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%\title{O Gr\'afico da Fun\c{c}\~ao\ $f(x)=x^{1/x}$} 
%\author{USP\ \ --\ \ MAT 2110\ \ --\ \ 2015} 

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\pagestyle{empty}


\begin{document}
%\maketitle

\begin{center} {\bf O gr\'afico de $x^{1/x}$} \ \ \ (USP\ \ -\ \ MAT 2110\ \ -\ \ 2015)\end{center}

Nesta nota vamos recapitular as informa\coes\ que obtivemos em sala sobre o gr\'afico da fun\cao\ $f(x)=x^{1/x}$, $x>0$, e vamos dar uma prova detalhada de que ela tem apenas os dois pontos de inflex\ao\ que conjecturamos. 

Vimos que $f(x)=x^{1/x}$ tende a $1$ quando $x$ tende a $+\infty$ e tende a $0$ quando $x$ tende a $0$, que $f$ \'e crescente no intervalo aberto $(0,e)$, decrescente no intervalo aberto 
$(e,+\infty)$ e seu \'unico ponto cr\'itico ocorre em $x=e$. Al\'em disso, escrevendo  
\[
f'(x)=\frac{x^{1/x}}{x^2}(1-\ln x)=\frac{x^{1/x}}{x^3}(x-x\ln x)=\frac{e^{\frac{\ln x}{x}}}{e^{3\ln x}}=e^{\frac{\ln x-3x\ln x}{x}}(x-x\ln x), 
\]
e usando que $x\ln x$ tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ (isto segue da Regra de L'H\^{o}spital), vemos que $f'(x)$ tende a $0$ quando $x$ tende a $0$. O c\'alculo do limite de $f'(x)$ 
quando $x$ tende a $+\infty$ \'e uma aplica\cao\ mais previs\'ivel da Regra de L'H\^ospital, pois j\'a sabemos que o limite no infinito de $x^{1/x}$ \'e igual a $1$:
\[
\lim_{x\to +\infty}f'(x)=\lim_{x\to +\infty}{x^{1/x}}\cdot \lim_{x\to\ +\infty}\frac{1-\ln x}{x^2}=1\cdot \lim_{x\to +\infty}\frac{-\frac{1}{x}}{2x}=-\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{2x^2}=0
\]

Uma vez que  $f'$ \'e positiva no intervalo aberto $(0,e)$ e tende a zero nos extremos $0$ e $e$, segue que $f''$ (a derivada de $f'$) tem de se anular em pelo menos um ponto 
$x_1$ entre $0$ e $e$. A derivada segunda $f''$ tamb\'em tem de se anular em pelo menos um ponto $x_2>e$, pois $f'(e)=0$, $f'(x)<0$ se $x>e$ e $f'(x)\to 0$ quando $x\to +\infty$.

Nosso objetivo agora \'e obter informa\coes\ sobre o sinal de $f''$ suficientes para provar que $f''$ se anula em {\tt apenas} dois pontos $x_1$ e $x_2$, satisfazendo $0<x_1<e<x_2$, e que 
$x_1$ e $x_2$  s\ao\ pontos de inflex\ao.

Vimos em sala que 
\[
f''(x)=\frac{x^{1/x}}{x^4}\cdot[(1-\ln x)^2+x(2\ln x-3)].
\]
Seja $\varphi$ a fun\cao\ definida pela express\ao\ entre colchetes na equa\cao\ acima. Podemos escrever 
$\varphi(x)=a(x)+b(x)$,\  $x>0$, sendo  $a(x)=(1-\ln x)^2$ e $b(x)=x(2\ln x -3).$ 
%Os valores das fun\coes\ $f''$ e $\varphi$ t\^em o mesmo sinal em cada ponto $x>0$, pois $\frac{x^{1/x}}{x^4}$ \'e positivo em todo $x>0$. 

O sinal de $a'(x)=2(\ln x-1)/x$ \'e positivo de $x>e$ e \'e negativo se $x<e$. O sinal de $b'(x)=2\ln x-1$ \'e positivo se $x>\sqrt{e}$ e \'e negativo se $x<\sqrt{e}$. Logo, o sinal de 
$\varphi'(x)=a'(x)+b'(x)$ \'e  positivo se $x>e$ e \'e negativo se $x<\sqrt{e}$ (lembre que $e>\sqrt{e}$) . A verifica\cao\ das seguintes afirma\coes\ fica por conta do leitor:
\[
\lim_{x\to 0} \varphi(x)=+\infty,\ \ \ \varphi(\sqrt{e})=\frac{1}{4}-2\sqrt{e}<0,\ \ \ \varphi(e)=-e<0,\ \ \ \lim_{x\to +\infty} \varphi(x)=+\infty
\]
Da\'i e do fato de que $\varphi'(x)<0$ se $x<\sqrt{e}$ e $\varphi'(x)>0$ se $x>e$, segue que existe um \'unico ponto $x_1<\sqrt{e}$ em que $\varphi (x_1)=0$ e um \'unico ponto $x_2>e$ em que $\varphi(x_2)=0$. Al\'em disso, $\varphi(x)$ muda de sinal em $x_1$ e em $x_2$. 

Como, para cada $x$, $f''(x)$ \'e igual ao n\'umero positivo $\frac{x^{1/x}}{x^4}$ multiplicado por $\varphi(x)$, segue que $f''$ muda de sinal em $x_1$ e em $x_2$, que s\ao, portanto, os \'unicos pontos de inflex\ao\ de $f$ fora do intervalo $[\sqrt{e},e]$. 

Para concluir que $x_1$ e $x_2$ s\ao\ os \'unicos pontos de inflex\ao\ de $f$, basta mostrar que $\varphi(x)$ (e portanto $f''(x)$) \'e menor do que zero em todos os pontos de $[\sqrt{e},e]$. A fun\cao\ $a$ \'e decrescente em $[\sqrt{e},e]$ e portanto $a(x)\leq a(\sqrt{e})=\frac{1}{4}$ para todo $x\in [\sqrt{e},e]$. A fun\cao\ $b$ \'e crescente em $[\sqrt{e},e]$ e portanto 
$b(x)\leq b(e)=-e$ para todo $x\in [\sqrt{e},e]$. Somando as duas desigualdades, vem:
\[
\varphi(x)=a(x)+b(x)\leq\frac{1}{4}-e<0, \ \ \ \mbox{para todo}\ \ \ x\in [\sqrt{e},e]
\]
Logo, $f''(x)=\frac{x^{1/x}}{x^4}\varphi(x)<0$ para todo $x\in [\sqrt{e},e]$, como quer\'iamos.




\end{document}
