\documentclass[11pt]{amsart}

%% Escrevendo em português:
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\usepackage[latin1]{inputenc} % isso é quase redundante
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%----------------------------
\makeatletter
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
\makeatother

\def\ZZ{{\mathbb Z}}
\def\FF{{\mathbb F}}

\begin{document}
\title{Exercício Programa 1 (Continuação)}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\noindent\textbf{Data de entrega:}\quad 10/10/2003

\subsection*{Algoritmo da divisão para polinômios} Sejam~$a(x)$ e~$b(x)$
polinômios.  Suponha que o polinômio~$b(x)$ seja \textit{mônico}, isto é, o
monômio de maior grau em~$b(x)$ tem coeficiente~$1$.  Neste caso, podemos
dividir~$a(x)$ por~$b(x)$, obtendo polinômios~$q(x)$ e~$r(x)$ tais que
$$
a(x)=q(x)b(x)+r(x).
$$
Lembre que, neste processo, sempre temos que o grau de~$r(x)$ é menor que o
grau de~$b(x)$.  Acima, $q(x)$ é o \textit{quociente} e~$r(x)$ é o
\textit{resto} da divisão de~$a(x)$ por~$b(x)$.

\subsection*{Aritmética de polinômios módulo um polinômio}
Seja~$p(x)$ um polinômio mônico.  A aritmética de polinômios pode ser feita
`módulo~$p(x)$', da mesma forma podemos fazer aritmética `módulo~$p$'.  A
regra novamente é a seguinte.  Ao considerarmos nossos polinômios, podemos
sempre dividir por~$p(x)$, e podemos identificar nossos polinômios com os
respectivos restos desta divisão.

\subsection*{Os cálculos} Aqui, faremos aritmética de polinômios módulo certos
polinômios especiais, e também usaremos coeficientes em~$\ZZ/p\ZZ$, para
certos valores de~$p$.

Escreva um programa para fazer os cálculos abaixo.
\begin{enumerate}
\item Em~$(\ZZ/2\ZZ)[x]$: seja~$p(x)=x^4+x+1$.  Calcule
  $$
  x^{15}\pmod{p(x)}.
  $$

\item
    Em~$(\ZZ/3\ZZ)[x]$: seja~$p(x)=x^4+x^3+x^2-x-1$.  Calcule
    $$
    x^{80}\pmod{p(x)}
    $$

\item
 Em~$(\ZZ/7\ZZ)[x]$: sejam~$p_1(x)=x^4-x^3-x^2-2x-2$
 e~$p_2(x)=x^4-3x^3+5x^2+2x+3$.  Calcule
  $$
  x^{2400}\pmod{p_1(x)}\qquad\text{e}\qquad x^{2400}\pmod{p_2(x)}.
  $$
  Escolha qualquer polinômio~$a(x)\neq0$, e calcule
  $$
  a(x)^{2400}\pmod{p_1(x)}
  \qquad\text{e}\qquad
  a(x)^{2400}\pmod{p_2(x)}.
  $$ 
  Escolha qualquer polinômio~$b(x)\neq0$, e calcule
  $$
  b(x)^{1200}\pmod{p_1(x)}
  \qquad\text{e}\qquad
  b(x)^{1200}\pmod{p_2(x)}.
  $$
  Você consegue encontrar um polinômio~$b(x)$ para o qual o resultado é
  diferente? 
\end{enumerate}

\end{document}

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% eval: (Portug-mode)
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% End: 
