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\title{Classifica\c{c}\~ao de Pontos Cr\'iticos} 
\author{USP\ \ --\ \ MAT 0147\ \ --\ \ 2016} 

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\maketitle

\section{Condi\cao\ necess\'aria para um ponto ser m\'inimo ou m\'aximo local}

Seja $f$ uma fun\cao\ de $D$ em $\R$, sendo $D$ um subconjunto qualquer de $\R^2$, $D\subseteq \R^2$.
Se $f(a.b)\leq f(x,y)$ para todo $(x,y)\in D$, dizemos que $(a,b)$ \'e um {\em ponto de m\'inimo} de $f$. Para enfatizar que $D$ \'e o dom\'inio de $f$,
podemos dizer tamb\'em que $(a,b)$ \'e ponto de m\'inimo de $f$ {\em em $D$}. Para enfatizar que a desigualdade \'e v\'alida para {\em todos} os pontos do
dom\'inio, dizemos \`as vezes que $(a,b)$ \'e um ponto de m\'inimo {\em global}. Analogamente, trocando-se $\leq$ por $\geq$, define-se
{\em ponto de m\'aximo}.

Se vale a desigualdade $f(a,b)<f(x,y)$ para todo $(x,y)\in D$, dizemos que $(a,b)$ \'e um ponto de m\'inimo {\em estrito} de $f$.
Analogamente define-se ponto de m\'aximo estrito.


Dizemos que $(a,b)\in D$ \'e um
{\em ponto de m\'inimo local} de $f$ se: (i) $(a,b)$ for um ponto interior de $D$ (isto \'e, se existir $\delta>0$ tal que a bola aberta de raio $\delta$ e
centro em $(a,b)$, $B_\delta(a,b)=\{(x,y);\,\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta\}$, esteja contida em $D$) e (ii) a restri\cao\ de $f$ a $B_\delta(a,b)$ tiver 
um ponto de m\'inimo em $(a,b)$ (isto \'e, se $f(a,b)\leq f(x,y)$ para todo $(x,y)\in B_\delta(a,b)$). Define-se {\em ponto de m\'aximo local} trocando-se $\leq$ 
por $\geq$ na \'ultima desigualdade.

Se vale a desigualdade $f(a,b)<f(x,y)$ para todo $(x,y)\in B_\delta(a,b)$, dizemos que $(a,b)$ \'e um ponto de m\'inimo local {\em estrito} de $f$.
Analogamente define-se ponto de m\'aximo local estrito.

Se $D$ for um {\em conjunto aberto}, isto \'e, se todos os pontos de $D$ forem pontos interiores a $D$, ent\ao\ todo ponto de m\'inimo (ou m\'aximo)
global \'e tamb\'em um ponto de m\'inimo (ou m\'aximo) local. Exemplos de conjuntos abertos s\ao\ o pr\'oprio $\R^2$, bolas abertas, semiplanos que n\ao\
incluam a reta da fronteira, ou quadrantes que n\ao\ incluam os semieixos da fronteira.

\begin{Prop}\label{Fermat}
  Se $f:D\to\R$, $D\subseteq\R^2$, tem um ponto de m\'inimo local em $(a,b)$ e se as derivadas parciais $f_x(a,b)$ e $f_y(a,b)$ existem, ent\ao\
  $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$.
\end{Prop}
\noindent{\tt Demonstra\cao}: Seja $\delta >0$ tal que $B_\delta(a,b)\subseteq D$ e $f(a,b)\leq f(x,y)$ para todo $(x,y)\in B_\delta(a,b)$ (tal $\delta$
existe porque $f$ tem um ponto de m\'inimo local em $(a,b)$). Se $-\delta<t<\delta$, ent\ao\ $(a+t,b)\in D$ e podemos portanto definir
$g(t)=f(a+t,b)$. Segue da hip\'otese de exist\^encia de $f_x(a,b)$ que $g'(0)$ existe:
\[
g'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{g(h)-g(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}=f_x(a,b).
\]
Por outro lado, $g$ \'e uma fun\cao\ definida no intervalo aberto $(-\delta,\delta)$ que tem um m\'inimo em $t=0$:
\[
g(0)=f(a,b)\leq f(a+t,b)=g(t),\ \ \mbox{para todo}\ \ t\in(-\delta,\delta).
\]
Aprendemos no C\'alculo 1 que, se uma fun\cao\ definida em um intervalo tem um ponto de m\'inimo no interior do intervalo e se a derivada dessa fun\cao\ existe
nesse ponto, ent\ao\ a derivada da fun\cao\ se anula nesse ponto. Este resultado \'e conhecido como o Teorema de Fermat. Aplicando o Teorema de Fermat a $g$,
conclu\'imos que $f_x(a,b)=g'(0)=0$, como quer\'iamos.

Analogamente, a fun\cao\ $\tilde{g}(t)=f(a,b+t)$, definida para $t\in(-\delta,\delta)$, tem um ponto de m\'inimo em $t=0$ e $\tilde g'(0)=f_y(a,b)=0$.
\cqd

Com pequenas adapta\coes, o mesmo argumento mostra tamb\'em que, se $(a,b)$ for um ponto de m\'aximo local de $f$ e se existirem $f_x(a,b)$ e $f_y(a.b)$, ent\ao\
$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$.

Um ponto onde as derivadas parciais de primeira ordem de uma fun\cao\ existem e s\ao\ nulas \'e chamado de {\em ponto cr\'itico} dessa fun\cao.
Um {\em ponto de sela} \'e um ponto cr\'itico situado no interior do dom\'inio da fun\cao\ que nem \'e ponto de m\'inimo local nem \'e ponto
de m\'aximo local.

As defini\coes\ e resultados desta se\cao\ se estendem da maneira previs\'ivel para fun\coes\ de $n$ vari\'aveis. Os resultados das pr\'oximas
se\coes, entretanto, requerem conceitos e ferramentas alg\'ebricos mais sofisticados para serem generalizados para fun\coes\ de $n$ vari\'aveis.

\section{O caso dos polin\^omios de grau 2}
\label{formas}

Um polin\^omio de grau 2 de duas vari\'aveis \'e uma fun\cao\ da forma
\[
f(x,y)=Ax^2+2Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F,\ \ (x,y)\in\R^2,
\]
$A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$ constantes; sendo que pelo menos uma das tr\^es constantes $A$, $B$ e $C$ \'e diferente de zero.
\'E f\'acil verificar que $f(0,0)=F$, $f_x(0,0)=D$ e $f_y(0,0)=E$. Um polin\^omio de grau 2 com um ponto cr\'itico em
$(0,0)$ \'e portanto da forma
\[
f(x,y)=f(0,0)+Ax^2+2Bxy+Cy^2.
\]

O principal objetivo desta se\cao\ \'e discutir que tipo de ponto cr\'itico \'e $(0,0)$, em fun\cao\ dos valores de $A$, $B$ e $C$. Queremos
decidir se $(0,0)$ \'e um m\'aximo local, um m\'inimo local, ou um ponto de sela. Para isso, devemos discutir o sinal de $f(x,y)-f(0,0)=Ax^2+2Bxy+Cy^2$.
Separando em casos, veremos que \'e poss\'ivel determinar completamente quando $Ax^2+2Bxy+Cy^2$ \'e positivo, negativo ou nulo.
Veremos que:
(i) em alguns casos $Ax^2+2Bxy+Cy^2$ \'e positivo para todo $(x,y)\neq(0,0)$, ou seja, $(0,0)$ \'e um ponto de m\'inimo global estrito;
(ii) em alguns casos $Ax^2+2Bxy+Cy^2$ \'e negativo para todo $(x,y)\neq(0,0)$, ou seja, $(0,0)$ \'e um ponto de m\'aximo global estrito;
(iii) em alguns casos $Ax^2+2Bxy+Cy^2\geq 0$ para todo $(x,y)$ e $Ax^2+2Bxy+Cy^2=0$ para todo $(x,y)$ sobre uma reta que passa pela origem e,
portanto, $(0,0)$ \'e um ponto de m\'inimo global n\ao-estrito;
(iv) em alguns casos $Ax^2+2Bxy+Cy^2\leq 0$ para todo $(x,y)$ e $Ax^2+2Bxy+Cy^2=0$ para todo $(x,y)$ sobre uma reta que passa pela origem e,
portanto, $(0,0)$ \'e um ponto de m\'aximo global n\ao-estrito;
(v) nos demais casos, $Ax^2+2Bxy+Cy^2$ assume tanto valores positivos quanto valores negativos em pontos arbitrariamente pr\'oximos de $(0,0)$,
ou seja, $(0,0)$ \'e um ponto de sela.

\subsection \  Suponhamos primeiro que $A\neq 0$. Ent\ao\ temos
\[
f(x,y)-f(0,0)=Ax^2+2Bxy+Cy^2=A\left(x^2+\frac{2B}{A}\,xy\right)+Cy^2=
A\left(x+\frac{B}{A}\,y\right)^2+Cy^2-\frac{B^2}{A}\,y^2,
\]
logo
\begin{equation}\label{quadratica}
f(x,y)-f(0,0)=A\left(x+\frac{B}{A}\,y\right)^2+\frac{AC-B^2}{A}\,y^2.
  \end{equation}

\subsubsection\ Segue de $(\ref{quadratica})$ que, se $AC-B^2>0$ e se $A>0$, ent\ao\ $f(x,y)-f(0,0)\geq 0$ para todo $(x,y)\in\R^2$, ou seja,
$(0,0)$ \'e um ponto de m\'inimo de $f$. Podemos ver tamb\'em que $(0,0)$ \'e um {\em m\'inimo estrito}, isto \'e, $(0,0)$ \'e o \'unico ponto de
m\'inimo de $f$; pois, se $f(x,y)=f(0,0)$, ent\ao\ $y=0$ e $x+\frac{B}{A}y=0$, logo $(x,y)=(0,0)$. Ou seja, $f(0,0)<f(x,y)$ para todo
$(x,y)\neq (0,0)$.

\subsubsection\ Analogamente, tamb\'em segue de $(\ref{quadratica})$ que, se $AC-B^2>0$ e se $A<0$, ent\ao\ $(0,0)$ \'e um ponto de m\'aximo
estrito de $f$, isto \'e, $f(0,0)>f(x,y)$ para todo $(x,y)\neq (0,0)$.

\subsubsection\ Novamente usando (\ref{quadratica}), temos que, para todo $t\in\R$,
\[
f(t,0)-f(0,0)=At^2\ \ \ \mbox{e}\ \ \ f(-\frac{B}{A}\,t,t)-f(0,0)=\frac{AC-B^2}{A}\,t^2.
\]
Da\'i segue que, se $AC-B^2<0$ e $A>0$, ent\ao\ $f(t,0)>f(0,0)$ para todo $t\neq 0$ e $f(-\frac{B}{A}t,t)<f(0,0)$ para todo $t\neq 0$; e, se
$AC-B^2<0$ e $A<0$, ent\ao\ $f(t,0)<f(0,0)$ para todo $t\neq 0$ e $f(-\frac{B}{A}t,t)>f(0,0)$ para todo $t\neq 0$. Conclu\'imos que, se
$AC-B^2<0$ e $A\neq 0$, ent\ao\ existem pontos $(x,y)$ arbitrariamente pr\'oximos de $(0,0)$ tais que $f(x,y)>f(0,0)$ e existem tamb\'em
(outros) pontos $(x,y)$ arbitrariamente pr\'oximos de $(0,0)$ tais que $f(x,y)<f(0,0)$. Ou seja, $(0,0)$ nem \'e ponto de m\'aximo local
nem de m\'inimo local de $f$. Ou seja, $(0,0)$ \'e um ponto de sela de $f$. 


\subsubsection\ Suponhamos agora que $A\neq 0$ e $AC-B^2=0$; da\'i:
\[
f(x,y)-f(0,0)=A\left(x+\frac{B}{A}\,y\right)^2.
\]
Se $A>0$, ent\ao\ $f(x,y)\geq f(0,0)$ para todo $(x,y)\in\R^2$, $f(x,y)=f(0,0)$ se e somente se $Ax+By=0$. Logo, $(0,0)$ \'e um ponto de
m\'inimo de $f$, assim como o s\ao\ todos os pontos de uma reta passando pela origem. Ou seja, $(0,0)$ \'e um ponto de m\'inimo n\ao-estrito.
Analogamente conclu\'imos que, se $A<0$ e $AC-B^2=0$, $(0,0)$ \'e um ponto de m\'aximo n\ao-estrito de $f$.

\subsection\ Suponhamos agora que $A=0$ e, portanto, $f(x,y)-f(0,0)=y(2Bx+Cy)$.

\subsubsection\ Se $A=0$ e $B\neq 0$, o plano $\R^2$ fica dividido em quatro setores por duas retas que passam pela origem:
$y=0$ (horizontal) e $x=-\frac{C}{2B}y$ (n\ao-horizontal). Sobre as retas, $f(x,y)=f(0,0)$; em dois dos setores, $f(x,y)>f(0,0)$;
nos outros dois setores, $f(x,y)<f(0,0)$. Logo, $(0,0)$ \'e um ponto de sela. Note que, neste caso, $AC-B^2=-B^2<0$.

\subsubsection\ Se $A=B=0$ e $C\neq 0$, ent\ao\ $f(x,y)-f(0,0)=Cy^2$. Se $C$ for positivo, $(0,0)$ \'e um ponto de m\'inimo n\ao-estrito de $f$.
Se $C$ for negativo, $(0,0)$ \'e um ponto de m\'aximo n\ao-estrito. Neste caso, $AC-B^2=0$.

\subsubsection\ Chegamos finalmente ao caso menos interessante: $A=B=C=0$. Ent\ao\ $f$ \'e uma fun\cao\ constante e todos
os pontos do plano s\ao\ pontos de m\'aximo e de m\'inimo. 

Vamos agora resumir algumas das nossas conclus\oes\ em um teorema.

\begin{Teo}\label{grau2}
  Seja $f:\R^2\to\R$ um polin\^omio de grau 2 possuindo um ponto cr\'itico em $(0,0)$,
  \[
f(x,y)=f(0,0)+Ax^2+2Bxy+Cy^2,
\]
e seja $\Delta=AC-B^2$. 
\begin{enumerate}
\item  Se $\Delta>0$ e $A>0$, ent\ao\ $(0,0)$ \'e um ponto de m\'inimo estrito de $f$.
\item Se $\Delta>0$ e $A<0$, ent\ao\ $(0,0)$ \'e um ponto de m\'aximo estrito de $f$.
\item Se $\Delta<0$, ent\ao\ $(0,0)$ \'e um ponto de sela.
  \end{enumerate}
  \end{Teo}

Como vimos na discuss\ao\ precedente, podemos dizer mais sobre polin\^omios de grau 2 do que est\'a dito no enunciado deste teorema.
Escolhemos colocar no enunciado deste teorema apenas as afirma\coes\ que podem ser generalizadas, substituindo ``m\'aximo'' e
``m\'inimo'' por ``m\'aximo local'' e ``m\'inimo local'', para fun\coes\ que possuem derivadas parciais de segunda ordem
cont\'inuas.

Ainda n\ao\ est\'a claro que constantes tomar\ao\ o lugar de $A$, $B$ e $C$ para fun\coes\ mais gerais. \'E aqui que entra
o C\'alculo (at\'e aqui a discuss\ao\ foi puramente alg\'ebrica). As constantes $A$, $B$ e $C$ s\ao\ m\'ultiplos das derivadas
de segunda ordem de $f$:
\[
A=\frac{f_{xx}(0,0)}{2},\ \ \ B=\frac{f_{xy}(0,0)}{2}=\frac{f_{yx}(0,0)}{2},\ \ C=\frac{f_{yy}(0,0)}{2}.
\]
Temos tamb\'em que
\[
\Delta=\frac{f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)-f_{xy}(0,0)^2}{4}.
  \]

  Podemos portanto dar o seguinte enunciado alternativo para o Teorema~\ref{grau2}:
  \begin{Teo}\label{cor1}
     Seja $f:\R^2\to\R$ um polin\^omio de grau 2 possuindo um ponto cr\'itico em $(0,0)$.
\begin{enumerate}
\item  Se $f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)-f_{xy}(0,0)^2>0$ e $f_{xx}(0,0)>0$, ent\ao\ $(0,0)$ \'e um ponto de m\'inimo estrito de $f$.
\item Se $f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)-f_{xy}(0,0)^2>0$ e $f_{xx}(0,0)<0$, ent\ao\ $(0,0)$ \'e um ponto de m\'aximo estrito de $f$.
\item Se $f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)-f_{xy}(0,0)^2<0$, ent\ao\ $(0,0)$ \'e um ponto de sela de $f$.
\end{enumerate}
\end{Teo}

  Seja agora $f$ um polin\^omio de grau 2 que tem um ponto cr\'itico em $(a,b)\neq (0,0)$. O polin\^omio $g(x,y)=f(x+a,y+b)$
  satisfaz $g_x(0,0)=f_x(a,b)=0$, $g_y(0,0)=f_y(a,b)=0$. Logo, $g$ tem um ponto cr\'itico em $(0,0)$. Para decidir que tipo
  de ponto cr\'itico de $f$ \'e $(a,b)$, devemos discutir o sinal de $f(x,y)-f(a,b)$. Como $f(x,y)-f(a,b)=g(x-a,y-b)-g(0,0)$,
  $(a,b)$ ser\'a ponto de m\'inimo estrito de $f$ se e somente se $(0,0)$ for um ponto de m\'inimo estrito de $g$; o mesmo valendo para 
  pontos de m\'aximo estritos ou pontos de sela. Para decidir que tipo de ponto cr\'itico de $f$ \'e $(a,b)$, podemos portanto
  aplicar o Teorema~\ref{cor1} para o polin\^omio $g$. Notando que
  \[
f_{xx}(a,b)=g_{xx}(0,0),\ \ \ f_{yy}(a,b)=g_{yy}(0,0)\ \ \ \mbox{e}\ \ \ f_{xy}(a,b)=g_{xy}(0,0), 
 \]
temos:

 \begin{Teo}\label{cor2}
     Seja $f:\R^2\to\R$ um polin\^omio de grau 2 possuindo um ponto cr\'itico em $(a,b)$.
\begin{enumerate}
\item  Se $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2>0$ e $f_{xx}(a,b)>0$, ent\ao\ $(a,b)$ \'e um ponto de m\'inimo estrito de $f$.
\item Se $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2>0$ e $f_{xx}(a,b)<0$, ent\ao\ $(a,b)$ \'e um ponto de m\'aximo estrito de $f$.
\item Se $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2<0$, ent\ao\ $(a,b)$ \'e um ponto de sela de $f$.
\end{enumerate}
\end{Teo}

  

  \section{O polin\^omio de Taylor de ordem 2 de uma fun\cao\ de 2 vari\'aveis}

O {\em polin\^omio de Taylor de ordem 1 em $(a,b)$} de uma fun\cao\ $f$ que possua derivadas parciais de primeira ordem
cont\'inuas em $(a,b)$ \'e o polin\^omio 
\[
P_1(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).
\]
J\'a nos deparamos que esse polin\^omio antes. Seu gr\'afico \'e o plano tangente  ao gr\'afico de $f$ em $(a,b)$. Ele
\'e uma ``boa aproxima\cao'' de $f$ na vizinhan\c{c}a de $(a,b)$ no seguinte sentido. Quando $(x,y)$ tende a $(a,b)$, a
diferen\c{c}a $f(x,y)-P_1(x,y)$ tende a zero mais rapidamente do que a dist\^ancia de $(x,y)$ a $(a,b)$, ou seja,
\[
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)-P_1(a,b)}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}=0.
\]
Fica como exerc\'icio para o leitor verificar que $P_1$ \'e o \'unico polin\^omio $P$ de grau menor do que ou igual a $1$ tal que
\[
P(a,b)=f(a,b),\ \ \ \ P_x(a,b)=f_x(a,b)\ \ \ \mbox{e}\ \ \ P_y(a,b)=f_y(a,b).
\]

Dada uma fun\cao\ $f$ que tenha derivadas parciais cont\'inuas de primeira e de segunda ordem em $(a,b)$, definimos o
{\em polin\^omio de Taylor de ordem 2 de $f$ em $(a,b)$} como sendo o \'unico polin\^omio $P$ de grau menor do que ou igual a 2 tal que
$P(a,b)=f(a,b)$, $P_x(a,b)=f_x(a,b)$, $P_y(a,b)=f_y(a,b)$, $P_{xx}(a,b)=f_{xx}(a,b)$, $P_{xy}(a,b)=f_{xy}(a,b)$ e $P_{yy}(a,b)=f_{yy}(a,b)$.
Fica como exerc\'icio para o leitor verificar que esse polin\^omio, que de agora em diante ser\'a denotado por $P_2$, \'e dado por
\[
P_2(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+\frac{1}{2}f_{xx}(a,b)(x-a)^2+f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+\frac{1}{2}f_{yy}(a,b)(y-b)^2.
\]

O polin\^omio $P_2$ \'e uma aproxima\cao\ melhor do que $P_1$ na vizinhan\c{c}a de $(a,b)$. Quando $(x,y)$ tende a $(a,b)$, a
diferen\c{c}a $f(x,y)-P_2(x,y)$ tende a zero mais rapidamente do que {\em o quadrado} da dist\^ancia de $(x,y)$ a $(a,b)$;
\[
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)-P_2(x,y)}{(x-a)^2+(y-b)^2}=0.
\]

N\'os n\ao\ iremos usar (nem demonstrar) este fato. Ele \'e enunciado aqui apenas para motivar os resultados da se\cao\ seguinte. Nela vamos provar
que, em alguns casos, se $f$ (e portanto tamb\'em $P_2$, pois as duas fun\coes\ t\^em as mesmas derivadas de primeira ordem em
$(a,b)$) tiver um ponto cr\'itico em $(a,b)$, ele ser\'a do mesmo tipo (m\'aximo local, m\'inimo local ou sela) tanto para $f$
quanto para $P_2$. 

\section{Condi\coes\ suficientes para um ponto cr\'itico ser m\'aximo, m\'inimo ou sela}


Dizemos que uma fun\cao\ $f:D\to\R$, $D\subseteq \R^2$, \'e de classe C$^2$ se $f$ possui derivadas
parciais de primeira e de segunda ordem cont\'inuas em $D$. Vamos agora estender o Teorema~\ref{cor2}\ para fun\coes\ de classe C$^2$,
trocando m\'aximo e m\'inimo globais por m\'aximo e m\'inimo locais na conclus\ao.
A ideia intuitiva \'e que as desigualdades que aparecem nas hip\'oteses e nas conclus\oes\ do
Teorema~\ref{cor2} s\ao\ suficientemente robustas para sobreviverem \`a pequena perturba\cao\ local que consiste em trocar $f$ por
seu polin\^omio de Taylor de ordem 2 em $(a,b)$.

Digo isso apenas para motivar. Demonstraremos o Teorema~\ref{classifica} abaixo usando apenas
a continuidade das derivadas e a discuss\ao\ do sinal de formas quadr\'aticas que fizemos na Se\cao~\ref{formas},
sem precisar apelar para estimativas do valor da diferen\c{c}a entre $f$ e seu polin\^omio de Taylor de ordem 2.

Vamos precisar tamb\'em do seguinte resultado sobre fun\coes\ de uma vari\'avel,
cuja demonstra\cao\ incluo aqui, para conveni\^encia do leitor mais interessado. 

\begin{Prop}\label{concavidade}
  Seja $g:(-\delta,\delta)\to\R$, $\delta>0$, uma fun\cao\ possuindo derivadas de primeira e de segunda ordem.
  Se $g'(0)=0$ e $g''(t)>0$ para todo $t\in(-\delta,\delta)$,
  ent\ao\ $g(0)<g(t)$, para todo $t\in(-\delta,\delta)$, $t\neq 0$.
    \end{Prop}
 \noindent
     {\tt Demonstra\cao}: Vamos provar que $g(t)-g(0)>0$ primeiro supondo $t>0$, depois supondo $t<0$.

     Se $0<t<\delta$, segue do Teorema do Valor M\'edio que existe $c$, $0<c<t$, tal que $g(t)-g(0)=g'(c)\,t$.
     Como a derivada de $g'$ \'e positiva em $(-\delta,\delta)$, $g'$ \'e crescente em $(-\delta,\delta)$.
     Como $c>0$, $g'(c)>g'(0)=0$. Como $t$ e $g'(c)$ s\ao\ positivos, $g(t)-g(0)=g'(c)\,t>0$.

     Se $-\delta<t<0$, segue do Teorema do Valor M\'edio que existe $c$, $t<c<0$, tal que $g(0)-g(t)=g'(c)(0-t)=-g'(c)\,t$.
     J\'a vimos que $g'$ \'e crescente em $(-\delta,\delta)$.
     Como $c<0$, $g'(c)<g'(0)=0$. Como $t$ e $g'(c)$ s\ao\ negativos, $g(t)-g(0)=g'(c)\,t>0$.\cqd
  
 \begin{Teo}\label{classifica}
   Seja $f:D\to\R$, $D\subseteq \R^2$ uma fun\cao\ de classe $C^2$. Suponha que $(a,b)$ \'e um ponto
   cr\'itico de $f$ (isto \'e, $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$) e que $(a,b)$ \'e um ponto interior de $D$.
\begin{enumerate}
\item  Se $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2>0$ e $f_{xx}(a,b)>0$, ent\ao\ $(a,b)$ \'e um ponto de m\'inimo local estrito de $f$.
\item Se $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2>0$ e $f_{xx}(a,b)<0$, ent\ao\ $(a,b)$ \'e um ponto de m\'aximo local estrito de $f$.
\item Se $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2<0$, ent\ao\ $(a,b)$ \'e um ponto de sela de $f$.
\end{enumerate}
\end{Teo}
 \noindent
     {\tt Demonstra\cao}: Vamos demonstrar primeiro a parte (1) do teorema. Porque $f_{xx}$, $f_{yy}$ e $f_{xy}$ s\ao\ cont\'inuas,
     segue da desigualdade $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)>0$ que existe $\delta>0$ tal que
     \begin{equation}
       \label{estimate}
f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-f_{xy}(x,y)^2 >0\ \ \mbox{e}\ \ f_{xx}(x,y)<0,\ \ \mbox{para todo}\ \ (x,y)\in B_\delta(a,b).
     \end{equation}
     Vamos provar que $f(x,y)>f(a,b)$ para todo $(x,y)\in B_\delta(a,b)$, $(x,y)\neq (0,0)$.

     Dado $(x,y)\in B_\delta(a,b)$, $(x,y)\neq (a,b)$,
     existem $t_0\in(-\delta,\delta)$, $t_0\neq 0$, e $\langle h,k\rangle\in\R^2$, com $h^2+k^2=1$, tais que $(x,y)=(a+th,b+tk)$. Mantendo
     $(x,y)$ e $\langle h,k\rangle$ fixos por um tempo, definamos $g(t)=f(a+th,b+tk)$, $t\in(-\delta,\delta)$.
     Note que, porque $|\!|\!\langle h,k\rangle\!|\!|=1$,
     a dist\^ancia de $(a+th,b+tk)$ a $(a,b)$, para todo $t\in(-\delta,\delta)$, \'e menor do que $\delta$,  ou seja, $(a+th,b+tk)\in B_\delta(a,b)$.

     Segue da regra da cadeia que, para
     todo $t\in(-\delta,\delta)$, temos
     \[
g'(t)\,=\,f_x(a+th,b+tk)\,h\,+\,f_y(a+th,b+tk)\,k
     \]
     e
     \[
g''(t)\,=\,f_{xx}(a+th,b+tk)\,h^2\,+\,2f_{xy}(a+th,b+tk)\,hk\,+\,f_{yy}(a+th,b+tk)\,k^2.
\]
Segue da hip\'otese de $(a,b)$ ser um ponto cr\'itico de $f$ que $g'(0)\,=\,f_x(a,b)\,h\,+\,f_y(a,b)\,k=0h+0k=0$. Para cada
$t\in(-\delta,\delta)$, sejam $A=f_{xx}(a+th,b+tk)$, $B=f_{xy}(a+th,b+tk)$ e $C=f_{yy}(a+th,b+tk)$. Os valores de $A$, $B$ e $C$ dependem
de $t$, mas n\ao\ vamos explicitar essa depend\^encia para n\ao\ sobrecarregar a nota\cao. Segue de (\ref{estimate}) que, para cada
$t\in(-\delta,\delta)$, $AC-B^2>0$ e $A<0$. Segue ent\ao\ da primeira parte do Teorema~\ref{grau2} aplicado \`a fun\cao\ $q(h,k)=Ah^2+2Bhk+Ck^2$ que
$g''(t)=Ah^2+2Bhk+Ck^2>0$, para todo $t\in(-\delta,\delta)$, $t\neq 0$.

Sabendo que $g'(0)=0$ e que $g''(t)>0$ para todo $t\in(-\delta,\delta)$, $t\neq 0$, conclu\'imos usando a Proposi\cao~\ref{concavidade} que
$g(t)>g(0)$, para todo $t\in(-\delta,\delta)$, $t\neq 0$. Em particular, $f(x,y)=g(t_0)>g(0)=f(a,b)$. Como o $(x,y)$ que tomamos no come\c{c}o
deste argumento era um ponto arbitr\'ario de $B_\delta (a,b)$, est\'a provado que $f(x,y)>f(a,b)$ para todo $(x,y)\in B_\delta (a,b)$, o
que demonstra a parte (1) do Teorema.

A demonstra\cao\ da parte (2) do teorema \'e completamente an\'aloga \`a da parte (1).
Pode ser um bom exerc\'icio para o leitor refazer os passos da demonstra\cao\ da parte (1) verificando as adapta\coes\ que devem
ser feitas para demonstrar a parte (2) (vai ser preciso tamb\'em mudar um pouquinho o enunciado e a prova da Proposi\cao~\ref{concavidade}).
Uma sa\'ida bem menos trabalhosa \'e apelar para o seguinte truque. Se $f$ satisfaz as hip\'oteses da parte (2) do teorema, ent\ao\
$\phi=-f$ satisfaz as hip\'oteses da parte (1). Logo, para todo $(x,y)\in B_\delta(a,b)$, $(x,y)\neq (a,b)$, temos $-f(a,b)=\phi(a,b)<\phi(x,y)=-f(x,y)$,
ou seja, $f(a,b)>f(x,y)$; o que demonstra a parte (2) do teorema.

Suponhamos agora que vale a hip\'otese da parte (3) do teorema que estamos demonstrando, $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2<0$.
Pela parte (3) do Teorema~\ref{grau2}, a fun\cao\ $q(h,k)=f_{xx}(a,b)h^2+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(a,b)k^2$ tem um ponto de sela em $(0,0)$.
Logo, existem $(h_1,k_1)$ e $(h_2,k_2)$ arbitrariamente pr\'oximos de $(0,0)$ tais que $q(h_1,k_1)<0$ e $q(h_2,k_2)>0$.
Podemos supor que as dist\^ancias de $(h_1,k_1)$ a $(0,0)$ e de $(h_2,k_2)$ a $(0,0)$ s\ao\ menores do que $1$,
o que garante que $(a+th_1,b+tk_1)$ e $(a+th_2,ab+tk_2)$ pertencem \`a bola $B_\delta(a,b)$ se $|t|<\delta$. Lembrando que
$B_\delta(a,b)$ est\'a contida no dom\'inio de $f$, podemos portanto definir, para $t\in(-\delta,\delta)$,
$g_1(t)=f(a+th_1,b+tk_1)-f(a,b)$ e $g_2(t)=f(a+th_2,b+tk_2)-f(a,b)$. Tal como na demonstra\cao\ da parte (1) do teorema, segue da regra da cadeia que
$g_1$ e $g_2$ possuem derivadas de primeira e de segunda ordem cont\'inuas em $(-\delta,\delta)$ e que
\[
g_1'(0)=g_2'(0)=0,\ \ \ g_1''(0)=q(h_1,k_1)<0\ \ \ \mbox{e}\ \ \ g_2''(0)=q(h_2,k_2)>0. 
\]
Como $g_1''$ e $g_2''$ s\ao\ cont\'inuas, $g_1''(t)<0$ e $g_2''(t)>0$ para todo $t$ em um intervalo aberto contendo $0$. Segue ent\ao\
(veja a Proposi\cao~\ref{concavidade}) que $g_1(t)=f(a+th_1,b+tk_1)-f(a,b)<0$ e $g_2(t)=f(a+th_2,b+tk_2)-f(a,b)>0$ para todo $t$ nesse intervalo
aberto que cont\'em $0$. Provamos
que existem pontos (da forma $(a+th_1,b+tk_1)$) arbitrariamente pr\'oximos de $(a,b)$ nos quais o valor de $f$ \'e menor do que $f(a,b)$ e
pontos (da forma $(a+th_2,b+tk_2)$) arbitrariamente pr\'oximos de $(a,b)$ nos quais o valor de $f$ \'e maior do que $f(a,b)$.
Ou seja, provamos que $(a,b)$ \'e um ponto de sela de $f$.     \cqd


    \noindent {\tt Observa\cao\ 1}. Se $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)>0$, ent\ao\ $f_{xx}(a,b)\neq 0$. Ou seja, se em um ponto cr\'itico
    $(a,b)$ for satisfeita a hip\'otese $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)>0$, ent\ao\ ou $(a,b)$ \'e um m\'inimo local estrito ou \'e
    um m\'aximo local estrito. Al\'em do mais, se essa hip\'otese for satisfeita, tamb\'em $f_{yy}(a,b)\neq 0$ e $f_{yy}(a,b)$ tem sinal
    igual ao de $f_{xx}(a,b)$. 

    \noindent
         {\tt Observa\cao\ 2}. Nada se pode afirma em geral quando $f$ tem um ponto cr\'itico em $(a,b)$ e $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)=0$.
         A fun\cao\ $f(x,y)=x^3y^3$ tem um ponto cr\'itico em $(0,0)$, $f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)-f_{xy}(0,0)=0$, e $f$ tem um ponto de sela
         em $(0,0)$. J\'a a fun\cao\ $g(x,y)=x^4+y^4$, tem um ponto cr\'itico em $(0,0)$, $g_{xx}(0,0)g_{yy}(0,0)-g_{xy}(0,0)=0$, e $g$
         tem um ponto de m\'inimo estrito em $(0,0)$

         
\noindent
    {\tt Observa\cao\ 3}. N\'os usamos na demonstra\cao\ acima a seguinte propriedade da forma quadr\'atica
    $q(h,k)=f_{xx}(a,b)h^2+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(a,b)k^2$: se $g(t)=f(a+th,b+tk)$, $g''(0)=q(h,k)$.
      %Alguns livros chamam a hessiana
      %de ``diferencial de segunda ordem de $f$'', e denotam $q$ por $d^2f$. O ``diferencial de primeira ordem'' $df$ \'e definido por
      %df(h,k)=f_x(a,b)h+f_y(a,b)k$.

  \noindent
      {\tt Exemplo}. O \'unico ponto cr\'itico de $f(x,y)=x^2+5y^2(1+x)^3$ \'e $(0,0)$, que \'e um m\'inimo local, mas n\ao\ \'e um
       m\'inimo global.

    
         
\end{document}

