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\begin{document}
\begin{center}

{\sc MAT0450  - Semin\'ario de Resolu\c{c}\~ao\ de Problemas
\\  IME-USP, 1$^\circ$ Semestre de 2013\\ Sexta Lista}
\end{center}
\vskip.6cm

\noindent ({\bf 1}) Dois jogadores se enfrentam em uma batalha de War, o Jogo da Estrat\'egia. 
O atacante lan\c{c}a tr\^es dados e o defensor, dois. O atacante 
conquistar\'a o territ\'orio do defensor em apenas um lance de dados se, e somente se, as duas condi\coes\ seguintes forem satisfeitas: (1) o maior dado do atacante for maior do que o maior dado do defensor e (2) o segundo maior dado do atacante for maior do que o segundo maior dado do defensor (convencionamos que o ``segundo maior dado'' pode ser igual ao maior dado, caso dois ou mais dados empatem no maior valor).  

Calcule a probabilidade de o atacante conquistar o territ\'orio com o defensor tirando: (a) 2 cincos, (b) 1 cinco e 1 quatro, (c) 1 cinco e 1 tr\^es, (d) 1 cinco e 1 dois, (e) 1 cinco e 1 um, (f) pelo menos 1 cinco, (g) pelo menos 1 quatro. {\tt Respostas}: (b) $\frac{43}{216}$, (g) $\frac{443}{1188}$.

\vskip.4cm ({\bf 2}) Dez bolas diferentes s\ao\ colocadas em quatro urnas diferentes. Qual \'e a probabilidade de que todas as urnas fiquem ocupadas? 

\vskip.4cm ({\bf 3}) (a) De quantas maneiras distintas dez bolas id\^enticas podem ser distribu\'idas entre quatro urnas diferentes, considerando-se v\'alidas as distribui\coes\ nas quais uma ou mais urnas ficam sem bolas? \\
(b) Supondo que as distribui\coes\ do item anterior sejam equiprov\'aveis, determine a probabilidade de que todas as urnas sejam ocupadas. 


\vskip.4cm ({\bf 5}) Em cada concurso da mega-sena, sorteiam-se seis de sessenta dezenas. (a) Calcule a probabilidade de o apostador ganhar a sena se fizer sete apostas em um sorteio (b) Calcule a probabilidade de o apostador ganhar a sena pelo menos uma vez se fizer uma aposta em sete sorteios consecutivos. 
\\{\tt Respostas}: (a)$\frac{7!}{60.59.58.57.56.55}$. (b) $1-(1-\frac{6!}{60.59.58.57.56.55})^7$. 

\noindent
{\tt Observa\cao}: Usando a m\'aquina de calcular ou algebricamente, podemos verificar que a probabilidade obtida no 5(a) maior do que a do item (b). Ser\'a que isto significa que vale mais a pena apostar o mesmo dinheiro de uma vez s\'o, em vez de ``parcelar o investimento"? D\'a para suspeitar que n\ao, pois, no segundo caso h\'a a chance de ganhar mais de uma vez e a diferen\c{c}a entre as duas probabilidades \'e \'infima (a segunda \'e um pouco menos de 6 milion\'esimos por cento maior que a primeira). No problema seguinte veremos que tanto faz: o {\em valor esperado} da quantia a ser recebida nos dois casos \'e o mesmo. 

\vskip.4cm ({\bf 6}) A cada sorteio, uma loteria seleciona com igual probabilidade um elemento de um conjunto $S$ com $N$ elementos (no problema anterior, $S$ \'e o conjunto dos subconjuntos de 6 elementos do conjunto das primeiras 60 dezenas e, portanto, $N=\frac{60!}{54!.6!}$). Quem tiver apostado no elemento escolhido receber\'a uma certa import\^ancia $P$, que suporemos constante ao longo dos diversos sorteios. O valor esperado da quantia que receber\'a o apostador, caso ele aposte em $k$ elementos em um dado sorteio \'e, portanto, igual a $kP/N$. Mostre que o valor esperado da quantia a ser recebida pelo apostador no caso em que ele aposta em apenas um elemento de $S$ durante $k$ semanas consecutivas tamb\'em \'e igual a $kP/N$.

\vskip.4cm ({\bf 7}) Cinco homens, entre os quais Fernando, e cinco mulheres, entre as quais Isabel, compram dez cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro. Supondo que se sentaram aleatoriamente nas dez cadeiras, calcule:

\noindent
(a) a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas,
\\(b) a probabilidade de que Fernando e Isabel se sentem juntos,
\\(c) a probabilidade de que todas a mulheres se sentem juntas, 
\\(d) a probabilidade de que todos os homens se sentem juntos e todas as mulheres se sentem juntas.
\end{document}
