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\title{Algumas Aplica\c{c}\~oes do Teorema do Valor M\'edio} 
\author{Severino Toscano do Rego Melo\\USP\ \ --\ \ MAT 0146\ \  -- 2016} 

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\maketitle

O objetivo destas notas \'e, em primeiro lugar,  apresentar de maneira arrumada os resultados  que vimos na aula de 25 de abril.
Aproveito a
ocasi\ao\ para tamb\'em explicar, com uma abordagem diferente do livro-texto, o que o sinal da segunda derivada diz sobre o gr\'afico
de uma fun\cao. Esse assunto foi tratado na aula de 27 de abril.

Come\c{c}o recordando o enunciado do TVM:

{\bf Teorema do Valor M\'edio}: {\em Seja $f:[a,b]\to\R$ uma fun\cao\ cont\'inua no intervalo fechado $[a,b]$ e
deriv\'avel  no intervalo aberto $(a,b)$. Existe um ponto $c\in(a,b)$ $($isto \'e, $a<c<b)$ tal
que}
\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)
\]

Uma consequ\^encia do TVM \'e:

{\bf Proposi\cao\ 1}: {\em Sejam $f$ e $g$ fun\coes\ definidas em $[a,b]$ satisfazendo as hip\'oteses do TVM, isto \'e,
$f$ e $g$ s\ao\ cont\'inuas no intervalo fechado $[a,b]$ e s\ao\ deriv\'aveis no intervalo aberto $(a,b)$. Se
$f'(x)<g'(x)$ para todo $x\in(a,b)$ e se $f(a)=g(a)$, ent\ao\ $f(x)<g(x)$ para todo $x\in(a,b]$.}

  {\sc Demonstra\cao}: Considere a fun\cao\ $h(x)=g(x)-f(x)$. \'E claro que $h$ \'e cont\'inua em $[a,b]$ e \'e
  deriv\'avel em $(a,b)$. Al\'em disso, segue da hip\'otese de que $f'(x)<g'(x)$ para todo $x\in(a,b)$ que $h'(x)>0$
  para todo $x\in(a,b)$.
  Pelo TVM, segue que, para cada $x\in(a,b]$, existe um $\xi\in(a,x)$ (o ponto $\xi$ depende de $x$ e, em geral, n\ao\
    se pode determinar explicitamente) tal que
    \[
    \frac{h(x)-h(a)}{x-a}=h'(\xi)
    \]
    Como $x\leq b$ e $\xi\in(a,x)$, temos que $\xi\in(a,b)$. Logo $h'(\xi)>0$ e, portanto $h(x)-h(a)>0$ (pois $x-a>0$).
    Mas $h(a)=g(a)-f(a)$, igual a zero, por hip\'otese. Logo $g(x)-f(x)>0$, como quer\'iamos demonstrar. \cqd

    {\sc Observa\cao}: Em sala, n\'os n\ao\ aplicamos diretamente o TVM, mas sim invocamos um resultado da aula anterior que
    garante que $h$ \'e crescente em $[a,b]$, pois tem derivada positiva em $(a,b)$; da\'i conclu\'imos que $h(x)>h(a)=0$
    para todo $x\in(a,b]$.

\begin{center}      $      \cdots \diamond\ \cdots $ \end{center}

      As seguintes afirma\coes\ se demonstram com argumentos muitos parecidos aos usados na demonstra\cao\ da Proposi\cao\ 1. Fica
      para o leitor verificar em detalhe como se podem adaptar argumentos argumentos ou, pelo menos,
      convencer-se intuitivamente de que as afirma\coes\ s\ao\ verdadeiras, usando gr\'aficos. O leitor fica convidado a bolar
      outras afirma\coes\ verdadeiras parecidas com essas:

      \begin{enumerate}
      \item Se $f$ e $g$ s\ao\ cont\'inuas em $[a,b]$ e deriv\'aveis em $(a,b)$, se $f'(x)<g'(x)$ para todo $x\in(a,b)$ e se
        $f(b)=g(b)$, ent\ao\ $f(x)>g(x)$ para todo $x\in[a,b)$.

      \item Se $f$ e $g$ s\ao\ cont\'inuas em $[a,b]$, se $f'(x)\leq g'(x)$ para todo $x\in(a,b)$ e se $f(a)=g(a)$, ent\ao\
        $f(x)\leq g(x)$ para todo $x\in[a,b]$

        \item Se $f$ e $g$ s\ao\ cont\'inuas em $[a,b]$, se $f'(x)\leq g'(x)$ para todo $x\in(a,b)$ e se $f(a)<g(a)$, ent\ao\
        $f(x)< g(x)$ para todo $x\in[a,b]$

        \item Se $f$ e $g$ s\ao\ cont\'inuas em $[a,b]$, se $f(a)=g(a)$, se $f'(x)\leq g'(x)$ para todo $x\in(a,b)$ e se, para
          algum pequeno $\delta>0$, $f'(x)<g'(x)$ para todo $x\in(0,\delta)$, ent\ao\ $f(x)<g(x)$ para todo $x\in(a,b]$
      \end{enumerate}

      
                        \begin{center}       $\cdots \diamond\ \cdots $ \end{center}
        

      {\bf Exemplo}: Vamos usar a Proposi\cao\ 1 para provar que, para todo $x>0$,  $\sen x< x$ e $\cos x>1-\frac{x^2}{2}$.

      Sejam $f(x)=\sen x$ e $g(x)=x$. Para todo $x\in(0,2\pi)$, temos que
      $f'(x)=\cos x< 1=g'(x)$ (pois o cosseno s\'o vale 1 nos m\'ultiplos inteiros de $2\pi$.
      Al\'em disso, $f(0)=g(0)=0$. Segue, portanto, da Proposi\cao\ que $\sen x< x$ se $0<x\leq 2\pi$.
      Se $x>2\pi$, ent\ao\ \'e \'obvio que $\sen x<x$, pois $\sen x \leq 1$ e $x> 2\pi>1$. Isto prova que $\sen x< x$, para todo
      $x>0$.

      Sejam agora $F(x)=\cos x$ e $G(x)=1-\frac{x^2}{2}$. Ent\ao\ $F'(x)=-\sen x$ e $G'(x)=-x$. Como $\sen x< x$ para todo $x>0$,
      segue que $-\sen x>-x$ para todo $x>0$, ou seja, $F'(x)>G'(x)$ para todo $x>0$. Segue ent\ao\ da Proposi\cao\ 1, com $G$ no lugar
      de $f$ e $F$ no lugar de $g$ que $G(x)<F(x)$ para todo $x>0$, ou seja, $\cos x> 1-\frac{x^2}{2}$ para todo $x>0$, como
      quer\'iamos.

      {\sc Observa\cao}: Note que, neste caso (para estas fun\coes\ $F$ e $G$), o $b$ da Proposi\cao\ 1 pode ser qualquer n\'umero
      positivo, t\ao\ grande quanto se queira. \'E por isso que a conclus\ao\ da Proposi\cao\ vale para todo $x>0$. 

      \section*{Concavidade do gr\'afico de uma fun\cao}

      Seja $f:I\to\R$ uma fun\cao\ deriv\'avel definida no intervalo aberto $I$. Dizemos que o gr\'afico de $f$ \'e {\em c\^oncavo
        para cima} se as retas tangentes ao gr\'afico de $f$ ficam abaixo dele, exceto, naturalmente, no pr\'oprio ponto
      de tang\^encia. Levando em conta que, para cada $a\in I$, a reta tangente ao gr\'afico de $f$ no ponto $(a,f(a))$ tem
      equa\cao\ $y=f(a)+f'(a)(x-a)$, podemos re-expressar analiticamente essa condi\cao\ gr\'afica dizendo que $f$ tem gr\'afico
      c\^oncavo para cima se, 
\begin{equation}
\label{defin}
f(a)+f'(a)(x-a)<f(x), \mbox{para todo}\ a\in I\ \mbox{e para todo}\ x\in I, x\neq a.
\end{equation}

      Vamos provar que esta condi\cao\ \'e satisfeita se $f'$ for crescente em $I$ (isto \'e, se $f'(a)<f'(b)$ sempre que $a<b$,
      $a$ e $b$ pertencentes a $I$).

      Para cada $a\in I$, definamos a fun\cao\ $t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$. Como a fun\cao\ $t$ depende
      do $a$ escolhido, seria mais preciso denot\'a-la por $t_a$. Evitamos fazer isso para n\ao\ carregar demais a nota\cao.
      Temos que  $t(a)=f(a)$ (basta substituir $x=a$ na defini\cao\ de $t$ para ver isto). Al\'em disso,  $t'(x)=f'(a)$
      para todo $x$ (para ver isto, basta derivar em rela\cao\ a $x$ a express\ao\ que define $t$). Da\'i, se $x\in I$ e  $x>a$,
      ent\ao\ $t'(x)<f'(x)$ (pois $f'$ \'e crescente, por hip\'otese).
      Segue ent\ao\ da Proposi\cao\ 1 que $t(x)<f(x)$ para todo $x>a$, ou seja, que $f(a)+f'(a)(x-a)<f(x)$ se $x>a$.
      Se $x<a$, $t'(x)>f'(x)$, de novo porque $f'$ \'e crescente. Segue ent\ao\ da Afirma\cao\ (1), que ficou para o leitor provar,
      que $t(x)<f(x)$ se $x<a$. Isso conclui a demonstra\cao\ de que o gr\'afico de $f$ \'e c\^oncavo para cima no intervalo aberto
      $I$ se $f'$ for crescente em $I$.

      Vamos provar agora que vale tamb\'em a rec\'iproca, isto \'e, que se o gr\'afico de $f$ for c\^oncavo para cima, 
      ent\ao\ $f'$ \'e crescente.

      Para isso, sejam $a$ e $b$ pontos arbitr\'arios de $I$, $a<b$. Queremos mostrar que $f'(a)<f'(b)$.
      Aplicando  (\ref{defin}) com $b$ no lugar de $x$ e usando que $(b-a)>0$, vem:
\begin{equation}
\label{orfeu}
f'(a)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
\end{equation} 
Aplicando agora (\ref{defin}) com $b$ no lugar de $a$ e $a$ no lugar de $x$, vem $f(b)+f'(b)(a-b)<f(a)$. Usando que $(a-b)<0$, vem:
\begin{equation}
\label{orfeu2}
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}<f'(b).
\end{equation}
Combinando as desigualdades (\ref{orfeu}) e (\ref{orfeu2}), vem que $f'(a)<f'b)$, como quer\'iamos. 

Isto prova a seguinte proposi\cao.

{\bf Proposi\cao\ 2}: {\em Seja $f:I\to\R$ uma fun\cao\ deriv\'avel, definida no intervalo aberto $I$.
  Ent\ao\ $f$ tem gr\'afico c\^oncavo para cima $($isto \'e, vale $($\ref{defin}$))$ se, 
  e somente se, $f'$ \'e crescente.}

Decorre da Proposi\cao\ 2 que, se existir a derivada de segunda ordem $f''$ em $I$ e se $f''(x)>0$ para todo $x\in I$, ent\ao\
$f$ tem gr\'afico c\^oncavo para cima (pois $f''$ positiva implica $f'$ crescente). Mas  n\ao\ \'e necess\'ario que $f''$ seja
positiva para que $f$ tenha gr\'afico c\^oncavo para cima. Por exemplo, $f(x)=x^4$, $x\in \R$, tem gr\'afico c\^oncavo para cima,
apesar de $f''(0)$ ser igual a zero. 


Assim como definimos o que significa o gr\'afico de uma fun\cao\ ser c\^oncavo para cima, podemos definir de maneira completamente
an\'aloga o que significa o gr\'afico de uma fun\cao\ (definida em um intervalo aberto)  ser c\^oncavo para baixo.
Tamb\'em analogamente, demonstra-se que o gr\'afico de uma fun\cao\ $f$ \'e c\^oncavo para baixo se, e somente se, $f'$ for decrescente
e que $f''$ ser negativa \'e uma condi\cao\ suficiente para que o gr\'afico de $f$ ser c\^oncavo para baixo.


\section*{Pontos de Inflex\ao}

Pode-se falar em intervalos, contidos no dom\'inio de uma fun\cao, nos quais a fun\cao\ tem gr\'afico c\^oncavo para cima ou para baixo. Assim,
por exemplo, a fun\cao\ $f(x)=x^3$ tem gr\'afico c\^oncavo para cima no intervalo $(0,+\infty)$ e c\^oncavo para baixo em $(-\infty,0)$. 
Define-se ent\ao\ {\em ponto de inflex\ao} de $f:I\to \R$ como sendo um ponto $c\in I$ no qual $f$ \'e cont\'inua e tal que
o gr\'afico de $f$ tem concavidades diferentes (uma para baixo e outra para cima) para $x<c$ ou para $x>c$. O ponto $x=0$ \'e ponto
de inflex\ao\ de $f(x)=x^3$.

Se $c$ \'e um ponto de inflex\ao\ de $f:I\to\R$ e se $f''(c)$ existe, ent\ao\ necessariamente $f''(c)=$. Isto porque, de um lado de $c$, $f'$
\'e crescente, do outro, \'e decrescente. Logo $c$ \'e ponto de m\'inimo local ou de m\'aximo local de $f'$. Pelo teorema de Fermat, portanto,
a derivada de $f'$, que \'e $f''$, se anula em $c$. Mas esta n\ao\ \'e uma condi\cao\ suficiente. A segunda derivada de uma fun\cao\
pode se anular em um ponto que n\ao\ \'e ponto de inflex\ao; por exemplo, a segunda derivada de $f(x)=x^4$ se anula em $x=0$, mas $0$ n\ao\
\'e ponto de inflex\ao\ de $f$. 



\end{document}

