[Enunciado] Queremos estudar o comportanto da função f(i) = −i² + ni − i + n. Temos f(−1) = f(n) = 0. Além disso, a segunda derivada de f(i) é negativa. Logo, para i entre 0 e n−1, o mínimo de f(i) ocorre nos extremos do intervalo. Como f(0) = f(n−1) = n, concluímos que f(i) ≥ n para todo i no intervalo 0 .. n−1.
Podemos refazer tudo sem calcular raízes e derivadas. Como 0 ≤ i ≤ n−1, temos
n−1 ≥ i
n ≥ i + 1
ni ≥ i² + i
ni − i² − i ≥ 0
ni − i² − i + n ≥ n
(n − i) (i + 1) ≥ n