DINÂMICA DOS GRUPOS FUCHSIANOS

Resumo. Iniciaremos com o estudo de propriedades básicas das transformações de Möbius e do plano hiperbólico ℍ^{+}. Então consideraremos os grupos Fuchsianos visando descrever os seus conjuntos limite e domínios fundamentais. Sempre que possível procuraremos visualizar através de programas computacionais os resutados que obtivermos. Em uma segunda parte do projeto (segundo ano) deveremos explorar as interligações deste assunto com a teoria da relatividade em física, incluindo em particular, o estudo das relações entre as transformações de Möbius e as transformações de Lorentz do espaço-tempo bem como o estudo dos grupos Fuchsianos derivados de álgebras quaterniônicas.

O presente projeto envolve várias áreas da matemática e da física dando-lhe um bonito caráter interdisciplinar. Ao mesmo tempo possui uma literatura muito bem desenvolvida que facilitará em muito o desenvolvimento e o sucesso do mesmo. Mencionamos em particular o excelente livro “Fuchsians Groups”de S. Katok [Kat92] que em pouco mais de 100 páginas contém quase toda a teoria que pretendemos desenvolver neste primeiro ano de projeto. Outros exemplos de bibliografia que utilizaremos são [Nee96] para geometria hiperbólica, [Ahl66] para propriedades basicas de funções analiticas e especialmente transformações de Möbius, [Nee97] para aspectos mais dinâmicos e classificação das transformações de Möbius e [Sha06] para transformações de Möbius e programas computacionais com Mathematica.

Em seguida introduziremos alguns conceitos básicos e mencionaremos de forma mais específica alguns fatos que estaremos abordando no presente projeto.

Transformações de Möbius. Uma transformação de Möbius é uma função T : \overline{ℂ} → \overline{ℂ} dada por

T (z) = \frac{az + b}{cz + d} ,

onde a, b, c, d ∈ ℂ são tais que ad − bc ≠ 0. As transformações de Möbius podem possuir 1 ou 2 pontos fixos em \overline{ℂ} sendo chamadas então, respectivamente, parabólica ou loxodrômica. As loxodrômicas se subdivem nas hiperbólicas e nas elípticas dependento do tipo de seus pontos fixos. Dentre as propriedades que verificaremos estão os fatos de que as transformações de Möbius preservam a família dos círculos de \overline{ℂ}, preservam a razão cruzada de 4 pontos e possuem derivada de Schwarz nula.

Plano hiperbólico. O plano hiperbólico como de costume é o semi-plano superior

ℍ^{+} = {z ∈ ℂ : Im(z) > 0}

munido da métrica hiperbólica dada por

ds = \frac{\sqrt{dx^{2} + dy^{2}}}{y} ·

Abordaremos aspectos geométricos do plano hiperbólico incluindo por exemplo a identificação de suas geodésicas, ou seja, das curvas que minimizam a distância hiperbólica em ℍ^{+}. Em seguida veremos que

P SL(2, ℝ) := \{z ↦ T (z) = \frac{az + b}{cz + d} : onde a, b, c, d ∈ ℝ e ad − bc = 1\},

com a operação de composição, é um grupo álgébrico cujos elementos são as isometrias de ℍ^{+} que preservam orientação.

Grupos Fuchsianos. Os grupos Fuchsianos são por definição subgrupos discretos de P SL(2, ℝ). Aqui nós dizemos que um subgrupo Γ ⊂ P SL(2, ℝ) é discreto se para toda sequência T_{n} em Γ tem-se que T_{n} → T quando n → ∞ (no sentido em que a 4-upla dos coeficientes de T_{n} dada por (a_{n}, b_{n}, c_{n}, d_{n}) e (1, 0, 0, 1) se aproximam na métrica euclideana de ℝ^{4} quando n → ∞) então T_{n} = T apartir de algum n_{0}. Um exemplo importante de grupo Fuchsiano é o grupo modular

P SL(2, ℤ) = \{z ↦ T (z) = \frac{az + b}{cz + d} : onde a, b, c, d ∈ ℤ e ad − bc = 1\}.

Os grupos Fuchsianos Γ ⊂ P SL(2, ℝ) são propriamente descontínuo o que significa que todo z ∈ ℍ^{+} possui uma vizinhança V tal que V ∩ T (V) ≠ ∅ ocorre somente para um número finito de transformações T ∈ Γ. A recíproca deste fato também é válida, todo subgrupo de P SL(2, ℝ) propriamente descontínuo é um grupo Fuchsiano.

Dado um grupo Fuchsiano Γ a órbita de z ∈ ℍ^{+} é o conjunto dada por

Γ(z) = {T (z) : onde T ∈ Γ}.

O conjunto Λ(Γ) de todos os pontos de acumulação de Γ(z), para todo z ∈ ℍ^{+}, chamase conjunto limite de Γ. Como um grupo Fuchsiano Γ é propriamente descontínuo as suas órbitas são conjuntos discretos de ℍ^{+} e portanto Λ(Γ) ⊂ ℝ ∪ {∞}. As propriedades topológicas, métricas e geométricas de Λ(Γ) são de crucial relevância para a compreenção da dinâmica do grupo. Dentre outras propriedades veremos que no caso em que Λ(Γ) contém mais do que 1 ponto ele é o fecho do conjunto dos pontos fixos das transformações T, hiperbólicas, que estão em Γ. No caso em que Λ(Γ) contém mais do que 2 pontos então Λ(Γ) é igual a ℝ ∪ {∞} ou é um conjunto perfeito de interior vázio. Neste primeiro caso o grupo é dito de primeira classe e no segundo caso é dito de segunda classe.

Domínios Fundamentais. Uma região fechada R ⊂ ℍ^{+} é dita domínio fundamental de um grupo Fuchsiano Γ se cada órbita intersepta pelo menos uma vez esta região e o interior de R, denotado por Int(R), é tal que Int(R) ∩ T (Int(R)) = ∅ para todo T ∈ Γ distinto da identidade. A órbita de um domínio fundamental de Γ ladrilha ℍ^{+} e serve para descrever o espaço das órbitas do grupo que em geral, com as identificações do bordo adequadas, é uma superfície de Riemann recoberta por ℍ^{+} e tendo Γ como o grupo das transformações de recobrimento.

Um exemplo de um interessante fato que relaciona uma propriedade geométrica a uma propriedade dinâmica é o que garante que se Γ possui um domínio fundamental com área hiperbólica finita então ele é de primeira classe.

Cronograma. No primeiro ano do projeto pretendemos desenvolver os tópicos mencionados acima dedicando 4 meses para o estudo dos aspectos básicos de transformações de Möbius e do plano hiperbólico, 3 meses para uma introdução às propriedades mais gerais dos grupos Fuchsianos, 4 meses para o estudo dos conjuntos limite e domínios fundamentais de um grupo Fuchsiano e por fim deveremos fazer uma revisão de tudo no 12\underline{0} mês. Em segundo ano do projeto planejamos estudar as relações entre o assunto desenvolvido aqui e a teoria da relatividade em física.

Referências

[Ahl66] Lars V. Ahlfors. Complex analysis: An introduction of the theory of analytic functions of one complex variable. Second edition. McGraw-Hill Book Co., New York, 1966.

[Kat92] Svetlana Katok. Fuchsian groups. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1992.

[Nee96] João L. Needham. Geometria hiperbólica. 20\underline{0} Colóquio Brasileiro de Matemática, SBM, 1996.

[Nee97] Tristan Needham. Visual complex analysis. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1997.

[Sha06] William T. Shaw. Complex analysis with Mathematica^{®}. Cambridge University Press, Cambridge, 2006. With 1 CD-ROM (Windows, Macintosh and UNIX).