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\begin{document}


\title{MAT0450  - Semin\'ario de Resolu\c{c}\~ao\ de Problemas}
\author{IME-USP, 1$^\circ$ Semestre de 2013\\Primeira Lista}
\date{}
\maketitle

\begin{enumerate}

\item Os p\'assaros de uma certa comunidade eram t\ao\ ciosos de suas caudas que cometiam suic\'idio na noite seguinte ao dia em que descobriam que as tinham perdido. Eles n\ao\ conseguiam ver, tocar ou sentir suas caudas. Embora cada um deles soubesse se os demais estavam ou n\ao\ com suas caudas, eles n\ao\ trocavam entre si informa\cao\ alguma sobre o assunto. A \'unica maneira de que eles dispunham para descobrir se tinham perdido suas caudas era dedu\cao\ l\'ogica, e nisso eles eram infal\'iveis. 

A plumagem de suas caudas era de uma beleza extraordin\'aria e, por esse motivo, era muito cobi\c{c}ada por traficantes. Numa certa noite, ouviu-se um ladr\ao\ abandonando desastradamente a comunidade. O que se viu permitiu aos p\'assaros deduzir que pelo menos um p\'assaro tivera sua cauda roubada. Cinco noites depois do roubo, os p\'assaros que tiveram suas caudas roubadas cometeram suic\'idio. Quantos p\'assaros se suicidaram? 

{\sc Problema correlato}: O que aconteceria se o ladr\~ao tivesse roubado apenas uma cauda? 

\item \begin{enumerate}

\item Um ve\'iculo viaja entre duas cidades, indo a 70 km/h durante uma ter\c{c}a parte do tempo e a 100 km/h durante o restante do tempo. Qual \'e a velocidade m\'edia? 

\item Um ve\'iculo viaja entre duas cidades, percorrendo metade da dist\^ancia a 70 km/h e percorrendo a outra metade a 100 km/h. Qual \'e a velocidade m\'edia? 

\item Um ve\'iculo viaja entre duas cidades, percorrendo um ter\c{c}o da dist\^ancia a 60 km/h, um outro ter\c{c}o da dist\^ancia a 80 km/h e o ter\c{c}o restante a 100 km/h. Qual \'e a velocidade m\'edia? 
\end{enumerate}

\item Seja $r$ a reta que passa por dois v\'ertices opostos de um cubo. Mostre que os demais seis v\'ertices determinam dois planos perpendiculares a $r$. Calcule a dist\^ancia entre eles, em fun\cao\ do comprimento da aresta.

%\item S\ao\ dados um tri\^angulo e um ponto P em seu plano, distinto do baricentro B (que \'e, por defini\cao\ o ponto de encontro das medianas). Mostre que a reta que passa por P e B divide o tri\^angulo em duas partes de \'areas iguais.

\item \begin{enumerate}
\item Mostre que uma reta que passa pelo centro de um pol\'igono regular com um n\'umero par de lados divide o pol\'igono em duas partes de \'areas iguais. 

\item Mostre que uma reta que passa pelo baricentro de um tri\^angulo e \'e paralela a um dos seus lados divide o tri\^angulo em duas partes de \'areas diferentes.

\item Mostre que uma reta que passa pelo centro de um pent\'agono regular e \'e paralela a um dos seus lados divide o pent\'agono em duas partes de \'areas diferentes. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
