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\def\mystrut{\vrule height20pt depth12pt width0pt}

\newsymbol\nleq 2302

\def\resp#1{\noindent\textit{Resp.}: \framebox{\strut\hbox to #1{}}}
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      to #1{\hfill#2\hfill}}}
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\def\sugestao#1{[\textit{Sugestão.} #1]}
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\def\observacao#1{[\textit{Observação.} #1]}

\begin{document}
\parindent=0pt

\title[MAC0122 Álgebra Linear I]%
{Álgebra Linear~I\\
  \bigskip\bigskip{\bf\textit{2$^{\text{\tiny o}}$ Semestre de 2022}}\\
  \bigskip\bigskip Exercícios de revisão para a P1
}  

\shortdate
\yyyymmdddate
\settimeformat{ampmtime}
\def\today{\number\year/\number\month/\number\day}
\date{\today, \currenttime}
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\maketitle
\thispagestyle{empty} 
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\onehalfspace

\noindent
Estes são uns exercícios de revisão para a primeira prova.  Estes
exercícios são um pouco inspirados nos \textit{review questions} de
\textbf{PNK} (Capítulos~3 a~5).

\medskip
\bigskip

\begin{enumerate}[label=\nlabelQ]\itemsep8pt

\item Seja~$V$ um espaço vetorial sobre~$\FF$ e
  seja~$S\subset V$.  O que é uma combinação linear de vetores de~$S$?
  
\item Seja~$V$ um espaço vetorial sobre~$\FF$ e seja~$S\subset V$.  O
  que é uma combinação linear afim de vetores de~$S$?

\item Seja~$V$ um espaço vetorial sobre~$\RR$ ou sobre~$\CC$ e
  seja~$S\subset V$.  O que é uma combinação linear convexa de vetores
  de~$S$?

\item Seja~$V$ um espaço vetorial sobre~$\FF$ e seja~$S\subset V$.  O
  que é o espaço~$\Span S$ gerado por~$S$?

\item Seja~$V$ um espaço vetorial sobre~$\FF$.  Sejam dados~$X$ um
  subconjunto de~$V$ e~$\bfv$ e~$\bfw$ elementos de~$V$.
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item Prove que se $\bfv\in\Span(X\cup\{\bfw\})\setminus\Span X$,
    então $\bfw\in\Span(X\cup\{\bfv\})\setminus\Span X$.
  \item É verdade que se $\bfv\in\Span(X\cup\{\bfw\})$, então
    $\bfw\in\Span(X\cup\{\bfv\})$?
  \end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item Sejam dados~$\bfv_1,\dots,\bfv_n\in\FF^D$ e
    seja~$S=\{\bfv_i\:1\leq i\leq n\}$.  Seja $[n]=\{1,\dots,n\}$ e
    considere a matriz~$M\in\FF^{D\times[n]}$ cujas colunas são os
    vetores~$\bfv_i$ ($1\leq i\leq n$):
    \begin{equation}
      \label{eq:1}
      M=[\bfv_1\mid\dots\mid\bfv_n].
    \end{equation}
    Prove que
    \begin{equation}
      \label{eq:2}
      \Span S=\big\{M\bfw\:\bfw\in\FF^{[n]}\big\}.
    \end{equation}
  \item Seja~$V\subset\FF^D$ um espaço vetorial sobre~$\FF$ e
    seja~$X\subset V$.  Seja $Y=\Span X$.  Prove que $\Span Y=Y$.
  \end{enumerate}

\item Seja~$V$ um espaço vetorial sobre~$\FF$ e seja~$S\subset V$.  O
  espaço~$\Span S$ gerado por~$S$ é um espaço vetorial?  Justifique.

\item Sejam dados $\bfa_i\in\FF^D$ ($1\leq i\leq n$) e considere o
  sistema linear homogêneo
  \begin{equation}
    \label{eq:lin_sys}
    \begin{cases}
      \bfa_1\cdot\bfx=0\\
      \quad\;\;\dots\\
      \bfa_n\cdot\bfx=0.  
    \end{cases}
  \end{equation}
  Seja $S=\{\bfx\in\FF^D\:\bfx\text{ satisfaz \eqref{eq:lin_sys}}\}$ o
  conjunto das soluções de~\eqref{eq:lin_sys}.  Prove que~$S$ é um
  espaço vetorial sobre~$\FF$.
 
\item Seja $M\in\FF^{R\times C}$ uma matriz.  O que é o espaço nulo
  $\Null M$ de~$M$?  

\item Seja $M\in\FF^{R\times C}$ uma matriz.  O espaço nulo $\Null M$
  de~$M$ é um espaço vetorial?  Justifique.

\item Seja~$V$ um espaço vetorial sobre~$\FF$ e seja~$S\subset V$.  O
  que é o espaço afim~$\Aff S$ gerado por~$S$?

\item Sejam dados~$\bfv_1,\dots,\bfv_n\in\FF^D$ e
  seja~$S=\{\bfv_i\:1\leq i\leq n\}$.  Seja $[n]=\{1,\dots,n\}$ e
  considere a matriz~$M\in\FF^{D\times[n]}$ cujas colunas são os
  vetores~$\bfv_i$ ($1\leq i\leq n$):
  \begin{equation}
    \label{eq:1b}
    M=[\bfv_1\mid\dots\mid\bfv_n].
  \end{equation}
  Seja~$\bfj\in\FF^{[n]}$ o vetor cujas entradas são todas~$1$.  Prove que
  \begin{equation}
    \label{eq:2b}
    \Aff S=\{M\bfw\:\bfw\in\FF^{[n]}\text{ tal que }\bfj\cdot\bfw=1\}.
  \end{equation}

\item Seja~$V$ um espaço vetorial sobre~$\FF$ e seja~$S\subset V$.
  Dizemos que~$X\subset V$ é \textit{fechado por combinações afins} se
  a combinação afim de quaisquer elementos de~$X$ está em~$X$.
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item Prove que~$\Aff S$ é fechado por combinações afins.
  \item Seja $X=\Aff S$.  Prove que $\Aff X=X$.
  \end{enumerate}
  
\item Considere os vetores
  \begin{equation}
    \label{eq:3}
    \bfa=
    \begin{bmatrix}
      1\\
      1\\
      0
    \end{bmatrix}, \quad
    \bfb=
    \begin{bmatrix}
      1\\
      0\\
      1
    \end{bmatrix}\quad e\quad
    \bfc=
    \begin{bmatrix}
      0\\
      1\\
      1
    \end{bmatrix}.
  \end{equation}
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item Suponha que estamos trabalhando em~$\RR^3$, o espaço vetorial
    sobre~$\RR$.  Prove que $S=\{\bfa,\bfb,\bfc\}$ gera~$\RR^3$.
  \item Suponha agora que estamos trabalhando em~$\GF(2)^3$, o espaço
    vetorial sobre~$\GF(2)$.  Prove que $S=\{\bfa,\bfb,\bfc\}$ não
    gera~$\GF(2)^3$.
  \end{enumerate}

\item Seja~$f\:V\to W$ uma função, onde~$V\subset\FF^n$
  e~$W\subset\FF^m$ são espaços vetoriais.  O que significa dizer
  que~$f$ é uma função linear?
  
\item Seja~$f\:\FF^n\to\FF^m$ uma função linear.
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item Descreva a matriz~$M$ tal que
    \begin{equation}
      \label{eq:6} f(\bfv)=M\bfv
    \end{equation} para todo~$\bfv\in\FF^n$.
  \item Prove que sua matriz~$M$ é tal que~\eqref{eq:6} de fato vale
    para todo~$\bfv\in\FF^n$.
  \item Suponha que uma matriz~$N$ é tal que $f(\bfv)=N\bfv$ para
    todo~$\bfv\in\FF^n$.  Prove que~$M=N$.
  \end{enumerate}

\item Sejam~$A$ uma matriz~$p$ por~$q$ e~$B$ uma matriz~$q$ por~$r$
  com entradas em~$\FF$.   
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item Seja~$\bfv\in\FF^r$.  Prove usando a definição de produto de
    matrizes que $A(B\bfv)=(AB)\bfv$.
  \item Lembre que a matriz~$A$ define uma função linear
    $f_A\:\FF^q\to\FF^p$ tal que $f_A(\bfw)=A\bfw$ para
    todo~$\bfw\in\FF^q$.  Da mesma forma, $B$~define uma função
    linear~$f_B\:\FF^r\to\FF^q$ e~$AB$ define uma função linear
    $f_{AB}\:\FF^r\to\FF^p$.  Prove que $f_A\circ f_B=f_{AB}$.
  \end{enumerate}

\item Seja~$M=(m_{ij})_{1\leq i,\,j\leq n}\in\FF^{n\times n}$ uma
  matriz $n\times n$ \textit{triangular superior}, isto é, tal que
  $m_{ij}=0$ se~$1\leq j<i\leq n$.
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item Suponha que~$m_{ii}\neq0$ para todo~$1\leq i\leq n$.  Prove
    que a função $f_M\:\FF^n\to\FF^n$ é inversível.
  \item Suponha que~$m_{ii}=0$ para algum~$1\leq i\leq n$.  Prove que
    a função $f_M\:\FF^n\to\FF^n$ não é injetora.
  \item Suponha que~$m_{ii}=0$ para algum~$1\leq i\leq n$.  Prove que
    a função $f_M\:\FF^n\to\FF^n$ não é sobrejetora.
  \end{enumerate}

\item Seja~$M=(m_{ij})_{1\leq i,\,j\leq n}\in\FF^{n\times n}$ uma
  matriz $n\times n$.
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item Suponha que $m_{ij}=0$ se~$1\leq j\leq i\leq n$.  Prove que
    $M^n=0$.
  \item Suponha que $m_{ij}=0$ se~$1\leq j\leq i\leq n$, exceto quando
    $i=j=1$ e $m_{11}=1$.  Prove que $M^m\neq0$ para qualquer
    inteiro~$m\neq0$.
  \item Considere a matriz
    \begin{equation}
      \label{eq:7}
      M=
      \begin{bmatrix*}[r]
         0 & 0 & 1 & 0\\
        -2 & 1 &-2 & 1\\
         0 &-4 & 2 &-2\\
         2 & 0 &-4 &-2
      \end{bmatrix*}\in\RR^{4\times4}.
    \end{equation}
    Prove que~$M^{122}\neq0$.
  \end{enumerate}

\item Seja~$V$ um espaço vetorial sobre~$\FF$ e~$S\subset V$.
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item O que significa dizer que~$S$ é um conjunto linearmente
    dependente de vetores?
  \item O que significa dizer que~$S$ é um conjunto linearmente
    independente de vetores?
  \item O que significa dizer que~$S$ é uma base de~$V$?
  \end{enumerate}

\item Seja~$M=(m_{ij})_{1\leq i,\,j\leq n}\in\FF^{n\times n}$ uma
  matriz $n\times n$ \textit{triangular superior}, isto é, tal que
  $m_{ij}=0$ se~$1\leq j<i\leq n$.  Suponha que~$m_{ii}\neq0$ para
  todo~$1\leq i\leq n$.  Prove que as colunas de~$M$ formam uma base
  de~$\FF^n$.

\item Considere os algoritmos \textsc{Grow} e \textsc{Shrink} vistos
  em sala e suponha que damos como entrada a esses algoritmos um
  espaço vetorial~$V$ sobre~$\FF$. 
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item Suponha que \textsc{Grow} termina com saída~$S$.  Prove
    que~$S$ é linearmente independente.
  \item Suponha que \textsc{Shrink} termina com saída~$S$.  Prove
    que~$S$ é linearmente independente.
  \end{enumerate}

\item Sejam dados~$\bfv_1,\dots,\bfv_n\in\FF^n$ linearmente
  independentes.
  \begin{enumerate}[label=\rmlabel]
  \item Considere a matriz~$M\in\FF^{n\times n}$ cujas
    colunas são os vetores~$\bfv_i$ ($1\leq i\leq n$):
    \begin{equation}
      \label{eq:1c}
      M=[\bfv_1\mid\dots\mid\bfv_n].
    \end{equation}
    Seja $f_M\:\FF^n\to\FF^n$ a função dada por $f_M(\bfa)=M\bfa$ para
    todo~$\bfa\in\FF^n$.  Prove que
    $f_M^{-1}(\{\bfzero\})=\{\bfzero\}$.  Deduza que~$f_M$ é injetora.
  \item Suponha que $\bfw\in\FF^n$ é tal que
    \begin{equation}
      \label{eq:8}
      \bfw=\sum_{1\leq i\leq n}\alpha_i\bfv_i
    \end{equation}
    e
    \begin{equation}
      \label{eq:8b}
      \bfw=\sum_{1\leq i\leq n}\beta_i\bfv_i
    \end{equation}
    para certos escalares~$\alpha_i$ e~$\beta_i$ ($1\leq i\leq n$).
    Prove que $\alpha_i=\beta_i$ para todo $1\leq i\leq n$.
  \end{enumerate}
  
\item Seja~$V$ um espaço vetorial sobre~$\FF$.  Suponha que~$A$ e~$B$
  sejam subconjuntos finitos de~$V$ com $|A|<|B|$.  Ademais, suponha
  que tanto~$A$ como~$B$ sejam conjuntos linearmente independentes.
  Prove que existe $\bfb\in B\setminus A$ tal que $A\cup\{\bfb\}$ é
  linearmente independente.

\end{enumerate}

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\end{document}

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