A CONSTANTE DE EULER

DATA DE ENTREGA: 27/10/2002

A constante de Euler é definida como

(1)  γ = lim_{n→∞}(H_{n} − log n),

onde H_{n} é o n-ésimo número Harmônico:

(2)  H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} = ∑_{1≤k≤n} \frac{1}{k} ,

e log denota o logaritmo natural. Sabe-se que

(3)  γ = 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 …

Neste EP, você deve determinar o valor de γ o mais precisamente possível. Você deve implementar as seguintes duas idéias, no mínimo.

Método “direto”. Certamente, o método mais fácil é determinar aproximações para γ calculando H_{n} − log n para valores grandes de n. Quantas casas decimais de γ você consegue determinar dessa forma? (Compare seu resultado com (3).)

A fórmula da soma de Euler. Em 1732, Euler publicou um método importante para estimar somas. Este método, aplicado a (2), fornece que, para todo m e n ≥ 1 inteiros, temos

(4)  H_{n} = log n + γ + \frac{1}{2n} − ∑_{1≤k≤m} \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}} + θ_{m,n} \frac{B_{2m+2}}{(2m + 2)n^{2m+2}} ,

onde θ_{m,n} é um número entre 0 e 1, e os B_{j} são os números de Bernoulli:

B_{0} = 1, B_{1} = −\frac{1}{2} B_{2} = \frac{1}{6}, B_{4} = −\frac{1}{30}, B_{6} = \frac{1}{42}, …

e

B_{3} = B_{5} = B_{7} = ⋯ = 0.

Os números de Bernoulli satisfazem a equação

(5)  ∑_{0≤j≤m} \binom{m + 1}{j}B_{j} = 0,

para todo inteiro m ≥ 1.

Fixe m, como m = 2 e m = 3, e desenvolva explicitamente a equação (4). Fixado m, obtenha aproximações para γ usando (4) para valores apropriados de n. (Você consegue prever valores apropriados para n em função da precisão desejada?) Veja o que você consegue. (Para usar (4) com m ≥ 3, determine B_{8}, B_{10}, … manualmente.)

O que o programa deve fazer.

(a) O seu programa deve imprimir uma tabela com valores de

n, H_{n} − log n, e − log_{10} |γ − (H_{n} − log n)|,

incluindo valores grandes de n (inclua valores maiores ou iguais a 10^{8}). Aqui, você deve usar o valor de γ dado em (3).

(b) Use (4) para valores adequados de m e n para determinar γ com grande precisão, a menos de um erro de no máximo 10^{−13} (se conseguir erros menores, melhor). Nesta parte, o seu programa deve imprimir uma tabela com valores

m, n, γ_{m,n}, e − log_{10} |γ − γ_{m,n}|,

onde γ_{m,n} é a aproximação de γ obtida a partir de (4). Esta tabela deve incluir aproximações γ_{m,n} com grande precisão, a menos de um erro de no máximo 10^{−13} em relação ao valor exato de γ fornecido em (3). Sugestão. Tente com valores pequenos de m como m = 2, 3, … e veja o que você consegue.

Bônus (Só para GRANDES Aventureiros!) Use o método de Euler para determinar γ a menos de um erro de 10^{−100}.

Se você quiser, use que

log 2 = 0.69314718055994530941723212145817656807550013436025

52541206800094933936219696947156058633269964186875 42001481020570685733685520235758130557032670751635 07596193072757082837143519030703862389167347112335 …