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\begin{document}
\begin{center}
{\sc MAT0450 -- IME-USP -- 1$^\circ$ Semestre de 2013 -- S\'etima Lista}
\end{center}
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\noindent ({\bf 1}) Seja $\gamma$ a aplica\cao\ de $\R$ em $\R^2$ definida por ${\displaystyle \gamma(t)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)}$, $t\in\R$.
\\ (a) Mostre que, se $\gamma(t)=(x,y)$, ent\ao\ $x\neq -1$ e $t=y/(x+1)$.
\\ (b) Mostre que $\gamma$ \'e injetora e que sua imagem \'e igual a $\{(x,y);\, x^2+y^2=1, (x,y)\neq (-1,0)\}$. 
\\ (c) Encontre todos os pontos $(x,y)\in\Q^2$ tais que $x^2+y^2=1$.

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\noindent ({\bf 2}) (a) Verifique que $T(x,y)=(x+y,x-y)$ define uma bije\cao\ do c\'irculo $x^2+y^2=1$ no c\'irculo $x^2+y^2=2$.  
\\ (b) Encontre todos os pontos $(x,y)\in\Q^2$ tais que $x^2+y^2=2$.
\\ (c) Mostre que existem infinitos tri\^angulos ret\^angulos, dois-a-dois n\ao\ semelhantes, cujos catetos medem $a$ e $b$ e cuja hipotenusa mede $c\sqrt{2}$, sendo $a$, $b$ e $c$ inteiros (por exemplo, podemos tomar $a=b=c=1$ ou $(a,b,c)=(7,1,5)$.


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\noindent ({\bf 3}) Seja $k$ um inteiro positivo que se escreve como a soma de dois quadrados, $k=a^2+b^2$, $a$ e $b$ inteiros n\ao-negativos. Mostre que existem infinitos $(x,y)\in\Q^2$ satisfazendo $x^2+y^2=k$. Mais precisamente, mostre que existe um isomorfismo linear $T:\R^2\to \R^2$ tal que 
$T(x,y)\in\Q^2$ para todo $(x,y)\in\Q^2$ e tal que $x^2+y^2=1$ se, e somente se, $(x',y')=T(x,y)$ satisfaz $(x')^2+(y')^2=k$. 
\\Dica: Usandos n\'umeros complexos, note que ${\displaystyle x^2+y^2=k \Longleftrightarrow \frac{(x+iy)}{(a+ib)}\frac{(x-iy)}{(a-ib)}=1}$. 
\\{\tt Observa\cao}: \'E poss\'ivel mostrar que se, $k$ n\ao\ puder ser escrito como a soma de dois inteiros, ent\ao\ a interese\cao\ entre $\Q^2$ e o 
c\'irculo $x^2+y^2=k$ ser\'a vazia. Para isso \'e preciso usar dois resultados cl\'assicos da Teoria dos N\'umeros: (1) todo inteiro positivo $k$ que n\ao\ se escreve como a soma de dois quadrados \'e da forma $k=p_1.p_2.\cdots.p_l(a^2+b^2)$, onde $p_1,p_2,\cdots,p_l$ s\ao\ primos distintos e c\^ongruos a 3 
(mod 4) e $a$ e $b$ s\ao\ inteiros n\ao-negativos (este \'e um teorema de Fermat, veja por exemplo o Teorema IV.1.6 em {\em Elementos de \'Algebra}, de Arnaldo Garcia e Yves Lequain) e (2) todo elemento do anel $\Z[i]=\{a+bi;\,a$ e $b\in\Z\}$ pode ser fatorado como um produto de ``primos'' (isto \'e, elementos do anel que n\ao\ podem ser escritos como o produto de dois elementos diferentes de $1$, $-1$, $i$, $-i$); al\'em disso, a fatora\cao\ \'e \'unica a menos de permuta\cao\ ou multiplica\cao\ por $\pm1$ ou $\pm i$ (veja por exemplo o Teorema 14.10 em {\em Elementary Number Theory \&\ its applications}, de Kenneth H. Rosen).  
 
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\noindent ({\bf 4}) Sejam $O$ a origem de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no plano, $Q=(-1,0)$ e $P=(x,y)$ um ponto do c\'irculo $x^2+y^2=1$, $P\neq Q$. Sejam $\theta$ e $\varphi$ \^angulos-com-sinal determinados com o eixo das abscissas, da maneira usual, pelos segmentos $\overline{QP}$ e $\overline{OP}$, respectivamente (isto \'e, $\theta=\varphi=0$ se $P=(1,0)$, $\theta$ e $\varphi$ t\^em o mesmo sinal que $y$, $|\theta|<\pi/2$ e $|\varphi|<\pi$). Mostre que $\tan\theta=y/(x+1)$ e da\'i use os resultados da primeira quest\ao\ para expressar o seno e o cosseno de $\varphi$ em fun\cao\ de $\tan(\varphi/2)$. 

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\noindent ({\bf 5}) Seja $a$ uma constante positiva.
\\(a) Esboce o gr\'afico das fun\coes\ $f(t)=3at/(1+t^3)$ e $g(t)=3at^2/(1+t^3)$, ambas definidas para $t\neq -1$.
\\(b) Calcule ${\displaystyle \lim_{t\to -1}(f(t)+g(t))}$.
\\(c) Defina $\gamma(t)=(f(t),g(t))$, $t\neq -1$. Verifique que a imagem da aplica\cao\ $\R\setminus\{-1\}\ni t\mapsto \gamma(t)\in\R^2$ coincide com a curva de equa\cao\ cartesiana $x^3+y^3=3axy$ (conhecida como o {\em folium de Descartes}) e esboce seu gr\'afico.
\\(d) Encontre as coordenas dos pontos do folium de Descartes nos quais a reta tangente \'e horizontal, ou \'e vertical, ou tem coeficiente angular igual a $-1$.

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\noindent ({\bf 6}) Seja $\ell$ uma constante positiva. 
\\(a) Esboce o gr\'afico da curva de equa\cao\ $x^{2/3}+y^{2/3}=\ell^{2/3}$ (conhecida como {\em astroide}).
\\(b) Dado um ponto $(x_0,y_0)$ com ambas coordenadas n\ao-nulas no astroide $x^{2/3}+y^{2/3}=\ell^{2/3}$, verifique que a reta tangente \`a curva nesse ponto determina com os eixos coordenados um segmento de comprimento $\ell$. 

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\noindent ({\bf 7}) O terreno de uma casa \'e delimitado por um muro de lados paralelos \`as suas paredes. Suponha que uma das paredes da casa est\'a a uma dist\^ancia $a$ do muro, que tem altura $b$. Suponha tamb\'em que essa parede \'e alta o suficiente (ou que o muro \'e baixo o suficiente) para que seja poss\'ivel uma escada suficientemente longa ter sua extremidade inferior no ch\ao, fora do terreno da casa,  e sua extremidade superior apoiada na parede.  Mostre que a escada mais curta que pode ser colocada nessa posi\cao\ tem comprimento $(a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2}$. 

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\noindent ({\bf 8)} Dois corredores, um de largura $a$ e o outro de largura $b$, formam uma esquina em \^angulo reto. Deseja-se arrastar uma barra met\'alica pesada de espessura desprez\'ivel, sem que ela saia do ch\ao, de um corredor para o outro. Mostre que a maior barra que pode dobrar a esquina desse jeito tem comprimento $(a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2}$.

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\noindent ({\bf 9}) Encontre o valor de $a$ para o qual reta $y=x$ \'e tangente \`a curva $y=a^x$. ({\bf 10}) Quem \'e maior, $e^\pi$ ou $\pi^e$?

\end{document}
