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% Time-stamp: <Tuesday 05 Dec 2006 07:21:33am EDT yoshi@erdos.ime.usp.br>   
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\documentclass[11pt,reqno]{amsart}

%% Escrevendo em português:
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%----------------------------

%\usepackage{refcheck}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{fullpage}
%\usepackage{doublespace}
\usepackage{setspace}

\let\:=\colon
\let\epsilon=\varepsilon
\def\e{{\rm e}}
\def\dist{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\def\supp{\mathop{\rm supp}\nolimits}
\def\ex{\mathop{\rm ex}\nolimits}
\def\bsigma{\bar\sigma}
\def\RR{\mathbb R}
\def\NN{\mathbb N}
\def\ZZ{\mathbb Z}
\def\llfloor{\left\lfloor}
\def\rrfloor{\right\rfloor}
\def\llceil{\left\lceil}
\def\rrceil{\right\rceil}
\def\({\left(}
\def\){\right)}  
\def\<{\langle}
\def\>{\rangle}
%\let\sim=\thicksim

\newcommand{\tdots}{\,.\,.\,} % in place of \ldots
\newcommand{\larr}{\leftarrow}

\newcommand{\phentao}{\phantom{então}} 
\newcommand{\phsenao}{\phantom{senão}} 
\newcommand{\x}{\hspace*{3ex}} % era 4ex
\newcommand{\xx}{\hspace*{6ex}}
\newcommand{\xxx}{\hspace*{9ex}}
\newcommand{\xxxx}{\hspace*{12ex}}
\newcommand{\xxxxx}{\hspace*{15ex}}
\newcommand{\xxxxxx}{\hspace*{18ex}}
\newlength{\tsts}
\settowidth{\tsts}{9}
\newcommand{\ts}{\hspace{\tsts}}
\newcommand{\RM}{\textrm}
\newenvironment{pseudoc}
         {\begin{list}%
                {}%
                {%
                 \sffamily%
                 \setlength{\partopsep}{1ex}%
                 \setlength{\topsep}{1ex}%
                 \setlength{\leftmargin}{\parindent}%
                 \setlength{\parsep}{0.5ex}%
                }%
          \item}%
         {\end{list}%
         }
\newenvironment{pseudocode}%
         {\begin{pseudoc}%
          \textbf{\textrm{Algoritmo}}\hspace{0.7ex}\ignorespaces%
         }%
         {\end{pseudoc}}

\def\inR{\mathrel{\in_{\text R}}} 

\def\cA{\mathcal A}
\def\cB{\mathcal B}
\def\cC{\mathcal C}
\def\cD{\mathcal D}
\def\cF{\mathcal F}
\def\cG{\mathcal G}
\def\cH{\mathcal H}
\def\cI{\mathcal I}
\def\cL{\mathcal L}
\def\cP{\mathcal P}
\def\cR{\mathcal R}
\def\cS{\mathcal S}

\def\barp{{\bar p}}

\def\prof{\mathop{{\rm prof}}\nolimits}
\def\Bi{\mathop{{\rm Bi}}\nolimits}
\def\Var{\mathop{{\rm Var}}\nolimits}
\def\Cov{\mathop{{\rm Cov}}\nolimits}
\def\dev{\mathop{{\rm dev}}\nolimits}
\def\og{\mathop{{\rm og}}\nolimits}

\def\EE{\mathop{\hbox{\hbox{${\mathbb E}$}}}\nolimits}
\def\PP{\mathop{\hbox{\raise.03ex\hbox{${\mathbb P}$}}}\nolimits}
\def\FF{\mathop{\hbox{\raise.03ex\hbox{${\mathbb F}$}}}\nolimits}

\def\RP{\mathbf{RP}}
\def\BPP{\mathbf{BPP}}

\def\bfx{\textbf{x}}
\def\bfy{\textbf{y}}

\makeatletter
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
\makeatother

\def\datedue#1{$\{$\textsl{Data de entrega}: #1$\}$}
\def\sugestao#1{[\textit{Sugestão.} #1]}
\def\observacao#1{[\textit{Observação.} #1]}

\begin{document}\onehalfspace 
\title[MAC0122 Algoritmos]{Terceira Prova de Princípios de Desenvolvimento de 
  Algoritmos\\BCC, 2{\tiny o.} semestre de 2006} %\date{Versão de \today}
\maketitle
\footskip=20pt

\noindent
{\bf Instruções:}
\begin{enumerate}\small
\item Não destaque as folhas do caderno de soluções.
\item A prova pode ser feita a lápis.  Cuidado com a legibilidade.
%\item Há~$3$ questões na prova. Verifique antes de começar a prova
%se o seu caderno de questões está completo.
\item Não é permitido o uso de folhas avulsas para rascunho.
%\item Nas questões que envolvem elaboração de programas, coloque
%comentários suficientes para que o programa seja facilmente
%compreendido.
\item Não é necessário apagar rascunhos no caderno de soluções.
\item Asserções imprecisas valem pouco.  Justifique suas asserções (dentro do
  razoável!). 
%\item \textbf{IMPORTANTE:} \textbf{Faça no máximo 3 questões.}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{enumerate}
%\thispagestyle{empty}  
\item{}[3 pontos] Suponha que estamos utilizando uma tabela de hashing
    com {\tt M} entradas, com resolução de colisões por encadeamento (as {\tt
      M} listas não são mantidas em ordem).  Suponha que usamos a função de
    hashing que devolve $11k\bmod {\tt M}$ quando a entrada é a $k$-ésima
    letra do alfabeto (por exemplo, {\tt C} corresponde a $k=3$).  Suponha que
    inserimos em uma tabela inicialmente vazia, nesta ordem, as chaves 
\begin{verbatim}
E A S Y Q U T I O N 
\end{verbatim}
    onde ${\tt M}=5$.  Desenhe diagramas que ilustram este processo de
    inserção.

\bigskip
\item{}[4 pontos] Esta questão trata de árvores binárias.  Suponha que temos
\begin{verbatim}
typedef struct node *link;
struct node { Item item; link l, r; int N; };
/* item nao sera usado nesta questão */ 
/* N armazena o número de nós na árvore enraizada naquele nó */
/* Por exemplo, N = 1 nos nós sem filhos */
\end{verbatim}
  Suponha ainda que não temos nós externos em nossas árvores (a árvore vazia é
  representada com o ponteiro \verb|head = NULL|).  A
  \textit{profundidade}~$\prof(x)$ de um nó~$x$ em uma árvore com raiz~$r$ é a
  `distância' de~$r$ a~$x$ na árvore.  Alternativamente, a profundidade de um
  nó~$x$ é definida como sendo~$0$ se~$x=r$ e, se~$x\neq r$,
  então~$\prof(x)=\prof(x')+1$, onde~$x'$ é o pai de~$x$ na árvore.  O
  \textit{comprimento interno}~$I$ de uma árvore~$T$ é definido como
  \begin{equation}
    \label{eq:I_def}
    I=\sum_x\prof(x),
  \end{equation}
  onde a soma é sobre todo nó~$x$ em~$T$.  
  \begin{enumerate}
  \item[(\textit{i})] Desenhe todas as árvores binárias com~$4$ nós
    (são~$14$).
    
  \item[(\textit{ii})] Determine o comprimento interno de todas as árvores
    em~(\textit{i}) (várias delas têm~$I=6$).
    
  \item[(\textit{iii})] Escreva uma função em~C que recebe uma árvore (isto é,
    um ponteiro para a raiz de uma árvore) e que devolve o comprimento interno
    dessa árvore.  Sua função deve ter complexidade de tempo proporcional ao
    número de nós na árvore.
  \end{enumerate}

\bigskip
\item{}[4 pontos] Descreva o projeto de um programa que recebe uma cadeia de
  caracteres~$T$ como entrada e devolve o trecho repetido mais comprido neste
  texto.  Por exemplo, se o texto de entrada for \texttt{aacabcabcbabcbabac},
  então a saída de seu programa deve ser \texttt{abcbab}.
  
  Faça uma descrição cuidadosa de seu projeto de programa: descreva a
  estrutura de dados a ser usada e dê os protótipos das funções principais,
  com uma descrição de o que estas funções devem fazer e como elas poderiam
  ser implementadas (não esqueça do \texttt{main()}).
  
  O seu projeto deve supor que a entrada~$T$ pode ser grande; por exemplo,
  $T$~poderia um livro todo.  Um programa implementado de acordo com o seu
  projeto deve ser tal que
  \begin{enumerate}
  \item[(\textit{i})] sob hipóteses razoáveis, ele leva tempo basicamente
    proporcional a $n\log n$, onde~$n$ é o número de caracteres em~$T$,
  \item[(\textit{ii})] ele gasta uma quantidade de memória proporcional ao
    número de caracteres em~$T$.
  \end{enumerate}
  Você deve argumentar por que o programa teria estas propriedades (em
  particular, você deve explicitar as hipóteses que você usa em sua análise).
  \sugestao{Um \textit{sufixo} de uma cadeia de caracteres~$T$ é um `segmento
    final' dela.  Os sufixos de \texttt{abcde} são \texttt{abcde},
    \texttt{bcde}, \texttt{cde}, \texttt{de}, \texttt{e}, e a cadeia vazia,
    com~$0$ caracteres ($6$~sufixos no total).  Considere os sufixos de~$T$.}

\end{enumerate}  

\endgroup 
\end{document}

% Local Variables: 
% mode: latex
% eval: (Portug-mode)
% TeX-master: t
% End: 

