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\title{Equa\c{c}\~ao do Plano Tangente} 
\author{USP\ \ --\ \ MAT 0147\ \ --\ \ 2016\\ Notas baseadas nas aulas de 21 e 23 de setembro} 

\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\maketitle

Seja $f(x,y)$ uma fun\cao\ que possui derivadas parcias no ponto $(a,b)$, que denotamos por $f_x(a,b)$ e $f_y(a,b)$. 

A reta $r$ descrita pelo sistema 
\begin{equation}\label{r}
 \left\{\begin{array}{l} z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)\\y=b\end{array}\right.
\end{equation} 
\'e tangente ao gr\'afico de $f$; mais precisamente, ela \'e tangente \`a curva de interse\cao\ do gr\'afico de $f$ com o
plano $y=b$. Esta reta n\ao\ \'e ``vertical'' (ou seja, n\ao\ \'e paralela ao eixo $z$) pois \'e tangente ao gr\'afico de uma fun\cao\ (de 
uma vari\'avel) deriv\'avel no ponto de tang\^encia.    

A reta $s$ dada por 
\begin{equation}\label{s}
\left\{\begin{array}{l} z=f(a,b)+f_y(a,b)(y-b)\\x=a\end{array}\right.
\end{equation} 
\'e tangente ao gr\'afico de $f$; mais precisamente, ela \'e tangente \`a curva de interse\cao\ do gr\'afico de $f$ com o
plano $x=a$. Pela mesma raz\ao\ de $r$, $s$ tamb\'em n\ao\ \'e vertical. 

As duas retas se cruzam no ponto $(a,b,f(a,b))$. Sendo concorrentes determinam um plano $\pi$, o \'unico plano que cont\'em 
as duas retas simultaneamente. A reta $r$ n\ao\ \'e vertical
e est\'a contida no plano vertical $y=b$. A reta $s$ n\ao\ \'e vertical e est\'a contida no plano vertical $x=a$. Al\'em disso, 
os planos $x=a$ e $y=b$ s\ao\ mutuamente ortogonais. Segue ent\ao\ que o plano $\pi$ n\ao\ \'e vertical.

Vamos agora determinar a equa\cao\ de $\pi$, usando dois m\'etodos diferentes. Depois discutimos uma quest\ao\ delicada:
$\pi$ \'e mesmo tangente ao gr\'afico de $f$, como insinuado pelo t\'itulo desta nota de aula? 

\subsection*{M\'etodo sem vetores}$\ $
\\
O plano $\pi$ cont\'em a interse\cao\ das retas $r$ e $s$, que \'e o ponto $(a,b,f(a,b))$. 
O plano $\pi$ tem portanto uma equa\cao\ do tipo
\[
A(x-a)+B(y-b)+C[(z-f(a,b)]=0,
\]
para certas constantes $A$, $B$ e $C$. Como o plano $\pi$ n\ao\ \'e vertical, temos $C\neq0$. 
Definindo $\alpha=-A/C$ e $\beta=-B/C$, essa equa\cao\ pode ser ent\ao\ re-escrita como
\begin{equation}
\label{pi}
z=f(a,b)+\alpha(x-a)+\beta(y-b). 
\end{equation} 
A reta $r$ \'e a interse\cao\ de $\pi$ com o plano $y=b$. Substituindo $y=b$ em (\ref{pi}), vemos que $r$ pode ent\ao\ 
ser descrita como o conjunto de solu\coes\ do sistema 
\[
 \left\{\begin{array}{l} z=f(a,b)+\alpha(x-a)\\y=b\end{array}\right.
\]
Comparando esse sistema com (\ref{r}), vemos que necessariamente teremos $\alpha=f_x(a,b)$.

Por um argumento an\'alogo, usando $s$ no lugar de $r$, conclu\'imos que $\beta=f_y(a,b)$. A equa\cao\ de $\pi$ \'e, 
portanto,
\begin{equation}
\label{plantan}
z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b). 
\end{equation}

\subsection*{M\'etodo usando produto vetorial} $\ $
\\
Lembrando que $f_x(a,b)$ \'e o coeficiente angular da reta tangente ao gr\'afico de $g(x)=f(x,b)$ no ponto $x=a$, vemos que o 
vetor $\vec{\mathbf{v}}=\langle 1,0, f_x(a,b)\rangle$ \'e paralelo \`a reta $r$. Analogamente, temos que o vetor
$\vec{\mathbf{u}}=\langle 0,1,f_y(a,b)\rangle$ \'e paralelo a $s$. O vetor $\vec{\mathbf{u}}\times\vec{\mathbf{v}}$ \'e portanto
perpendicular a $\pi$. Um c\'alculo simples mostra que 
\[
\vec{\mathbf{u}}\times\vec{\mathbf{v}}=\langle f_x(a,b),f_y(a,b),-1\rangle.
\]
A equa\cao\ do plano $\pi$, que passa por $(a,b,f(a,b))$ e \'e perpendicular a $\vec{\mathbf{u}}\times\vec{\mathbf{v}}$, 
\'e portanto
\[
z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b),
\]
como j\'a hav\'iamos conclu\'ido por outro m\'etodo. 

\subsection*{$\pi$ \'e mesmo tangente ao gr\'afico de $f$?} $\ $
\\
Se existir um plano que mere\c{c}a ser chamado de ``plano tangente'' ao gr\'afico de $f(x,y)$ no ponto $(a,b,f(a,b))$, ele com certeza
conter\'a as retas $r$ e $s$ definidas acima. Os c\'alculos que fizemos mostram portanto que, se existir um ``plano tangente'', a equa\cao\
(\ref{plantan}) ser\'a uma equa\cao\ desse plano. Para se concluir que o plano de equa\cao\ (\ref{plantan}) \'e de fato tangente ao gr\'afico de $f$,
uma hip\'otese mais forte do que a mera exist\^encia das derivadas parciais precisa ser feita: \'e preciso supor que $f$ seja ``diferenci\'avel''
em $(a,b)$, um conceito que ser\'a estudado nas pr\'oximas aulas. Para ``provar'' que, se $f$ \'e diferenci\'avel, ent\ao\ (\ref{plantan}) \'e
tangente ao seu gr\'afico vamos \'e preciso, antes de mais nada, traduzir em termos anal\'iticos a no\cao\ geom\'etrica de tang\^encia.

Vamos exemplificar isso em um caso particular: $f(x,y)=4-x^2-y^2$, $(a,b)=(1,1)$. Temos $f_x(x,y)=-2x$, $f_y(x,y)=-2y$, $f_x(1,1)=f_y(1,1)=-2$ e $f(1,1)=2$. 
Usando a f\'ormula geral (\ref{plantan}), vemos que o ``candidato'' a plano tangente a gr\'afico de $f$, $z=4-x^2-y^2$, \'e o plano $\pi$ de 
equa\cao\ $2x+2y+z=6$, ou seja, \'e o plano $\pi$ que passa pelo ponto $(1,1,2)$ e \'e perpendicular ao vetor $\langle 2,2,1 \rangle$. O que vamos fazer
para mostrar que $\pi$ \'e tangente ao gr\'afico de $f$ em $(1,1,2)$ \'e mostrar que qualquer curva deriv\'avel contida no gr\'afico de $f$ que 
passa em $(1,1,2)$ tem tangente perpendicular a $\langle 2,2,1 \rangle$ em $(1,1,2)$. Para tanto, consideremos uma curva parametrizada 
$(x(t),y(t),z(t))$ contida no gr\'afico de $f$ que passa em $(1,1,2)$. Sem perda de generalidade, digamos que $(x(0),y(0),z(0))=(1,1,2)$. Como
a curva est\'a no gr\'afico, as fun\coes\ de uma vari\'avel $x(t)$, $y(t)$ e $z(t)$ satisfazem
\[
z(t)=4-x(t)^2-y(t)^2.
\]
Essa identidade pode ser derivada usando a regra da cadeia do C\'alculo 1, o que nos leva a:
\[
z'(t)=-2x(t)x'(t)-2y(t)y'(t).
\]
Fazendo $t=0$, vem:
\[
z'(0)=-2x(0)x'(0)-2y(0)y'(0)=-2x'(0)-2y'(0),\ \ \mbox{ou seja}\ \ \langle 2,2,1\rangle\cdot\langle x'(0),y'(0),z'(0)\rangle=0,
\]
ou seja, o vetor tangente $\langle x'(0),y'(0),z'(0)\rangle$ \'e perpendicular ao vetor normal de $\pi$. 

Veremos mais tarde, usando a regra da cadeia para fun\coes\ de v\'arias vari\'aveis, que essa propriedade, exemplificada neste exemplo particular, 
\'e satisfeita por qualquer fun\cao\ diferenci\'avel.  

Uma condi\cao\ suficiente, mas n\ao\ necess\'aria, para que $f$ seja diferenci\'avel em $(a,b)$ \'e que as derivadas parciais de $f$
estejam definidas em uma vizinhan\c{c}a de $(a,b)$ e sejam cont\'inuas em $(a,b)$.

\end{document}

