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\pagestyle{empty}



\begin{document}

\centerline{\bf MAT 0146 - C\'alculo 1 para Economia} 

\centerline{\bf 1$^a$ Prova - 4 de abril de 2016}

\vskip2cm

\noindent
    {\bf Quest\ao\ 1)} (2 pts) Calcule os limites:
    \begin{center}
      (a) ${\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x})}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
      (b) ${\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sen(x^2)}{x}}$
        \end{center}

    \noindent
        {\sc Solu\c{c}\~ao}: Para todo $x >0$, temos:
        \[
        \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x})\cdot(\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}=
        \frac{x+\sqrt{x}-x}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}=
        \]\[
        \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}=
            \frac{1}{\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}=
            \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1}
        \]
        Como ${\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0}$, vem:
        \[
\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}}+1}=\frac{1}{2}
\]

(b) Para todo $x\neq 0$, temos:
\[
\frac{\sen(x^2)}{x}=\frac{\sen(x^2)}{x^2}\cdot x
\]
Como
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sen{x^2}}{x^2}=\lim_{y\to 0}\frac{\sen(y)}{y}=1
\]
(o que se v\^e fazendo $y=x^2$ no primeiro limite), vem:
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sen(x^2)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sen(x^2)}{x^2}\cdot \lim_{x\to 0}x=1\cdot 0=0
\]

\vskip.8cm %\newpage
    
\noindent
    {\bf Quest\ao\ 2)} (2 pts) Derive:
    \begin{center}
      (a) ${\displaystyle f(x)=x\cdot[\sen(x^2)]^{10},\ \ x\in\R.}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
      (b) ${\displaystyle g(x)=\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2},\ \ x\neq 0.}$
        \end{center}

    \noindent{\sc Solu\c{c}\~ao}: (a) Aplicando a regra do produto e, em seguida, aplicando duas vezes a regra da cadeia, vem:
    \[
f'(x)=[\sen(x^2)]^{10}+x\cdot 10\cdot[\sen(x^2)]^9\cdot[\cos(x^2)]\cdot 2x=[\sen(x^2)]^{10}+20 x^2\cdot[\sen(x^2)]^9\cdot[\cos(x^2)]
    \]
    \\
    (b)
    Aplicando a regra do quociente e, para derivar o numerador, a regra da cadeia, vem:
    \[
    g'(x)=\frac{e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x^2}\cdot x^2-e^{-\frac{1}{x}}\cdot 2x}{x^4}=\frac{1-2x}{x^4}\cdot e^{-\frac{1}{x}}
    \]
    
    
%\vskip.8cm 
    

\newpage

\noindent
    {\bf Quest\ao\ 3)} (3 pts) (a) Determine os valores das constantes $a$ e $b$ que fazem com que a fun\cao\
    \[
    f(x)=\left\{\begin{array}{lll}
    ax^2+b&,&\mbox{se}\ x<1\\
    x^2-5x+6&,&\mbox{se}\ x\geq 1
    \end{array}\right.
    \]
    seja deriv\'avel em $x=1$.
    %\newpage

    \noindent
    (b) Com os valores de $a$ e $b$ encontrados no item (a), determine a equa\cao\ da reta tangente ao gr\'afico de $f$ no ponto de
    abscissa $x=1$ 
    \\
    (c) Fa\c{c}a uma figura em que constem o gr\'afico de $f$ e a reta tangente encontrada no item (b).


    \noindent{\sc Solu\c{c}\~ao}: (a) Sejam $g(x)=ax^2+b$ e $h(x)=x^2-5x+6$. A fun\cao\ $f$ ser\'a deriv\'avel em $x=1$ se, e somente se,
    $g(1)=h(1)$ e $g'(1)=h'(1)$. Como $g'(x)=2ax$ e $h'(x)=2x-5$, vemos que isto \'e equivalente a $a$ e $b$ satisfazerem o sistema
    ${\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}a+b&=&2 \\2a&=&-3 \end{array}\right.}$, ou seja ${\displaystyle a=-\frac{3}{2}}$ e
    ${\displaystyle b=\frac{7}{2}}$.

    \noindent (b) Como $f'(1)=h'(1)=-3$ e $f(1)=h(1)=2$, a equa\cao\ da reta tangente ao gr\'afico de $f$ no ponto $(1,f(1))=(1,2)$ \'e
    $y-2=-3(x-1)$, ou $y+3x=5$.
    
\vskip.8cm %\newpage
    
\noindent
{\bf Quest\ao\ 4)} (3 pts) Considere a fun\cao\ $f$ definida por ${\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{lll}
\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}&,&\mbox{se}\ x\neq 0\\0&,&\mbox{se}\ x=0
\end{array}\right.}$.
\\(a) Mostre que $f$ \'e cont\'inua em $x=0$.
\\(b) Mostre que $f$ \'e deriv\'avel em $x=0$, determinando o valor de $f'(0)$.
\\(c) Calcule $f'(x)$ para $x\neq 0$.
\\(d) Mostre que $f'$ \'e cont\'inua em $x=0$.

\noindent{\sc Solu\c{c}\~ao}: (b) Para todo $x\neq 0$, temos:
\[
\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}-0}{x}=\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2}=\frac{x^2+1-1}{x^2\cdot(\sqrt{x^2+1}+1)}
=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+1}.
\]
Da\'i:
\[
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+1}=\frac{1}{2}
\]
Segue da defini\cao\ de derivada que $f$ \'e deriv\'avel em $x=0$ e $f'(0)=\frac{1}{2}.$

\noindent (a) Sendo deriv\'avel em $x=0$, necessariamente $f$ \'e tamb\'em cont\'inua nesse ponto. Este argumento \'e suficiente para mostrar o que se pede.
Pode-se tamb\'em mostrar diretamente que ${\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)}$ (\'e esta a defini\cao\ de continuidade de $f$ no ponto $x=0$):
\[
\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}+1}=0=f(0)
\]

\noindent (c) Aplicando a regra do quociente, junto com a regra da cadeia para derivar o numerador,  temos:
\[
f'(x)=\frac{\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot x-(\sqrt{x^2+ 1}-1)}{x^2}=\frac{x^2-(x^2+1)+\sqrt{x^2+1}}{x^2\sqrt{x^2+1}}=
\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2\sqrt{x^2+1}},\ \mbox{se}\ x\neq 0.
\]

\noindent
(d) Multiplicando por $\sqrt{x^2+1}+1$ o numerador e o denominador da express\ao\ encontrada para $f'(x)$, vem:
\[
\lim_{x\to 0}f'(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2\sqrt{x^2+1}}
=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2\cdot(x^2+1+\sqrt{x^2+1})}
=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2+1+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{2}=f'(0),
\]
ou seja, $f'$ \'e cont\'inua em $x=0$.

\end{document}
