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Acredito que todos vocês já tiveram contato o Teorema de Bayes que, em sua forma mais simples, pode ser escrito por:
\[P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(B|A)P(A)}{P(B\cap A)+P(B\cap A^c)} = \dfrac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)}~.\]
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Um dos exemplos que mais comumente é apresentado nos cursos introdutórios é uma aplicação de inferência bayesiana!
A prevalência de Covid na cidade de São Paulo está em torno de 15%. A especificidade de um teste PCR é 96% e a sensibilidade em torno de 90%. Podemos usar essas informações como nossa informação a priori, isto é, antes de observar um resultado experimental. Assim, temos que \(P(C)=0.15\) (prevalência), \(P(-|\bar{C})=0.96\) (especificidade) e \(P(+|C)=0.90\) (sensibilidade).
Tudo isso é muito legal mas não é o que o médico e, especialmente, o paciente querem saber. O que eles querem saber é uma vez que um teste ter dado positivo (dados, observáveis), qual a chance de um paciente estar doente (parâmetro, não observável). Para o problema ficar mais interessante, pode pensar que o paciente é assintomático. Então, o Teorema de Bayes pode ser visto da seguinte forma:
\[P(\textit{Parâmetro} | \textit{Dados}) = \dfrac{P(\textit{Dados} | \textit{Parâmetro})~P(\textit{Parâmetro})}{P(\textit{Dados})} = \dfrac{\textit{Verossimilhança}~\cdot~\textit{Priori}}{\textit{Preditiva}}~.\] \(~\)
Assim, no exemplo, temos
\[P(C|+) = \dfrac{P(+|C)P(C)}{P(+|C)P(C)+P(+|\bar{C})P(\bar{C})} = \dfrac{0.90 \cdot 0.15}{0.90 \cdot 0.15 + (1-0.96) \cdot (1-0.15)}\approx 0.8\]
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