Comportamentos dinâmicos em dimensão 1 e seus

parâmetros em famílias específicas

January 26, 2007

O projeto atual visa proporcionar ao candidato os primeiros contatos com questões e técnicas da área de sistemas dinâmicos, explorar aspectos numéricos e possíveis aplicações. Trataremos de dinâmicas em dimensão 1 (aplicações do círculo e do intervalo) e eventualmente algumas relações com dinâmicas em dimensões maiores. Dizendo de uma forma breve o livro de W. de Melo e S. van Strien [1] é uma boa referência para para maior parte do assunto que abordaremos aqui. Muitas outras referências, principalmente para a parte mais aplicada, serão pesquisadas e esta pesquisa faz parte do trabalho do candidato. Mencionamos abaixo algumas situações concretas que abordaremos:

Homeomorfismos do círculo (1 semestre). Os difeomorfismos mais simples do círculo S^{1} := ℝ/ℤ são as rotações, a saber, os difeomorfismos r_{ρ} induzidos por R_{ρ}(x) = x + ρ, x ∈ ℝ. Na descrição da dinâmica de um homeomorfismo f do círculo os conceitos de número de rotação e intervalos errantes são fundamentais. Quando f inverte orientação a sua dinâmica é muito simples. Quando f preserva orientação todas as órbitas estão ordenadas do mesmo modo no círculo. Então define-se o número de rotação ρ = ρ(f) e se este é racional a dinâmica de f também é muito simples. No caso em que ρ é irracional f é semi-conjugado à rotação r_{ρ}. A classe de diferenciabilidade ou a presença e natureza de pontos críticos para f tem grande influência na regularidade desta semi-conjugação, digamos h. Aqui estaremos especialmente interessados na injetividade de h, isto depende da não-existência de intervalos errantes.

1. Os conceitos de número de rotação e intervalos errantes.

2. Construção de difeomorfismos de Classe C^{1} que exibem intervalos errantes.

3. A não-existência de intervalos errantes para difeomorfismos de classe C^{2}.

4. Construção de homeomorfismos de classe C^{∞} com um único ponto crítico e que exibem intervalos errantes.

5. A não-existência de intervalos errantes para os homeomorfismos f_{a}, de classe C^{∞} e que exibem um ponto crítico, induzidos por

F_{a}(x) = x + a + \frac{1}{2π} sin(2πx), 0 ≤ a < 1.

6. Renormalização.

7. Determinação numérica do parâmetro a para o qual o homeomorfismo f_{a} (do ítem anterior) exibe um número de rotação dado previamente. O caso do número de ouro e outros.

8. Algumas aplicações práticas.

Aplicações tendas (2 semestre). Dizemos que uma aplicação contínua f : [0, 1] → [0, 1] é unimodal se existe c ∈ (0, 1) tal que f é crescente em [0, c] e decrescente em [c, 1]. O ponto c é chamado ponto de dobra é o comportamento da sua órbita juntamente com a existência ou não de intervalos errantes é fundamental para a descrição da dinâmica de f. Neste contexto a interação entre o ramo f_{|[0,c]} que é crescente e o ramo f_{|[c,1]} que é decrescente implica que órbitas diferentes podem estar ordenadas de modo diferente no intervalo [0, 1] e isto acarreta uma maior riqueza da respectiva dinâmica.

Os exemplos mais simples de aplicações unimodais são as aplicações tendas dadas por

T_{s}(x) = min{2sx, 2s(1 − x)}; x, s ∈ [0, 1].

Neste caso o ponto de dobra é c = \frac{1}{2} e para s ∈ [0, \frac{1}{2}] a dinâmica de T_{s} é muito simples. Para s > \frac{1}{2} temos que T_{s} expande comprimentos de intervalos que não contêm o ponto de dobra pelo fator 2s. Por outro lado um intervalo que contém este ponto pode ser contraído pelo efeito de dobra associado ao mesmo. Consideraremos as seguintes questões sobre a dinâmica das aplicações tendas:

1. Seqüências de kneading.

2. O comportamento assintótico da órbita positiva do ponto de dobra.

3. A não-existência de intervalos errantes.

4. O comportamento assintótico da órbita positiva de um ponto genérico, conjuntos limites e não errantes.

5. Aplicações de primeiro retorno e a propriedade de decaimento de geometria.

6. Renormalização.

7. Determinação numérica do parâmetro s para o qual T_{s} exibe uma seqüência de kneading dada previamente. O caso Fibonacci e outros.

8. Algumas aplicações práticas.

Aplicações unimodais (3 semestre). Como observamos acima o comportamento assintótico da órbita positiva do ponto de dobra de uma aplicação unimodal f juntamente com a existência ou não de intervalos errantes é fundamental para a descrição da dinâmica de f. Em geral f é semi-conjugada a uma aplicação tenda mas neste caso mesmo que f não possua intervalos errantes a semi-conjugação pode não ser injetiva. Isto sempre ocorre quando f possui pontos periódicos atratores ou é semi-conjugada a uma aplicação tenda cujo ponto de dobra é periódico com período diferente de 2^{n}, para todo n > 0. Observamos também que se f é diferenciável temos uma contração muito forte próximo ao ponto de dobra e uma certa expansão longe deste. A interação entre esta contração e expansão determinam propriedades métricas desta dinâmica. Por exemplo, a questão da existência ou não de intervalos errantes depende de quão forte é a contração nas proximidades do ponto de dobra, ou seja, depende da sua ordem.

1. O comportamento assintótico da órbita positiva de um ponto genérico, conjuntos limites e não errantes.

2. Construção de aplicações unimodais de Classe C^{∞} que exibem intervalos errantes.

3. A não-existência de intervalos errantes para aplicações unimodais de classe C^{3} com derivada de Schwarz negativa e ponto de dobra de ordem finita.

4. Renormalização e aplicações infinitamente renormalizáveis.

5. Aplicações de primeiro retorno e a propriedade de decaimento de geometria.

6. Determinação numérica do parâmetro a para o qual a aplicação quadrática Q_{a}(x) = ax(1 − x) exibe uma dada seqüência de kneading. Os casos Feigembaun-Tresser, Fibonacci e outros.

7. Algumas aplicações práticas.

Dinâmica em dimensão 2 (4 semestre). Dentre as atividades do quarto semestre gostaríamos de implementar alguns experimentos numéricos com famílias de homeomorfismos agindo no ℝ^{2} tais como E_{st}(x, y) = (T_{s}(x) + y, tx) e no caso da bem conhecida família de Henon H_{ab}(x, y) = (Q_{a}(x) + y, bx), abordando neste último caso apenas algumas questões mais simples devido a complexidade do problema em geral. Podemos pensar E_{st} e H_{ab} como perturbações, respectivamente, da família das aplicações tendas e da família das aplicações quadráticas. Muitas vezes propriedades de T_{s} ou Q_{a} podem fornecer informações sobre a dinâmica de E_{st} ou de H_{ab}, respectivamente. Por exemplo, se |DQ_{a}^{n}(\frac{a}{4})| ≥ Cλ^{n} para algum C > 0 e λ > 1, existe uma descrição bastante satisfatória da dinâmica de H_{ab}. Mais ambiciosamente gostaríamos de partir de uma Q_{a} bem conhecida (o caso em o ponto de dobra é atraído por um ponto periódico atrator por exemplo) e fazer experimentos numéricos com H_{ab}.

References

[1] Welington de Melo and Sebastian van Strien. One-dimensional dynamics, volume 25 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Springer-Verlag, Berlin, 1993.