\documentclass{amsart} 
\linespread{1.3}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\setlength{\textwidth}{14cm}
\setlength{\textheight}{55pc}
\setlength{\baselineskip}{1pc}
\setlength{\parindent}{4mm}
\setlength{\parskip}{0.4pc}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.52cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.52cm}
\setlength{\topmargin}{-2pc}
\setlength{\topskip}{3pc}
\setlength{\unitlength}{.5cm}
\newcommand{\ih}{\'{\i}}
\newcommand{\ao}{\~ao}
\newcommand{\cao}{\c{c}\~ao}
\newcommand{\coes}{\c{c}\~oes}
\newcommand{\oes}{\~oes}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\begin{document}


\title{MAT0450  - Semin\'ario de Resolu\c{c}\~ao\ de Problemas}
\author{IME-USP, 1$^\circ$ Semestre de 2013\\Segunda Lista}
\date{}
\maketitle

\begin{enumerate}

\item Dado um ponto P no interior de um tri\^angulo equil\'atero, sejam x, y e z as dist\^ancias de P aos lados do tri\^angulo. Mostre que o valor da soma x+y+z n\ao\ depende da escolha do ponto P. \\{\sc Dica}: Tente descobrir o valor da soma considerando exemplos.

\vskip1.3cm

\item Sejam l, m e n os comprimentos dos lados de um tri\^angulo. Suponha que l, m e n s\ao\ inteiros satisfazendo l$\leq$m$\leq$n.
\begin{enumerate}
\item Tome n=9 e descubra quantos tri\^angulos desse tipo h\'a.
\item Considere outros valores de n e descubra uma lei geral.
\end{enumerate}

\vskip1.3cm

\item Dado um paralelep\'ipedo reto ret\^angulo e um seu v\'ertice A, sejam B, D e E os outros  extremos das tr\^es arestas que t\^em A como um extremo. Calcule, em termos dos comprimentos das arestas do paralelep\'ipedo, a dist\^ancia do ponto A ao plano determinado por B, D e E. \\{\sc Dicas}: (i) Considere primeiro o caso em que as arestas medem 2, 3 e 4. (ii) Tente usar a f\'ormula do volume de uma pir\^amide.

\vskip1.3cm

\item Percorre-se o quadril\'atero convexo ABCD no sentido anti-hor\'ario. A partir de cada v\'ertice atingido no percurso, prolonga-se o lado rec\'em-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos s\ao\ denotadas por A', B', C' e D', de modo que os novos segmentos sejam, ent\ao, $\overline{\mbox{AA}'}$, $\overline{\mbox{BB}'}$, $\overline{\mbox{CC}'}$ e $\overline{\mbox{DD}'}$. 
\begin{enumerate}
\item Mostre que, se o quadril\'atero ABCD for um paralelogramo, ent\ao\ o quadril\'atero A'B'C'D' tamb\'em \'e. 
\item Supondo que ABCD seja um paralelogramo, calcule a \'area de A'B'C'D' em termos da \'area de ABCD.
\item Vale a rec\'iproca da afirma\cao\ do item (a)? Isto \'e, A'B'C'D' \'e um paralelogramo s\'o se ABCD tamb\'em for? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
