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\title{Duas defini\c{c}\~oes de diferenciabilidade em $\R^2$\\USP\ \ --\ \ MAT 2127\ \ --\ \ 2015} 
\author{}%USP\ \ --\ \ MAT 2127\ \ --\ \ 2015} 

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\pagestyle{empty}


\begin{document}
\maketitle

O objetivo desta nota \'e mostrar que as defini\coes\ de diferenciabilidade adotadas nos dois textos da bibliografia, o Stewart e o Guidorizzi, s\ao\ equivalentes; 
ou seja, vamos mostrar que sempre que uma fun\cao\ \'e diferenci\'avel num dos dois sentidos, \'e tamb\'em no outro. 

A defini\cao\ usada no Stewart torna mais simples a demonstra\cao\ da regra da cadeia e a demonstra\cao\ de que  continuidade das derivadas de primeira ordem 
implica em diferenciabilidade. Por outro lado, \'e mais f\'acil decidir se uma fun\cao\ \'e ou n\ao\ diferenci\'avel usando a defini\cao\ adota no Guidorizzi. 

Seja $f:D\to\R$ uma fun\cao\ definida em um aberto $D\subseteq\R^2$ e seja $(x_0,y_0)$ um ponto de $D$. Pela defini\cao\ do Stewart, $f$ \'e {\em diferenci\'avel} 
em $(x_0,y_0)$ se existem as derivadas parciais $f_x(x_0,y_0)$ e $f_y(x_0,y_0)$ e existem fun\coes\ $\epsilon_1$ e $\epsilon_2$ tais que 
\begin{equation}
\label{defs1}
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\epsilon_1(x,y)=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\epsilon_2(x,y)=0
\end{equation}
e, para todo $(x,y)\in D$, 
\begin{equation}
\label{defs2}
f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+\epsilon_1(x,y)(x-x_0)+\epsilon_2(x,y)(y-y_0).
\end{equation}

Suponha que $f$ \'e diferenci\'avel de acordo com esta defini\cao. Ent\ao
\[
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-[f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)]}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}
\]\[
=
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{\epsilon_1(x,y)(x-x_0)+\epsilon_2(x,y)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}
\]\[
=
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\left[\epsilon_1(x,y)\frac{x-x_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\right]+
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\left[\epsilon_2(x,y)\frac{y-y_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\right].    
\]
Agora usamos que o produto de uma fun\cao\ que tende a zero por uma fun\cao\ limitada tamb\'em tende a zero. Neste caso
temos que as fun\coes\ $\epsilon_1(x,y)$ e $\epsilon_2(x,y)$ tendem a zero quando $(x,y)$ tende a $(x_0,y_0)$. E elas est\ao\ 
multiplicadas por fun\coes\ limitadas:
\[
\left|\frac{x-x_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\right|\leq 1\ \ \ \mbox{e}\ \ \ 
\left|\frac{y-y_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\right|\leq 1, \ \ \ \mbox{para todo}\ \ \ (x,y)\neq (x_0,y_0).
\]
Da\'i, temos
\begin{equation}\label{defg}
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-[f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)]}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0.
\end{equation}

A equa\cao\ (\ref{defg}) que acabamos de obter \'e justamente a defini\cao\ de $f$ ser diferenci\'avel em $(x_0,y_0)$ adotada pelo Guidorizzi. Provamos portanto que
diferenciabilidade {\em \`a la Stewart} implica em diferenciabilidade {\em \`a la Guidorizzi}. Para provar a afirma\cao\ rec\'iproca 
(``Guidorizzi"$\,\Longrightarrow\,$``Stewart''), suponhamos agora que (\ref{defg}) \'e satisfeita e provemos que existem $\epsilon_1$ e 
$\epsilon_2$ satisfazendo (\ref{defs1}) e (\ref{defs2}). Vamos precisar de usar uns truques alg\'ebricos.

Definamos $q(x,y)$, para todo $(x,y)\neq(x_0,y_0)$, por 
\[
q(x,y)=\frac{f(x,y)-[f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)]}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}.
\]
Por hip\'otese, temos que $q(x,y)$ tende a zero quando $(x,y)$ tende a $(x_0,y_0)$. Por defini\cao\ de $q$, temos
\begin{equation}
\label{f1}
f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+q(x,y)\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.
\end{equation}
Agora escrevemos:
\[
q(x,y)\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=q(x,y)\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\cdot\frac{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}
\]\[=
\frac{(x-x_0)\cdot q(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\cdot (x-x_0)+\frac{(y-y_0)\cdot q(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\cdot(y-y_0).
\]
Definindo 
\[
\epsilon_1(x,y)=\frac{(x-x_0)\cdot q(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}  \ \ \ \mbox{e}\ \ \ \epsilon_2(x,y)=\frac{(y-y_0)\cdot q(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}},
\]
temos que $\epsilon_1$ e $\epsilon_2$ s\ao\ produtos de fun\coes\ limitadas por fun\coes\ que tendem a zero quando $(x,y)$ tende a $(x_0,y_0)$. Logo (\ref{defs1}) \'e 
satisfeita. Para ver que a equa\cao\ (\ref{defs2}) tamb\'em \'e satisfeita basta substituir
\[
q(x,y)\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=\epsilon_1(x,y)(x-x_0)+\epsilon_2(x,y)(y-y_0)
\]
na equa\cao\ (\ref{f1}). Logo, $f$ \'e diferenci\'avel em $(x_0,y_0)$ no sentido do Stewart.
\end{document}
