1. Classificação de superfícies trianguladas.
2. Grupo Fundamental, cálculo do grupo fundamental das esferas, grau de aplicações de S1 em S1, cálculo do grupo fundamental das superfícies.
3. Teorema do Ponto Fixo de Brower em dimensão 2 e Teorema Fundamental da Álgebra.
4. Espaços de Recobrimento, levantamento de aplicações e homomorfismos de espaços de recobrimentos.
5. Ações livres e propriamente descontínuas, cálculo do grupo fundamental dos espaços projetivos reais e dos espaços lenticulares.
6. Teorema de Borsuk-Ulam em dimensão 2
1. M. A. Armstrong, Básica Topology, Springer, 1983.
2. W. S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction, Hancourt, New
York, 1967.
3. A. Lyra, Grupo Fundamental e Revestimentos, Publicações do Instituto de Pesquisas Matemáticas da USP, 1969.
4. J. R. Munkers. Topology, Prentice-Hall segunda edição (2000)
5. A. Hatcher. Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002)
6. G. E. Bredon. Geometry and Topology, Springer (1993)
7. Notas de Aulas disponíveis aqui
A avaliação será baseada na nota de duas provas com mesmo peso. Nas provas vocês poderam utlizar consulta de livros, notas de aulas, e suas anotações. Parte da prova poderá ser feita em casa. Existe a possibilidade da segunda prova ser uma prova oral (dependendo do interesse da turma).
Haverá também uma prova substitutiva que será semi aberta.
Data das Provas: P1 - 02/10/2017; P2 - 04/12/2017; PSub - 11/12/2017
Aqui vc encontra algumas propostas de temas de trabalhos para entregar até o fim do semestre. Os trabalhos devem ser entregues digitados em latex. Adicionem figuras, exemplos, demonstrações e tudo que faça o trabalho ficar o mais completo possível. Cada trabalho vale no máximo (se estiver excelente) 1 ponto na média final. Vc pode fazer quantos trabalhos destes que quiser.
1) O Recobrimento Universal: Um recobrimento 1-conexo de um espaço topológico é chamado de recobrimento universal. Mostre que se p: E \to B é um recobrimento 1-conexo, então E recobre qualquer outro recobrimento de B. Mostre que se E e E’ são dois recobrimentos 1-conexos de B, então E e E’ são homeomorfos. Discuta a existência de recobrimentos 1-conexos para espaços “razoáveis” (quais são as hipóteses necessárias? O que é “razoável” nesse contexto?). Discuta a construção explícita de um recobrimento 1-conexo como espaço das classes de homotopia de caminhos começando em um ponto fixado b de B. Mostre que se E é um recobrimento 1-conexo de B, então o grupo fundamental de B age propriamente descontinuamente em E com quociente homeomorfo a B. Mostre que se B admite um recobrimento universal, então cada subgrupo G do grupo fundamental de B dá origem a um recobrimento de E_G de B. Mostre que se H < G < \pi_1(B,b), então E_H é um recobrimento de E_G. Descreva alguns recobrimentos de S^1vS^1 (figura 8) incluindo o seu recobrimento 1-conexo. Dê outros exemplos ilustrativos. Mostre que se B é um grupo topológico e E é um recobrimento 1-conexo, então E tem também uma estrutura natural de grupo topológico. Adicione outros exemplos e resultados que considerar relevante para o tema.
2) A Esfera Homológica de Poincaré: Este trabalho é baseado na aula dada pelo prof. André. Explique a construção da esfera homológica de Poincaré. Explique o cálculo do seu grupo fundamental e determe esse grupo em termos de geradores e relações. Mostre que apesar do grupo fundamental da esfera de Poincaré ser não trivial, a sua abelianização é trivial. Define e descreve as propriedades elementares da homologia singular de um espaço topológico. Demonstre o teorema de Hurewicz em dimensão 1 (que diz que o primeiro grupo de homologia de X é a abelianização do grupo fundamental de X). EXTRA: Calcule os grupos de homologia da esfera usual e da esfera de Poincaré. Conclua que ambos os espaços têm os mesmos grupos de homologia mas não são homeomorfos.