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\pagestyle{empty}



\begin{document}

\centerline{\bf MAT 0147 - C\'alculo 2 para Economia} 

\centerline{\bf 1$^a$ Prova - 31 de agosto de 2016}



\noindent
    {\bf Quest\ao\ 1}. (2 pts) Sejam $r_1$ e $r_2$ as retas parametrizadas, respectivamente, por
    \[
    \left\{\begin{array}{l}x=t\\y=2t\\z=t\end{array}\right., t\in\R,
    \ \ \ \ \ \ \ \mbox{e}\ \ \ \ \ \ \ 
     \left\{\begin{array}{l}x=s\\y=2-2s\\z=s\end{array}\right., s\in\R.
     \]
     (a) Mostre que $r_1$ e $r_2$ s\ao\ {\em concorrentes} (isto \'e, t\^em um ponto em comum).
     \\
     (b) Determine o cosseno do \^angulo agudo formado por $r_1$ e $r_2$.

     \noindent{\tt Solu\cao}: (a) Fazendo $t=\frac{1}{2}$ e $s=\frac{1}{2}$ obtemos o mesmo ponto, $(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})$,
     que pertence portanto \`a interse\cao\ de $r_1$ e $r_2$. (b) Os vetores diretores de $r_1$ e de $r_2$ s\ao, respectivamente,
     $\overrightarrow{\mathbf{v}_1}=\langle 1,2,1\rangle$ e 
     $\overrightarrow{\mathbf{v}_2}=\langle 1,-2,1 \rangle$. O cosseno do \^angulo agudo formado por $r_1$ e $r_2$ \'e igual a
     \[
     \frac{|\overrightarrow{\mathbf{v}_1}\cdot\overrightarrow{\mathbf{v}_2}|}
          {|\overrightarrow{\mathbf{v}_1}|\,|\overrightarrow{\mathbf{v}_2}|}=\frac{|1-4+1|}{(\sqrt{1+4+1})^2}
          =\frac{1}{3}.
     \]
     

%\newpage
    
\noindent
    {\bf Quest\ao\ 2.} (2 pts)
    \\
    Seja $\pi_1$ o plano que passa pelo ponto $(2,1,0)$ e \'e paralelo ao plano $\pi_2$
    de equa\cao\ $x+4y-3z=1$.
    \\(a) Determine a equa\cao\ de $\pi_1$.
    \\(b) Determine as coordenadas do ponto de interse\cao\ com $\pi_2$ da reta perpendicular a $\pi_2$ que passa por $(2,1,0)$. 

    \noindent{\tt Solu\cao}: (a) Sendo paralelos $\pi_1$ e $\pi_2$, e sendo $\langle 1,4,-3\rangle$ perpendicular a $\pi_2$,
    tem-se que  $\langle 1,4,-3\rangle$ \'e tamb\'em perpendicular a $\pi_1$.
    Assim, a equa\cao\ de $\pi_1$ \'e
    $x+4y-3z=d$, para alguma constante $d$. Determina-se o valor de $d$ impondo-se que o ponto $(2,1,0)$ satisfa\c{c}a a
    equa\cao: $2+4-0=d$. Assim, a equa\cao\ de $\pi_1$ \'e $x+4y-3z=6$. 
    \\
    (b) Qualquer reta perpendicular a $\pi_2$ \'e paralela ao vetor normal  $\langle 1,4,-3\rangle$. Assim,
    \[
\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\y=1+4t \\z=-3t\end{array}\right.,\ \ \ t\in\R,
\]
s\ao\ equa\coes\ param\'etricas da reta perpendicular a $\pi_2$ que passa por $(2,1,0)$. O ponto dessa reta que pertence ao
$\pi_2$ \'e o ponto da forma $(2+t,1+4t,-3t)$ que satisfaz a equa\cao\ de $\pi_2$:
\[
(2+t)+4(1+4t)-3(-3t)=1\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ 26t+6=1  \Longleftrightarrow\ \ \   t=-\frac{5}{26}.
\]
Ou seja, o ponto procurado \'e
\[
\left(2-\frac{5}{26},1-\frac{4\cdot 5}{26},\frac{3\cdot 5}{26}  \right)=\left(\frac{47}{26},\frac{6}{26},\frac{15}{26}   \right).
\]
   %\newpage
    

\noindent
    {\bf Quest\ao\ 3)} (3 pts) Considere a curva parametrizada
    ${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3t}{1+t^3}\\y=\frac{3t^2}{1+t^3}\end{array}\right.}$, $t\neq -1$.
    \\
    (a) Para que valores de $t$ a curva tem uma reta tangente vertical ou horizontal?
    \\
    (b) Determine a equa\cao\ da reta tangente \`a curva no ponto correspondente a $t=\frac{1}{2}$
    \\
    (c) Indique, sobre a figura dada, a reta cuja equa\cao\ foi determinada no item (b). 

 \noindent{\tt Solu\cao}: (a) Temos:
\[
x'(t)=\frac{3(1+t^3)-3t\cdot 3t^2}{(1+t^3)^2}=\frac{3-6t^3}{(1+t^3)^2}=0\ \ \Longleftrightarrow\ \ t=2^{-1/3}
\]
e
\[
y'(t)=\frac{6t(1+t^3)-3t^2\cdot 3t^2}{(1+t^3)^2}=\frac{t(6-3t^3)}{(1+t^3)^2}=0\ \ \Longleftrightarrow\ \ t=0\ \mbox{ou}\ t=2^{1/3}.
\]
Para $t=0$ ou $t=2^{1/3}$, a reta tangente \'e horizontal, pois $x'(0)\neq 0\neq x'(2^{1/3})$ e $y'(0)=0=y'(2^{1/3})$. 
Para $t=2^{-1/3}$, a reta tangente \'e vertical, pois $x'(2^{-1/3})=0$ e $y'(2^{-1/3})\neq 0$. 
\\
  {\scriptsize {\tt Observa\cao}: Ao contr\'ario do que sugere a figura, a curva n\ao\ tem uma reta tangente vertical no ponto $(0,0)$.
    O que se v\^e como uma ``chegada"  vertical da curva
\`a origem \'e o reflexo do fato de $x(t)$ e $y(t)$ tenderem a zero quando $t$ tende a $+\infty$ ou a $-\infty$}

\noindent (b) Temos ${\displaystyle \frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{t(2-t^3)}{1-2t^3}}$. O coeficiente angular da reta tangente \`a curva
em $(x(\frac{1}{2}),y(\frac{1}{2}))=(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$ \'e portanto
\[
\frac{y'(\frac{1}{2})}{x'(\frac{1}{2})}=\frac{\frac{1}{2}(2-\frac{1}{8})}{1-\frac{2}{8}}=\frac{5}{4}
\]
e a equa\cao\ da reta tangente \'e
\[
y-\frac{2}{3}=\frac{5}{4}\left(x-\frac{4}{3}\right)
\]
ou, equivalentemente, $5x-4y=4$.

\noindent
(c) A reta encontrada no item (b) tangencia a curva em um ponto que fica um pouco abaixo e um
pouco \`a esquerda do ponto de tangente vertical.

%\newpage



    
\noindent
    {\bf Quest\ao\ 4)} (3 pts) Esboce, em uma figura plana, a curva de interse\cao\ do hiperboloide el\'iptico
    $x^2+2y^2-z^2=1$ com: (a) o plano $z=1$, (b) o plano $x=1$.


    \noindent{\tt Solu\cao}:

    (a) A interse\cao\ da superf\'icie com o plano $z=1$ s\ao\ as solu\coes\ do sistema
\[
    \left\{\begin{array}{l}x^2+2y^2-z^2=1\\z=1\end{array}\right.
      \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2+2y^2=2\\z=1\end{array}\right.
      \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+y^2=1\\z=1\end{array}\right..
\]
Isto \'e uma elipse (``horizontal'') centrada na origem com semieixos $\sqrt{2}$ e $1$.

(b) A interse\cao\ da superf\'icie com o plano $x=1$ s\ao\ as solu\coes\ do sistema
\[
    \left\{\begin{array}{l}x^2+2y^2-z^2=1\\x=1\end{array}\right.
      \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2y^2=z^2\\x=1\end{array}\right.
      \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}z=y\sqrt{2}\ \ \ \mbox{ou}\ \ \ z=-y\sqrt{2}\\x=1\end{array}\right..
      \]
      Isto \'e um par de retas passando pela origem, com coeficientes angulares $\sqrt{2}$ e $-\sqrt{2}$.

      
    
\begin{figure}[b]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=6in]{HiperboloideEliptico.pdf}
  \end{center}

  \caption{ }
\end{figure}
    
\end{document}
