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\begin{document}
\begin{center}

{\sc MAT0450  - Semin\'ario de Resolu\c{c}\~ao\ de Problemas
\\  IME-USP, 1$^\circ$ Semestre de 2013\\ Terceira Lista}
\end{center}
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\noindent ({\bf 1}) Sejam A, B e C os v\'ertices de um tri\^angulo is\'osceles, com AC=BC, seja $\theta$ a medida do \^angulo do v\'ertice C, seja M o ponto m\'edio do lado oposto ao v\'ertice C, seja h=CM. Dado um ponto P no interior do tri\^angulo, denotemos por x, y e z as dist\^ancias de P aos lados $\overline{\mbox{AB}}$, $\overline{\mbox{BC}}$ e $\overline{\mbox{AC}}$, respectivamente. Para cada valor de $\theta$, obtenha uma constante $k$ tal que x+ky+kz=h, quaisquer que sejam o tri\^angulo e o ponto P como acima. 

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\noindent ({\bf 2}) Em um plano, \'e dado um quadril\'atero de v\'ertices A, B, C e D, percorridos no sentido anti-hor\'ario. Escolha um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas de tal forma que esses pontos tenham, respectivamente, coordenadas (0,0), (1,0), (x,y) e (z,w). Sejam A', B', C' e D' os pontos constru\'idos a partir do quadril\'atero ABCD na maneira descrita na quarta quest\ao\ da segunda lista.

(a) Descreva como solu\cao\ de um sistema de inequa\coes\ o conjunto S de todos os (x,y,z,w) tais que ABCD seja um quadril\'atero convexo. 

(a') (alternativa para o (a)) Mostre que ABCD \'e um quadril\'atero convexo se se somente se as seguintes desigualdades s\ao\ satisfeitas: $y>0$, $w>0$, $xw-yz>0$ e $xw-yz>w-y$. 

(b) Encontre as coordenadas de A', B', C' e D'.

(c)  Seja S' o subconjunto de S de todos os (x,y,z,w) tais que A'B'C'D' seja convexo. Mostre que S' \'e diferente de S. 

(d) Descreva como solu\cao\ de um sistema de equa\coes\ o subconjunto R de S de todos os (x,y,z,w)  tais que ABCD seja um paralelogramo. 

(e) Seja R' o subconjunto de S de todos os (x,y,z,w) tais que A'B'C'D' seja um paralelogramo. Mostre que R'=R. 

%(f) Descreva algebricamente o conjunto dos (x,y,z,w) de S tais que A'B'C'D' seja um ret\^angulo. 

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\noindent ({\bf 3}) Considere um tetraedro regular. Sejam r o raio da esfera inscrita no tetraedro, s o raio da esfera que tangencia as arestas do tetraedro e t o raio da esfera circunscrita ao tetraedro. Mostre que r, s e t, nesta ordem, est\ao\ em progress\ao\ geom\'etrica. 

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\noindent ({\bf 4})  Em um tetraedro regular, denotemos por O seu centro. Calcule o cosseno do \^angulo A$\hat{\mbox{O}}$B, sendo A e B v\'ertices do tetraedro.
 
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\noindent ({\bf 5})  No quadrado de lado 1 ABCD, prolonga-se, a partir de D, o lado $\overline{\mbox{AD}}$, obtendo-se assim o ponto E. Chamemos de F a interse\cao\ dos segmentos $\overline{\mbox{DC}}$ e $\overline{\mbox{BE}}$. Sabendo que EF=1, obtenha ED. (Vejam a figura do Problema 12 de http://www.ime.usp.br/$\sim$alpereir/resprob/12lista3.pdf.)



\end{document}
