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\begin{document}
\begin{center}

{\sc MAT0450  - Semin\'ario de Resolu\c{c}\~ao\ de Problemas
\\  IME-USP, 1$^\circ$ Semestre de 2013, Quinta Lista}
\end{center}
\vskip.1cm

\noindent ({\bf 1}) (a) Encontre todos os inteiros positivos menores do que mil que s\ao\ m\'ultiplos de nove e cujos d\'igitos (de sua expans\ao\ na base 10) s\ao\ todos pares.
\\(b) Existem quantos inteiros positivos menores do que dez mil que s\ao\ m\'ultiplos de nove e com d\'igitos todos pares? 

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\noindent ({\bf 2}) Dado  $n$, um inteiro maior do que $4$, mostre que: 
\\(a) $n$ \'e composto se, e somente se, $(n-1)!$ \'e divis\'ivel por $n$.
\\(b) $n$ tem mais de um fator primo se, e somente se, mmc$(2,3,\cdots,n-1)$ \'e divis\'ivel por $n$. 


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\noindent ({\bf 3})  (OBMEP 2009) Chamaremos um n\'umero inteiro $k$ de simp\'atico quando existirem inteiros positivos $a$, $b$ e $c$, com $a<b<c$, tais que $k=a^2+b^2-c^2$.
\\(a) Mostre que 0, 1 e 2 s\ao\ simp\'aticos. 
\\(b) Dadas $m$, $n$ e $p$ reais, verifique que 
$(3x+m)^2+(4x+n)^2-(5x+p)^2=ax+b$, para todo $x\in\R$, com $a$ e $b$ satisfazendo
${\displaystyle
\left\{\begin{array}{rcl}
6m+8n-10p&=&a\\
m^2+n^2-p^2&=&b
\end{array}\right.}$.
\\(c) Encontre $m$, $n$ e $p$ inteiros que satisfa\c{c}am
${\displaystyle
\left\{\begin{array}{rcl}
6m+8n-10p&=&2\\
m^2+n^2-p^2&=&0
\end{array}\right.}$. Dica: Tente fazer $m=0$.
\\(d) Mostre que todos os pares maiores do que 2 s\ao\ simp\'aticos.
\\(e) Encontre $m$, $n$ e $p$ inteiros que satisfa\c{c}am
${\displaystyle
\left\{\begin{array}{rcl}
6m+8n-10p&=&2\\
m^2+n^2-p^2&=&1
\end{array}\right.}$. Dica: Tente fazer $m=1$.
\\(f) Mostre que todos os \'impares maiores do que 2 s\ao\ simp\'aticos.

\vskip.06cm

\noindent ({\bf 3}') Chamaremos um n\'umero inteiro $n$ de simpatic\'issimo quando existirem inteiros positivos $a$, $b$, com $a<b$, tais que $n=a^2+b^2-(b+1)^2$. Mostre que todos os n\'umeros inteiros (os negativos inclusive) s\ao\ simpatic\'issimos. \\Dica: Tente fazer $a=n+1$.

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\noindent ({\bf 3}'') Defina $f:\R^2\to\R^2$ por $f(a,b)=(a+2,b+2a+1)$.
\\(a) Verifique que, se $a^2+b^2-(b+1)^2=n$ e se $(a',b')=f(a,b)$, ent\ao\ $(a')^2+(b')^2+(b'+1)^2=n+2$.
\\(b) Mostre que, se $a<b$ e se $(a',b')=f(a,b)$, ent\ao\ $a'<b'$.
\\(c) Mostre por indu\cao\ que todos os inteiros positivos s\ao\ simpatic\'issimos.
\\(d) Defina as sequ\^encias $a_n$ e $b_n$ por $a_0=1$, $b_0=0$, $a_1=2$, $b_1=1$ e $(a_n,b_n)=f(a_{n-2},b_{n-2})$ se $n\geq 2$. Mostre que $a_n=n+1$ e $b_n=(n^2+n)/2$\ para todo $n$.  

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\noindent ({\bf 4}) (OBMEP 2011) Dado um n\'umero natural $n$, chamaremos um m\'ultiplo n\ao-nulo de $n$ de {\em m\'ultipolo irado}\ se sua expans\ao\ na base dez tem apenas uns e zeros (por exemplo, 10, 100 e 110 s\ao\ m\'ultiplos irados de 2).
\\(a) Ache os menores m\'ultiplos irados de 3, de 7, de 9, de 35 e de 45.
\\(b) Mostre que todo inteiro positivo $n$ tem um m\'ultiplo irado.
\\(c) Dado um inteiro $n>1$, sejam $m\geq 1$, $r\geq 0$ e $s\geq 0$ os \'unicos inteiros tais que $n=2^r5^sm$ e mdc$(m,10)=1$. Mostre que $M$ \'e um m\'ultiplo irado de $m$ se se somente se $N=M\cdot 10^{\max\{r,s\}}$ \'e m\'ultiplo irado de $n$. 
\\(d) Dado um inteiro positivo $n$, seja $f(n)$ o menor n\'umero de uns que algum m\'ultiplo irado de $n$ pode ter. Mostre que $f(n)\leq n$ para todo $n$ e que a igualdade s\'o se verifica quando $n$ \'e igual 1, 3 ou 9. 

\vskip.06cm

\noindent ({\bf 4}') Dado um n\'umero inteiro $b\geq 2$ e um natural $n$, chamaremos um m\'ultiplo nao-nulo de $n$ de $b$-{\em irado}\ se sua expans\ao\ na base $b$ tem apenas uns e zeros. 
\\(a) Mostre que todo inteiro positivo $n$ tem um m\'ultiplo $b$-irado.
\\(b) Dado $n$ um inteiro positivo, seja $f_b(n)$ o menor n\'umero de uns que algum m\'ultiplo $b$-irado de $n$ pode ter. Mostre que $f_b(n)\leq n$ para todo $n$ e que $f_b(n)=n$ se, e somente se, o resto da divis\ao\ de $b$ por $n$ \'e igual a um.   

\vskip.06cm

\noindent ({\bf 5}) (a)  Dados $m$, $n$ e $p$ reais, verifique que 
$(6x+m)^2+(8x+n)^2-4(5x+p)^2=ax+b$, para todo $x\in\R$, com $a$ e $b$ satisfazendo
${\displaystyle
\left\{\begin{array}{rcl}
12m+16n-40p&=&a\\
m^2+n^2-4p^2&=&b
\end{array}\right.}$.
\\ (b) Encontre $m$, $n$ e $p$ inteiros que satisfa\c{c}am
${\displaystyle
\left\{\begin{array}{rcl}
12m+16n-40p&=&4\\
m^2+n^2-4p^2&=&1
\end{array}\right.}$. Dica: Tente fazer $m=1$.
\\ (c) Mostre que, para cada $k\in\Z$ tal que $k\equiv 1$ (mod 4), existem $a$, $b$ e $c$ inteiros tais que $a^2+b^2-4c^2=k$.
 
 
 
\end{document}
