Programa: Numa primeira etapa devemos construir, usando o cálculo simbólico de Hörmander, parametrizes de operadores elípticos em abertos do espaço euclideano; obtendo, como aplicações, a resolubilidade local e a regularidade das soluções das equações elípticas. Em seguida, transportaremos os resultados locais para variedades compactas, introduzindo então os espaços de Sobolev, tendo como objetivo principal chegar ao Teorema de Hodge (sobre o núcleo do laplaceano em formas). Outros tópicos serão expostos pelos alunos.
Pré-requisitos: Planejo fazer, nas duas ou três primeiras aulas, um resumo dos principais tópicos de cálculo e análise funcional que vamos usar no curso: funções teste, transformada de Fourier, espaços de Fréchet, teoria das distribuições. Recomendo àqueles alunos que nunca tenham ouvido falar de teoria das distribuições que estudem, por exemplo, a maior parte dos cinco primeiros capítulos de [5] ou do quinto capítulo de [6]. Redigi um breve apanhado com definições e enunciados de teoremas sobre espaços localmente convexos ( clique para obter o arquivo ps, ou pegue emprestada a cópia afixada ao lado da minha porta) Para a segunda parte do curso, algum conhecimento prévio de cálculo em variedades (especialmente formas diferenciais) é desejável.
Avaliaçao: Será baseada em listas de exercícios e em um seminário ao fim do semestre. Não vou exigir a entrega de muitos problemas, mas pretendo oferecer muitas escolhas, em diferentes graus de dificuldade. Clique aqui para obter o arquivo ps da lista de exercícios. Muitos dos problemas são resultados de cálculo ou de análise funcional que usamos no curso.
Bibliografia: Todo o assunto que espero cobrir está essencialmente contido nos parágrafos 1 a 7 e 12 de [1], adotado como livro-texto. Este material será ocasionalmente complementado por [2], [3], [4] e notas manuscritas de Paulo Cordaro.
[1] Jorge Hounie, Introdução aos Operadores Pseudo-Diferenciais, 16o. Colóquio Brasileiro de Matematica, 1987.
[2] Peter Gilkey, Invariance Theory, The Heat Equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem , Publish or Perish, Mathematics Lecture Series 11 , 1984.
[3] Alain Grigis, Johannes Sjöstrand, Microlocal Analysis for Differential Operators, Cambridge University Press, 1994
[4] Michael Taylor, Pseudodifferential Operators , Princeton University Press, 1981.
[5] Jorge Hounie, Teoria Elementar das Distribuições, 12o. Colóquio Brasileiro de Matematica, 1979.
[6] Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Academic Press, 1980.