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\pagestyle{empty}



\begin{document}

\centerline{\bf MAT 0147 - C\'alculo 2 para Economia - Turma 1 (diurno)} 

\centerline{\bf 2$^a$ Prova - 17 de outubro de 2016}

\noindent
    {\bf Quest\ao\ 1}. (2 pts) \\
    Mostre que a fun\cao\ $u(x,y)=(x^2+y^2)^{3/2}$ satisfaz a equa\cao\ diferencial
    $u_{xx}+u_{yy}=9u^{1/3}$.

    {\tt Solu\cao}: $u_x=\frac{3}{2}(x^2+y^2)^{1/2}2x=3x(x^2+y^2)^{1/2}$.
    \\
    $u_{xx}=3(x^2+y^2)^{1/2}+3x\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-1/2}2x=3(x^2+y^2)^{1/2}+3x^2(x^2+y^2)^{-1/2}$.
    
    Analogamente: $u_{yy}=3(x^2+y^2)^{1/2}+3y^2(x^2+y^2)^{-1/2}$.

    Logo:
    \[
    u_{xx}+u_{yy}=6(x^2+y^2)^{1/2}+3x^2(x^2+y^2)^{-1/2}+3y^2(x^2+y^2)^{-1/2}
    \]\[
    =6(x^2+y^2)^{1/2}+3(x^2+y^2)(x^2+y^2)^{-1/2}=9(x^2+y^2)^{1/2}=9u^{1/3}.
    \]


    \vskip1cm

    
\noindent
    {\bf Quest\ao\ 2.} (2 pts)
    Considere a fun\cao\ ${\displaystyle f(x,y)=\frac{2x^2y}{x^4+y^2}}$, $(x,y)\neq (0,0)$.

    \noindent
    (a) Esboce em uma figura os conjuntos de n\'ivel $\{(x,y);\,f(x,y)=k\}$, para $k=-1,0,1$.
\\
(b) Existe ${\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)}$? Justifique.

\noindent
    {\tt Solu\cao}: (a) Para $(x,y)\neq (0,0)$, temos:
    \[
    \frac{2x^2y}{x^4+y^2}=1\ \Longleftrightarrow\ y^2-2x^2y+x^4=0 \Longleftrightarrow\ (y-x^2)^2=0 \Longleftrightarrow\ y=x^2
    \]
    \[
    \frac{2x^2y}{x^4+y^2}=-1\ \Longleftrightarrow\ y^2+2x^2y+x^4=0 \Longleftrightarrow\ (y+x^2)^2=0 \Longleftrightarrow\ y=-x^2
    \]
    \[
    \frac{2x^2y}{x^4+y^2}=0\ \Longleftrightarrow\ 2x^2y=0 \Longleftrightarrow\ (x=0 \ \mbox{ou}\ y=0) 
    \]

    Logo $\{(x,y);\,f(x,y)=-1\}$ \'e a parab\'ola $y=-x^2$ menos a origem $(0,0)$; $\{(x,y);\,f(x,y)=0\}$ \'e a uni\ao\ dos eixos
    coordenados menos $(0,0)$; $\{(x,y);\,f(x,y)=1\}$ \'e a par\'abola $y=x^2$ menos $(0,0)$.

    (b) Se $(x,y)$ se aproximar de $(0,0)$ ao longo da par\'abola $y=x^2$, $f(x,y)$ tender\'a a $1$ (ser\'a na verdade constante
    e igual a $1$); enquanto que, se a aproxima\cao\ se der ao longo da par\'abola $y=-x^2$, $f(x,y)$ tender\'a a $-1$. Se o limite
    existisse e fosse igual a $L$, ter\'iamos $1=L=-1$, o que \'e absurdo. Logo, o limite n\ao\ existe.

    \vskip1cm
    

\noindent
    {\bf Quest\ao\ 3.} (3 pts)\\
    Seja $f(x,y)$ uma fun\cao\ que possui derivadas parciais de segunda ordem cont\'inuas.
    Defina $g(u,v)=f(u^2+v^2,2uv)$.
    Dado que $f_x(4,0)=f_y(4,0)=f_{xy}(4,0)=1$, calcule:
\ \ \ (a) $g_u(2,0)$,\ \ \  (b) $g_{uv}(2,0)$.
 
\noindent    
    {\tt Solu\cao}: Pela regra da cadeia, temos, para todo $(u,v)$:
    \[
    g_u(u,v)=f_x(u^2+v^2,2uv)\cdot 2u+f_y(u^2+v^2,2uv)\cdot 2v,
    \]
    \[
    g_{uv}(u,v)=[f_{xx}(u^2+v^2,2uv)\cdot 2v+f_{xy}(u^2+v^2,2uv)\cdot 2u]\cdot 2u
    \]
    \[
    +2f_y(u^2+v^2,2uv)+
    [f_{yx}(u^2+v^2,2uv)\cdot 2v+f_{yy}(u^2+v^2,2uv)\cdot 2u]\cdot 2v.
\]
Substituindo $(u,v)=(2,0)$, vem:
\[
g_u(2,0)=f_x(4,0)\cdot 4=4,
\]
\[
g_{uv}(2,0)=16f_{xy}(4,0)+2f_y(4,0)=18.
\]
    \vskip1cm

    
\noindent
    {\bf Quest\ao\ 4.} (3 pts)
    Considere a fun\cao\
    ${\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}
      {\displaystyle \frac{x^{10/3}}{x^2+y^2}}, & \mbox{se}\ (x,y)\neq (0,0)\\
      0,  & \mbox{se}\ (x,y)= (0,0)
      \end{array}\right.}$.

    \noindent
    (a) Calcule $f_x(0,0)$ e $f_y(0,0)$.
    \\
    (b) Mostre que $f$ \'e diferenci\'avel em $(0,0)$.
    \\
    (c) O gr\'afico de $f$ tem um plano tangente em $(0,0,0)$? Em caso afirmativo, qual \'e a sua equa\cao?

     
\noindent    
    {\tt Solu\cao}: (a) Como $f(x,0)=x^{4/3}$ para todo $x$, temos $f_x(x,0)=\frac{4}{3}x^{1/3}$ para todo $x$, logo $f_x(0,0)=0$.
    Como $f(0,y)=0$ para todo $y$, temos $f_y(0,y)=0$ para todo $y$, logo $f_y(0,0)=0$.

    \noindent
    (b) Temos $f(h,k)-[f(0,0)+f_x(0,0)h+f_y(0,0)k]=f(h,k)$. Logo, para provar que $f$ \'e diferenci\'avel em $(0,0)$ devemos provar que
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)}{(h^2+k^2)^{1/2}}=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{h^{10/3}}{(h^2+k^2)^{3/2}}=0.
\]
Temos:
\[
0\leq\left|\frac{h^{10/3}}{(h^2+k^2)^{3/2}}\right|=\left(\frac{h^2}{h^2+k^2}\right)^{3/2}|h|^{\frac{1}{3}}\leq |h|^{1/3}.
\]
Como $|h|^{1/2}$ tende a zero quando $(h,k)$ tende a zero, segue por confronto que
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\left|\frac{h^{10/3}}{(h^2+k^2)^{3/2}}\right|=0
\]
e, portanto,
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{h^{10/3}}{(h^2+k^2)^{3/2}}=0,
\]
como quer\'iamos.

Uma maneira alternativa de mostrar que $f$ \'e diferenci\'avel em $(0,0)$ \'e mostrar que existem $\epsilon_1(h,k)$ e $\epsilon_2(h,k)$,
ambas tendendo a zero quando $(h,k)$ tende a $(0,0)$, tais que
\[
f(h,k)-[f(0,0)+f_x(0,0)h+f_y(0,0)k]=h\,\epsilon_1(h,k)+k\,\epsilon_2(h,k).
\]
Temos
\[
f(h,k)-[f(0,0)+f_x(0,0)h+f_y(0,0)k]=\frac{h^{10/3}}{h^2+k^2}=h\,\frac{h^{7/3}}{h^2+k^2}+k\cdot 0.
\]
Basta ent\ao\ tomar
\[
\epsilon_1(h,k)=\frac{h^{7/3}}{h^2+k^2},\ \ \ \epsilon_2(h,k)=0
\]
e mostrar que $\epsilon_1(h,k)$ tende a zero quando $(h,k)$ tende a $(0,0)$. Isto segue da estimativa
\[
\left|\frac{h^{7/3}}{h^2+k^2}\right|=\frac{h^2}{h^2+k^2}|h|^{1/3}\leq |h|^{1/3}.
\]

Uma terceira maneira de fazer seria mostrando que as derivadas parciais $f_x$ e $f_y$ s\ao\ cont\'inuas em $(0,0)$.

\noindent
(c) Sim, o gr\'afico de $f$ tem um plano tangente em $(0,0,0)$, porque $f$ \'e diferenci\'avel em $(0,0)$ e $f(0,0)=0$. Como
$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$, a equa\cao\ do plano tangente \'e $z=0$.

\end{document}
