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\title{Teorema da Fun\c{c}\~ao Inversa} 
\author{Severino Toscano do Rego Melo\\USP\ \ --\ \ MAT 0146\ \  -- 2016} 

\renewcommand{\baselinestretch}{1.4}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\maketitle

O objetivo desta nota \'e mostrar que toda bije\cao\ deriv\'avel $f:I\to J$ entre dois intervalos abertos $I$ e $J$ tem inversa
deriv\'avel em todo ponto $b$ de $J$ que seja imagem de um ponto de $I$ no qual $f'$ n\ao\ se anule. Esta afirma\cao\ \'e uma consequ\^encia imediata
do Teorema 1 e do Teorema 2 enunciados abaixo. De fato, para verificar a hip\'otese da continuidade de $f^{-1}$ em $b$,
o que \'e necess\'ario fazer para que se possa aplicar o Teorema 2 \`a
$f$ dada, basta aplicar o Teorema 1.

Uma observa\cao\ preliminar de que necessitamos \'e a seguinte: se $f:I\to J$ \'e injetora e cont\'inua (ainda supondo que $I$ e $J$ s\ao\ intervalos),
ent\ao, ou $f$ \'e crescente ou \'e decrescente.
De fato, se existissem $a$, $b$ e $c$ em $I$ tais que $a<b<c$ e $f(c)<f(a)<f(b)$, seguiria do Teorema do Valor Intermedi\'ario que existiria $d$ entre
$b$ e $c$ tal que $f(a)=f(d)$ e, portanto, $f$ n\ao\ seria injetora. Por um argumento an\'alogo, v\^e-se que n\ao\ podem existir
$a$, $b$ e $c$ em $I$ tais que $a<b<c$ e que $f(a)<f(c)<f(b)$; nem que $f(b)<f(a)<f(c)$ ou $f(b)<f(c)<f(a)$. Logo, ou $f$ \'e crescente ou \'e
decrescente.

\noindent
{\bf Teorema 1}: Sejam $I$ e $J$ intervalos abertos e seja $f:I\to J$ uma fun\cao\ cont\'inua e bijetora. Ent\ao\ $f^{-1}:J\to I$ \'e cont\'inua.

\noindent
{\bf Teorema 2}: Sejam $I$ e $J$ intervalos abertos e seja $f:I\to J$ uma fun\cao\ bijetora.
Se $f$ for deriv\'avel em $a\in I$, se $f'(a)\neq 0$ e se $f^{-1}$ for cont\'inua em $b=f(a)$, ent\ao\ $f^{-1}$ \'e deriv\'avel em $b$.

\noindent
    {\sc Demonstra\cao\ do Teorema 1}: Sem perda de generalidade, podemos supor que $f$ \'e crescente (pois o argumento para o caso em que $f$
    \'e decrescente \'e an\'alogo). Dados $b\in J$ e $\epsilon >0$, seja $a=f^{-1}(b)$ e escolha um n\'umero
    positivo $\tilde{\epsilon}$ menor do que $\epsilon$ e pequeno o suficiente
    de modo que  $a+\tilde{\epsilon}$ e $a-\tilde{\epsilon}$ perten\c{c}am a $I$. Tome um $\delta>0$ que seja, simultaneamente, menor do que
    $f(a+\tilde{\epsilon})-b$ e do que $b-f(a-\tilde{\epsilon})$. Ent\ao, $|f^{-1}(y)-f^{-1}(b)|<\epsilon$ sempre que $|y-b|<\delta$. Isto prova que
    $f^{-1}$ \'e cont\'inua em $b$, como quer\'iamos. 
    

    
\noindent
    {\sc Demonstra\cao\ do Teorema 2}: Usando que $f'(a)\neq 0$, temos que
    \[
    \lim_{x\to a}\frac{x-a}{f(x)-f(a)}=\lim_{x\to a}\frac{1}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}= \frac{1}{\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}=  \frac{1}{f'(a)}.
    \]
    Usando que $f^{-1}$ \'e cont\'inua em $b$, temos que
    \[\frac{1}{f'(a)}=
    \lim_{x\to a}\frac{x-a}{f(x)-f(a)}=\lim_{y\to b}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{f(f^{-1}(y))-b}=\lim_{y\to b}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=(f^{-1})'(b).
    \]
    Isto prova que $(f^{-1})'(b)$ existe e \'e igual a $\frac{1}{f'(a)}$.


\end{document}

