O C�lculo Diferencial e Integral � uma parte importante da Matem�tica,
diferente de tudo o que o aluno ingressante na Universidade j� estudou
at� aqui: ele � din�mico. Trata da varia��o, de movimento e de
quantidades que mudam, tendendo a outras quantidades.
As primeiras id�ias do C�lculo surgiram na Gr�cia antiga, h� 2500
anos atr�s. Naquela �poca os gregos j� sabiam calcular a �rea de
qualquer regi�o poligonal, dividindo-a em tri�ngulos e somando as �reas
obtidas. Para o c�lculo de �reas de regi�es planas limitadas por curvas,
eles usavam o chamado M�todo da Exaust�o. Esse m�todo consistia
em considerar pol�gonos inscritos e circunscritos � regi�o. Aumentando o
n�mero de lados dos pol�gonos, eles conseguiam chegar a valores bem
pr�ximos do valor real da �rea. Por exemplo, suponha que quis�ssemos
calcular a �rea A de um c�rculo. Representando por
An a �rea do pol�gono regular de n lados,
incrito no c�rculo e por Bn a �rea do pol�gono circunscrito de
n lados, vemos que, para cada valor de n, tem-se
� medida em que o n�mero de lados dos pol�gonos aumenta, a �rea
An fica cada vez maior, a �rea
Bn, cada vez menor, e ambas mais pr�ximas do valor
da �rea do c�rculo.
Na linguagem atual dizemos "a �rea do c�rculo � o limite das �reas
dos pol�gonos regulares a ele inscritos, quando n tende a
infinito" (e tamb�m � igual ao limite das �reas dos pol�gonos
circunscritos). Escrevemos
Arquimedes � considerado o maior dos Matem�ticos da antig�idade e um dos tr�s maiores de todos os tempos. Ele vivia na cidade de Siracusa, sul da It�lia. O livro de Carl Boyer sobre Hist�ria da Matem�tica nos conta: "Conhece-se poucos fatos da vida de Arquimedes, mas tem-se alguma informa��o indireta atrav�s da narra��o de Plutarco sobre o general romano Marcelo. Durante a segunda guerra P�nica, a cidade de Siracusa foi sitiada pelos romanos. Arquimedes inventou engenhosas m�quinas de guerra para manter o inimigo � dist�ncia: catapultas para lan�ar pedras, cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar navios romanos, inven��es para queimar os navios. Entretanto, Siracusa caiu e, durante o saque da cidade, Arquimedes foi morto por um soldado romano, apesar das ordens de Marcelo para que o ge�metra fosse poupado... Diz-se que Marcelo reservou para si engenhosos planet�rios que Arquimedes tinha constru�do para retratar os movimentos dos corpos celestes. Todas as narra��es da vida de Arquimedes, no entanto, nos contam que ele dava pouco valor para seus engenhos mec�nicos, em compara��o com o produto de seus pensamentos. Mesmo quando lidava com alavancas e outras m�quinas simples, ele estava muito mais interessado em princ�pios gerais do que em aplica��es pr�ticas." Os tratados escritos por Arquimedes s�o extremamente precisos do ponto de vista da l�gica. Tamb�m tinha id�ias bastante avan�adas para o seu tempo. Alguns de seus m�todos s� foram retomados 2000 anos depois. Ele fez uma significativa contribui��o ao C�lculo ao achar a �rea da regi�o limitada por uma par�bola e uma reta, fazendo a soma das �reas de infinitos tri�ngulos. Foi a primeira vez que se calculou soma com infinitos termos. Usaremos uma id�ia parecida com essa em MAT-2453 para encontrar a �rea de regi�es limitadas por gr�ficos de fun��es e retas paralelas aos eixos coordenados. Esta parte do curso � o que chamamos de C�lculo Integral e que s� foi estudada de forma definitiva no final do s�culo 17.
No s�culo XVII viveu o jurista franc�s Pierre de Fermat (1601 - 1665), um jurista franc�s que se dedicava ao estudo de Matem�tica nas horas vagas. Com os instrumentos da Geometria Anal�tica que ele mesmo desenvolveu (antes mesmo de Ren� Descartes), Fermat estudou fun��es, tendo encontrado um m�todo de determinar m�ximos e m�nimos de fun��es analisando os pontos do gr�fico em que a reta tangente � horizontal.
As id�ias de Fermat foram depois ampliadas e aprofundadas pelos ingleses John Wallis (1616 - 1703), Isaac Barrow (1630 - 1677) e Isaac Newton (1642 - 1727) e pelo alem�o Gottfried Leibniz (1646 - 1716). O pr�ximo passo importante para o desenvolvimento do C�lculo foi dado por Barrow que criou um m�todo de achar a reta tangente ao gr�fico de uma fun��o em um ponto P. Tendo as coordenadas do ponto P, era necess�rio achar apenas qual o coeficiente angular (inclina��o) da reta tangente. Mas como?
Tomando-se outro ponto Q sobre o gr�fico, calcula-se a
inclina��o mPQ da reta PQ, que � secante ao
gr�fico. Depois aproxima-se o ponto Q do ponto P. Com
isso, a inclina��o da reta secante aproxima-se da inclina��o m
da reta tangente. Novamente aqui aparece a no��o de limite: a
inclina��o da reta tangente � o limite das inclina��es da reta secante
PQ, quando Q tende a P. Escrevemos
A parte do C�lculo que lida com retas tangentes, velocidade instant�nea, problemas de otimiza��o, etc... � conhecido como C�lculo Diferencial. Newton (tamb�m um dos tr�s grandes g�nios da Matem�tica) provou o que hoje � chamado de Teorema Fundamental do C�lculo, que estabelece a rela��o entre o C�lculo Diferencial e o C�lculo Integral.
Note que em cada um dos problemas acima mencionados, o c�lculo de uma quantidade � feito como limite de outras quantidades mais f�ceis de calcular. � essa a id�ia b�sica que permeia o Curso de C�lculo Diferencial e Integral. Entretanto, os matem�ticos antigos lidaram com essa id�ia de aproxima��es e limites de modo intuitivo por dois s�culos. Percebiam a falta do mesmo n�vel do rigor ensinado pelos gregos antigos para poderem justificar formalmente os procedimentos, e at� mesmo evitar contradi��es e erros que fizeram. Mas a humanidade precisou esperar at� o s�culo 19 para que este rigor fosse finalmente encontrado por Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857), que criou uma defini��o formal de limite. Essa demora de 2 s�culos sinaliza a dificuldade de compreens�o desse conceito, mas que � a ferramenta b�sica e indispens�vel de todo Matem�tico nos dias de hoje.
O C�lculo Diferencial e Integral nasceu motivado por alguns poucos
problemas, mas a abstra��o e a sofistica��o das id�ias que a partir dali
foram sendo desenvolvidas fez com que ele se tornasse hoje um assunto
fundamental, com aplica��es n�o s� em Matem�tica, mas tamb�m em F�sica,
Qu�mica, Estat�stica, Economia, e muitos outras �reas do
conhecimento. O C�lculo Diferencial e Integral � usado na determina��o
de �rbitas de astros, sat�lites, m�sseis; na an�lise de crescimento de
popula��es (de humanos, bact�rias, ou outra qualquer); em medidas de fluxos
(fluxo sang��neo na sa�da do cora��o, fluxo de carros nas estradas,
fluxo da �gua nos canos, etc...); em importantes problemas de
otimiza��o, tais como achar as quantidades ideais de produ��o que
minimizam custos, quais as que maximizam lucros; determinar qual a
melhor maneira de empilhar pacotes sob certas condi��es, como construir
reservat�rios com m�xima capacidade e custo fixado, como achar o melhor
caminho de modo a minimizar o tempo de percurso, qual o melhor lugar
�ngulo para se construir um teto com certas caracter�sticas, etc...
Por esse motivo, o C�lculo Diferencial e Integral � hoje considerado um
instrumento indispens�vel de pensamento em quase todos os campos da
ci�ncia pura e aplicada: em F�sica, Qu�mica, Biologia, Astronomia,
Engenharia, Economia e at� mesmo em algumas Ci�ncias Sociais, al�m de
�reas da pr�pria Matem�tica. Os m�todos e as aplica��es do C�lculo est�o
entre as maiores realiza��es intelectuais da civiliza��o, uma conquista
cultural e social, e n�o apenas cient�fica.
Esperamos que voc�s aprendam tudo isso com interesse e prazer. Leiam os
livros recomendados e divirtam-se!
Last modified: Wed Mar 12 18:29:31 EST 2003
Martha Salerno Monteiro