Cálculo de Correlações Exatas entre Taxas de Retorno de Opções

Artigo

Cálculo de Correlações Exatas entre Taxas de Retorno de Opções

Cibele Dunder, julio Michael Stern e Celma de Oliveira Ribeiro¹

INTRODUÇÃO

A composição de carteiras de ativos financeiros passa por um problema importante: a determinação da matriz de covariância. De certa forma, essa matriz que retrata a inter-relação entre os componentes da carteira, possibilitando que se escolham composições que minimizem risco e maximizem retornos, ou que se analise alguma outra medida de utilidade que reflita a preferência do investidor (Sharpe, 1970).

Quando se consideram portfolios mistos de ações e opções, a complexidade cresce substancialmente, uma vez que há uma dificuldade inerente a derivativos: a integração da distribuição de probabilidade das taxas de retorno de seus preços.

E possível obter um cálculo aproximado dessas correlações pelas primeiras derivadas parciais (Hull, 1997). No entanto, essa aproximação é precária quando se consideram carteiras grandes.

Em trabalho recente, foram determinadas expressões para as covariâncias entre taxas de retorno de opções que permitem obter as matrizes de covariância numericamente (Dunder, 1998). Embora as expressões, aparentemente, sejam muito complexas, é possível utilizar métodos numéricos para sua obtenção, viabilizando seu uso em modelos de gestão de carteiras.

A CONSTRUÇÃO DO MODELO

Neste artigo, apresenta-se o caso da covariância entre as taxas de variação de preços de uma call e de uma put sobre o mesmo ativo objeto, ambas com mesmo vencimento. As demais situações, envolvendo ativos objeto distintos e vencimentos diferentes, são igualmente tratadas (Dunder, 1998).

Como a distribuição de probabilidade das taxas de retorno das opções é desconhecida, expressam-se suas taxas de retorno em função das taxas de retorno do ativo objeto. As covariâncias das taxas das opções são escritas em função das taxas do ativo objeto. Utilizando-se as propriedades de linearidade da covariância, recai-se em expressões que dependem exclusivamente da distribuição de probabilidade do retorno desse ativo.

Tome-se S_a(t) como o preço do ativo objeto a no instante de tempo t. Pode-se assumir que os retornos logaritmicos dos preços tenham distribuição aproximadamente normal (Hull, 1970), sendo dados por:

Chame-se de:

K_c(t) e K_p(t) os preços de exercício de uma call e de uma put no instante t;
P_c(t) e P_p(t) os prêmios de uma call e de uma put no instante t;
T a data de vencimento da opção;
t_oa data de negociação.

Admitindo-se que as taxas de retorno simples de calls e puts sejam dadas, respectivamente, por:

e

pode-se verificar que:

e

No que se segue, para simplificar a notação, omitiu-se o instante de tempo t dos preços de exercício, dos prêmios e dos preços dos ativos objeto, ficando implícito que os valores dados se referem ao instante t_o

Substituindo-se as expressões acima em cov (r_c , r_p) = E[(r_c – m_rc) (r_p – m_rp)], obtém-se:

onde:

Apesar da complexidade das expressões, pode-se obter estimativas dos valores de cov (r_c , r_p), mediante algoritmos de integração eficientes e numericamente estáveis (Stoer e Bulirsch, 1980).

Da mesma maneira, pode-se obter expressões similares para outras combinações de ativos: calls e puts sobre ativos distintos, calls e puts com vencimentos diferentes, correlação entre calls e ativo objeto, dentre outras (Dunder, 1998).

UM EXEMPLO DE APLICAÇÃO

A seguir, apresenta-se a matriz de correlação obtida para os seguintes ativos²: CGAS4, INEP4, PETR4, TELB4, TELBH10 e TELBT10.

Essa matriz foi construída a partir de uma série histórica de 81 cotações, retroativa ao dia 30 de junho e extrapolada para 21 dias. Os dados da opção de compra TELBH10 e da opção de venda TELBT10 para o dia de fechamento dos contratos estão na tabela abaixo. O preço do lote da TELB4, no dia de vencimento da opção, foi de R$ 124,36.

CONCLUSÕES

O uso crescente de métodos quantitativos, como ferramenta de apoio à tomada de decisão em finanças, tem possibilitado às instituições financeiras detectar imperfeições de mercado, posicionando-se adequadamente em situações de incerteza.

A metodologia apresentada insere-se nesse contexto, sendo uma proposta de âmbito geral: as matrizes construídas podem ser utilizadas em diversos modelos de gestão de risco e administração ou otimização de portfolios. Para tanto, é necessário o cálculo de correlações exatas (não-linearizadas). Embora esses cálculos sejam complexos, o uso de algoritmos eficientes possibilita o emprego dessa metodologia em problemas reais.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DUNDER, C. e Stern, J. PortfóIios Eficientes Incluindo Opções. Dissertação de mestrado (IME-USP), 1998.

HULL, J. C. Options, Futures and Others Derivatives. Prentice Hall, 1997.

SHARPE, W. F. Portfolio Theory and Capital Markets. McCraw-Hill, 1970.

STOER and BULIRSCH. Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag, 1980.

¹ Cibele Dunder é aluna de doutorado na área de Otimização em Finanças do Instituto de Matemática e Estatástica da USP. Julio M. Stern é professor doutor do Instituto de Matemática e Estatística da USP e atua na área de Otimização em Finanças e Otimização Industrial. Celma de Oliveira Ribeiro é professora doutora do departamento de Engenharia de Produção da Escola Politécnica da USP e também atua na área de Otimização em Finanças e Otimização Industrial.

² Essa matriz foi construída com o auxílio do aplicativo Critical Point, desenvolvido dentro do convênio BM&F-USP.