agora de uma nova perspectiva: considerando quantales semicartesianos e comutativos, como generalizações não idempotentes de locales (= álgebras de Heyting completas). Todas as noções serão apresentadas de maneira informal, a fim de transmitir as ideias principais a um amplo público composto por jovens matemáticos.

Listaremos algumas propriedades das categorias (monoidais) obtidas, indicando algumas semelhanças e diferenças com os topos de Grothendieck. O principal objetivo desses esforços é desenvolver uma generalização monoidal fechada, mas não cartesiana, da noção de topos elementar, a fim de cobrir algumas situações matemáticas (incluindo generalizações de espaços métricos), para permitir um estudo axiomático dessas categorias e uma definição geral de sua lógica interna, que mostra indícios de ser alguma forma de lógica linear.

Um objetivo futuro é estabelecer uma relação precisa entre a abordagem atual e a abordagem de categorias enriquecidas para feixes sobre quantales (e quantaloides) desenvolvida por I. Stubbe.

Sob orientação do Prof. Dr. Rogério Augusto dos Santos Fajardo, essa apresentação discute uma generalização “topológica” das semânticas usuais para lógica modal. Começamos revisando lógica modal básica e espaços topológicos, então focamos em espaços de Alexandrov e seu papel como fundamentação para tal generalização. Finalmente, discorremos sobre correção e completude nessas semânticas, e explicamos como a lógica modal S4 (reflexiva e transitiva) satisfaz tais propriedades.

Um resultado conhecido da literatura é que a teoria de classes de Morse-Kelley (MK) tem força de consistência estritamente entre ZFC e ZFC+I (ZFC mais a existência de um cardinal fortemente inacessível). Neste seminário, irei analisar as provas e argumentos apresentados na literatura, e como corrigir - através da codificação da linguagem - falhas lógicas encontradas nessas provas.