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\pagestyle{empty}



\begin{document}

\centerline{\bf MAT 0146 - C\'alculo 1 para Economia} 

\centerline{\bf 2$^a$ Prova - 9 de maio de 2016}


\vskip1cm

\noindent {\bf Quest\ao\ 1} (1,5 pt). Calcule: \ \ (a) ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x\ln x-x^2)}$,\ \ \ \
(b) ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^x}{e^{x^2}}}$.

\noindent{\tt Solu\cao}: (a) Vamos usar que ${\displaystyle x\ln x-x^2=x^2\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)}$.
Usando a regra de l'Hospital (caso $\frac{\infty}{\infty}$), temos
${\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0}$ e, portanto,
${\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)=-1}$. Como ${\displaystyle \lim_{x\to\infty}x^2=\infty}$, segue que
\[
\lim_{x\to\infty}(x\ln x-x^2)=\lim_{x\to\infty}\left[x^2\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)\right]=-\infty.
\]
(b) Como ${\displaystyle \frac{x^x}{e^{x^2}}=\frac{e^{x\ln x}}{e^{x^2}}=e^{x\ln x-x^2}}$ e, como visto no item (a),
${\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x\ln x-x^2)=-\infty}$,
segue que
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{x^x}{e^{x^2}}=\lim_{x\to\infty}e^{x\ln x-x^2}=\lim_{y\to -\infty}e^y=0.
\]

\vskip1cm

\noindent {\bf Quest\ao\ 2} (1 pt). Mostre que $(1+x)^{1/3}<1+\frac{1}{3}x$, para todo $x>0$.

\noindent {\tt Solu\cao}: Sejam $f(x)=(1+x)^{1/3}$ e $g(x)=1+\frac{x}{3}$. Queremos mostrar que $f(x)<g(x)$ para todo $x>0$. Como
$f(0)=g(0)=1$, \'e suficiente mostrar que $f'(x)<g'(x)$ para todo $x>0$. Isto \'e simples de verificar: 
\[
\mbox{para todo}\ x>0,\ \mbox{temos}\ 
f'(x)=\frac{1}{3(1+x)^{2/3}}<\frac{1}{3}=g'(x),\ \mbox{pois}\  (1+x)^{2/3}>1.
\]


\noindent {\bf Quest\ao\ 3} (3 pts). Considere $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$. (a) Determine os intervalos em que $f'$
\'e positiva ou negativa. (b) Determine os intervalos em que $f''$ \'e positiva ou negativa. (c) Assinale no
gr\'afico dado na p\'agina~\pageref{Fig1} o ponto cr\'itico e o ponto de inflex\ao\ de $f$. (d) Determine o menor valor que $f(x)$
assume quando $x$ assume valores reais positivos.



\noindent {\tt Solu\cao}: (a) Temos $f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2}{x^2}(x^3-1)$, para todo $x\neq 0$. Da\'i, $f'(x)>0$ se $x>1$
(pois, nesse caso, $x^3-1>0$ e $x^2>0$) e $f'(x)<0$ se $x<1$ e $x\neq 0$ (pois, nesse caso, $x^3-1<0$ e $x^2>0$).
Assim, $f'$ \'e positiva no intervalo $(1,+\infty)$ e \'e negativa nos intervalos $(-\infty,0)$ e $(0,1)$.
\\
(b) Temos $f''(x)=2+\frac{4}{x^3}=\frac{2(x^3+2)}{x^3}$, $x\neq 0$. O \'unico ponto onde $f''$ se anula \'e, portanto,
$x=-\sqrt[3]{2}$. Da\'i, $f''(x)>0$ se $x>0$ (pois, nesse caso, $x^3+2$ e $x^3$ s\ao\ positivos) ou se $x<-\sqrt[3]{2}$
(pois, nesse caso, $x^3+2$ e $x^3$ s\ao\ negativos). E temos $f''(x)<0$ se $-\sqrt[3]{2}<x<0$
(pois, nesse caso, $x^3+2$ \'e positivo e $x^3$ \'e negativo). Assim, $f''$ \'e positiva nos intervalos $(-\infty,-\sqrt[3]{2})$
e $(0,+\infty)$ e \'e negativa em $(-\sqrt[3]{2},0)$.
\\
(c) O \'unico ponto cr\'itico de $f$ \'e $x=1$. O \'unico ponto de inflex\ao\ \'e $x=-\sqrt[3]{2}$. No ponto de inflex\ao, $f$ se
anula: ${\displaystyle f(-\sqrt[3]{2})=(-\sqrt[3]{2})^2+\frac{2}{-\sqrt[3]{2}}=2^{\frac{2}{3}}-2^{\frac{2}{3}}=0}.$
\\
(d) $f$ \'e descrescente em $(0,1]$ e \'e crescente em $[1,+\infty)$. Logo, $x=1$ \'e o ponto de m\'inimo de $f$
    em $(0,+\infty)$. O menor valor que $f$ assume em $(0,+\infty)$ \'e, portanto, $f(1)=1^2+\frac{2}{1}=3$.


\noindent {\bf Quest\ao\ 4} (2,5 pts). Determine a abscissa dos pontos da curva $x^3+xy^2=x^2-y^2$ que t\^em reta tangente
horizontal (veja a figura na p\'agina~\pageref{Fig2}).
\\{\tt Solu\cao}: Derivando implicitamente $y=y(x)$, vem:
\begin{equation}
  \label{implicita}
3x^2+y^2+2xyy'=2x-2yy'.
\end{equation}
Substituindo $y'=0$ nesta equa\cao, obtemos uma condi\cao\ necess\'aria para que a curva tenha tangente horizontal num ponto $(x,y)$:
\[
3x^2+y^2=2x; \ \ \mbox{ou seja}, \ \ y^2=2x-3x^2.
\]
Substituindo isto na equa\cao\ da curva, $x^3+xy^2=x^2-y^2$, vem:
\[
x^3+x(2x-3x^2)=x^2-(2x-3x^2);\ \mbox{ou seja},\ x^3+2x^2-3x^3=x^2-2x+3x^2.
\]
Ou seja, num ponto $(x,y)$ da curva em que a tangente seja horizontal, $x$ necessariamente satisfaz
\[
2x^3+2x^2-2x=0\ \ \Longleftrightarrow\ \ x(x^2+x-1)=0.
\]
Os valores de $x$ que satisfazem esta condi\cao\ necess\'aria s\ao\ $x=0$, $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ e $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
Para decidir quais desses ``candidatos" \,s\ao\ de fato pontos em que a tangente \`a curva \'e horizontal, podemos (ou, ao menos aqui, {\em devemos}) apelar para um argumento
gr\'afico. Pr\'oximo a $x=0$, vemos, na figura dada,
que a curva n\ao\ \'e o gr\'afico de uma fun\cao\ e, aparentemente, tem duas tangentes n\ao\ horizontais.
Vemos tamb\'em que a curva n\ao\ possui pontos de abscissa $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$. Os dois pontos, vis\'iveis no gr\'afico,
que t\^em tangente horizontal t\^em portanto abscissa $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ (que, ali\'as \'e um n\'umero maior do que $\frac{1}{2}$
e menor do que $1$, como se v\^e na figura).
\\{\tt Observa\cao\ adicional}:
Sem apelar para o gr\'afico, podemos provar que todos os pontos da curva t\^em abscissa $x$ satisfazendo $-1<x\leq 1$. De fato,
os pontos da curva satisfazem $(1+x)y^2=x^2(1-x)$. Como $y^2$ e $x^2$ nunca s\ao\ negativos,
segue que, ou $1-x=0$, ou $1-x$ e $1+x$ t\^em o mesmo sinal, ou seja, $-1<x<1$. 

\noindent {\bf Quest\ao\ 5} (2 pts). O custo de produ\cao
\footnote{Apenas a t\'itulo de motiva\cao: este problema modela a situa\cao\ em que o custo de produ\cao\
  por unidade de \'area do fundo da caixa \'e quatro vezes maior do que o das faces laterais.}
de uma caixa retangular sem tampa, cuja base \'e
um quadrado de lado $x$ e cujas faces laterais t\^em altura $y$, \'e dada por $C(x,y)=x^2+xy$. Deseja-se
minimizar o custo de uma tal caixa que tenha volume igual a $2$. Mostre que o m\'inimo \'e atingido
quando $y=2x$.
\\{\tt Solu\cao}: Como o volume, dado por $V=x^2y$, \'e igual a $2$, temos $y=2/x^2$ e, portanto, o custo \'e dado por
\[
C(x)=x^2+\frac{2}{x},\ x>0.
\]
Esta fun\cao\ foi estudada na Quest\ao\ 3. L\'a vimos que seu m\'inimo \'e atingido em $x=1$. Como $y=2/x^2$, segue que
$y=2$ quando $x=1$; ou seja, as dimens\oes\ da caixa que minimiza o custo satisfazem $y=2x$.

\newpage



\begin{figure}[b]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=6in]{Untitled-1.pdf}
  \end{center}
\label{Fig1}
  \caption{ }
\end{figure}


\begin{figure}[b]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=6in]{Untitled-3.pdf}
    \label{Fig2}
  \end{center}

  \caption{ }
\end{figure}

\end{document}
