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\title{MAT0146  -  C\'alculo 2 para Economia}
\author{2$^\circ$ Semestre de 2016\\Lista de Problemas}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Geometria Anal\'itica}

{\bf 1)} Sejam $\pi_1$ e $\pi_2$ os planos de equa\coes, respectivamente, $x+y+2z=2$ e $2x-y+z=1$. Seja $r$ a reta formada pela interse\cao\ de
$\pi_1$ e $\pi_2$.
\\
(a) Determine equa\coes\ param\'etricas para $r$. 
\\
(b) Determine uma equa\cao\ do plano $\pi$ que cont\'em $r$ e o ponto $A=(0,0,-1)$.
\\
(c) Determine a interse\cao\ com $\pi$ da reta que passa pelo ponto $(1,0,1)$ e \'e perpendicular a $\pi$.
\\
(d) Calcule a dist\^ancia de $(1,0,1)$ a $\pi$. 

{\bf 2)} Para cada $\alpha\in[0,2\pi)$ sejam $\mathbf{r}$ e $\mathbf{s}$ as retas parametrizadas por
\[
\mathbf{r}(t)=(\sqrt{2}\cos\alpha, \sqrt{2}\,\sen\alpha,1)-t\sqrt{2}\langle\cos\alpha-\sen\alpha,\cos\alpha+\sen\alpha,\sqrt{2}\rangle
\]
e
\[ 
\mathbf{s}(t)=(\sqrt{2}\cos\alpha, \sqrt{2}\,\sen\alpha,1)-t\sqrt{2}\langle\cos\alpha+\sen\alpha,\sen\alpha-\cos\alpha,\sqrt{2}\rangle.
\]
(a) Mostre que as retas $\mathbf{r}$ e $\mathbf{s}$ est\ao\ contidas no hiperboloide de revolu\cao\ $z^2=x^2+y^2-1$
\\
(b) Mostre que, para cada ponto $(a,b,c)$ no hiperboloide $z^2=x^2+y^2-1$, existem \'unicos $\alpha\in[0,2\pi)$ e $t\in\R$ tais que $\mathbf{r}(t)=(a,b,c)$.
\\
(c) Mostre que, para cada ponto $(a,b,c)$ no hiperboloide $z^2=x^2+y^2-1$, existem \'unicos $\alpha\in[0,2\pi)$ e $t\in\R$ tais que $\mathbf{s}(t)=(a,b,c)$.
\\ {\tt Sugest\ao\ para o} (b) {\tt e o} (c): Resolva um sistema com $t$, $\cos\alpha$ e $\sen\alpha$ no lugar das vari\'aveis. Para mostrar que os valores 
encontrados para o que deveria ser $\cos\alpha$ e $\sen\alpha$ s\ao\ de fato o cosseno e um seno de algum $\alpha$, basta mostrar que a soma de seus 
quadrados \'e igual a $1$. 



{\bf \~2)} Mostre que por cada ponto do hiperboloide de revolu\cao\ $z^2=x^2+y^2-1$ passam duas retas contidas no hiperboloide.




{\bf 3)} Seja $C$ a curva determinada pela interse\cao\ do plano $y+z=2$ com o cilindro $x^2+y^2=1$ (veja figuras na Se\cao\ 13.1 do livro-texto). 
\\(a) Determine os pontos de $C$ que pertencem tamb\'em ao plano $\pi$ de equa\cao\ $x+y+z=\frac{3}{2}$.
\\(b) Determine o cosseno do \^angulo agudo formado pela reta tangente a $C$ e pela reta perpendicular a $\pi$ em cada um dos pontos encontrados no item (a).


\section*{Continuidade}

{\bf 4)} Determine o valor de $L$ que torna cont\'inua a fun\cao\
\[
f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}
{\displaystyle \frac{x^4}{x^4+y^6}}\,\sen\sqrt{x^2+y^2},&\mbox{se}\ (x,y)\neq(0,0)\\
L,&\mbox{se}\ (x,y)=(0,0)
\end{array}\right..
\]

{\bf 5)} Considere a fun\cao\
${\displaystyle 
  f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}
  {\displaystyle \frac{e^{-{x^{-2}}}\,y^2}{e^{-2x^{-2}}+y^4}},&\mbox{se}\ x\neq 0\\
  0,&\mbox{se}\ x=0
  \end{array}\right.
}$.

\noindent
(a) Mostre que, para todo inteiro positivo $m$, ${\displaystyle \lim_{t\to 0}f(t,t^m)=0}$.
\\
(b) Mostre que, para todo inteiro positivo $m$, ${\displaystyle \lim_{t\to 0}f(t^m,t)=0}$.
\\
(c) Mostre que $f(t,e^{-\frac{1}{2t^2}})=\frac{1}{2}$ para todo $t\neq 0$.
\\
(d) \'E $f$ cont\'inua em $(0,0)$?
\\
  {\tt Dica}: Segue da Regra de l'Hospital que, para todo inteiro positivo $m$, ${\displaystyle \lim_{s\to\infty}s^me^{-s}=0}$. Da\'i decorre que
  tamb\'em se anula o limite ${\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{e^{-t^{-2}}}{t^{2m}}}$.

  \section*{Derivadas Parciais}

{\bf 6)} Mostre que $f(x,y)=(x^2+y^2)^{2/3}$ possui derivadas parciais de primeira ordem cont\'inuas em $(x,y)=(0,0)$.
  
{\bf 7)} Mostre que ambas as fun\coes\ (a) $u(x,t)=e^{-t}\sen(x)$ e (b) $v(x,t)=t^{-1/2}e^{-x^2/4t}$ satisfazem a equa\cao\ diferencial parcial
$u_t=u_{xx}$.

{\bf 8)} Seja $f:\R\to\R$ uma fun\cao\ deriv\'avel. Mostre que todos os planos tangentes \`a superf\'icie ${\displaystyle z=xf\left(\frac{x}{y}\right)}$
passam pela origem.

{\bf 9)} Considere as fun\coes\ $F(x,y,z)=x^2+2y^2-z^2+3x$ e $G(x,y,z)=2x^2+4y^2-2z^2-5y$.\\
(a) Mostre que $\nabla F(x,y,z)$ e $\nabla G(x,y,z)$ n\ao\ s\ao\ paralelos se $z\neq 0$.\\
(b) Mostre que os hiperboloides $F(x,y,z)=1$ e $G(x,y,z)=0$ n\ao\ s\ao\ tangentes nos pontos em que se intersectam.

{\bf 10)} Considere o cone $z^2=3(x^2+y^2)$ e a fam\'ilia de esferas $x^2+y^2+(z-2\alpha)^2=\alpha^2$, $0\neq\alpha\in\R$.\\
(a) Mostre que cada uma dessas esferas \'e tangente ao cone em todos os pontos em que se intersectam.\\
(b) Fa\c{c}a uma figura que ilustre a afirma\cao\ do item (a).

\section*{M\'aximos e M\'inimos}

{\bf 11)} Mostre que a fun\cao\ $f(x,y)=e^{3x}+y^3-3ye^x$, $(x,y)\in\R^2$, possui um \'unico ponto cr\'itico, que \'e um m\'inimo local, e que n\ao\ \'e um 
m\'inimo global. 

{\bf 12)} (a) Encontre e classifique os pontos cr\'iticos de $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$, $(x,y)\in\R^2$.
\\(b) Mostre que $(1,1)$ \'e o ponto de m\'inimo de $f$ restrita a $\{(x,y);\,0\leq x\leq 2,\,0\leq y\leq 2\}$
\\(c) Para cada $a\geq 2$, mostre que $t^3+a^3-3at>0$ para todo $t>0$.
\\(d) Mostre que $(1,1)$ \'e o ponto de m\'inimo de  $f$ restrita  a $\{(x,y);\,x>0,\,y>0\}$. 

{\bf 13)} Dado $A>0$, considere a fun\cao\ ${\displaystyle f(x,y)=xy\,\frac{A-xy}{2(x+y)}}$ definida no dom\'inio 
\[D=\{(x,y);\,x>0,\,y>0,\,xy<A\}.\] 
(a) Mostre que $(\sqrt{\frac{A}{3}},\sqrt{\frac{A}{3}})$ \'e o \'unico ponto cr\'itico de $f$ em $D$. 
\\
(b) Mostre que ${\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0}$. 
\\{\tt Sugest\ao}: use que $x+y>\sqrt{x^2+y^2}$ se $x$ e $y$ forem positivos.
\\
(c) Conclua que, tomando $f$ como sendo igual a zero nos pontos da fronteira de $D$, obt\'em-se uma extens\ao\ cont\'inua de $f$ a
$\overline{D}=\{(x,y);\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,xy\leq A\}$
\\
(d) Mostre que, se $x+y=R>0$, ent\ao\ $f(x,y)\leq\frac{A^2}{8R}$. {\tt Sugest\ao}: Maximize $g(t)=t(A-t)$.
\\
(e) Dado $R>0$, considere $\overline{D}_R=\{(x,y)\in\overline{D};\,x+y\leq R\}$. Mostre que, se $R>\sqrt{2A}$, ent\ao\ 
$(\sqrt{\frac{A}{3}},\sqrt{\frac{A}{3}})$ \'e o ponto de m\'aximo de $f$ em $\overline{D}_R$. 
\\
(f) Conclua que $(\sqrt{\frac{A}{3}},\sqrt{\frac{A}{3}})$ \'e o ponto de m\'aximo de $f$ em $D$.

{\bf 14)} Dentre todas as caixas retangulares sem tampa com \'area $A$, encontre as dimens\oes\ daquela que tem o maior volume. 

\section*{Algumas Solu\c{c}\~oes (ou esbo\c{c}os de solu\c{c}\~oes)}

{\bf 1} (a)
\[
\left\{\begin{array}{l} x+y+2z=2\\2x-y+z=1\end{array}\right.
  \Longleftrightarrow
  \left\{\begin{array}{l} x+y=2-2z\\2x-y=1-z\end{array}\right.
 \Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l} 3x=3-3z\\y=2x+z-1\end{array}\right.
  \Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l} x=1-z\\y=1-z\end{array}\right.
\]
Logo, um ponto $(x,y,z)$ pertence \`a interse\cao\ de $\pi_1$ e $\pi_2$ se, e somente se,
\[
\left\{\begin{array}{l} x=1-t\\y=1-t\\z=t\end{array}\right.,\ \ \ t\in\R.
\]


(b) Fazendo $t=0$ e $t=1$ nas equa\coes\ param\'etricas de $r$, conclu\'imos que os pontos $B=(1,1,0)$ e $C=(0,0,1)$ pertencem ao plano $\pi$.
Dado que $A=(0,0,-1)$ tamb\'em pertece a $\pi$, temos que os vetores $\overrightarrow{\mbox{AB}}=\langle 1,1,1\rangle$ e
$\frac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{AC}}=\langle 0,0,1\rangle$ s\ao\ paralelos a $\pi$. Da\'i:
\[
\frac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{AC}}\times\overrightarrow{\mbox{AB}}=\overrightarrow{\mathbf{k}}\times
(\overrightarrow{\mathbf{i}}+\overrightarrow{\mathbf{j}}+\overrightarrow{\mathbf{k}})=\overrightarrow{\mathbf{j}}-\overrightarrow{\mathbf{i}}
=
\langle -1,1,0\rangle
\]
\'e perpendicular a $\pi$. A equa\cao\ de $\pi$ \'e, portanto, $-x+y=d$, para algum $d$. O valor de $d$ pode ser determinado impondo que o ponto
$A=(0,0,-1)$ satisfaz a equa\cao, logo $d=0$ e a equa\cao\ pedida \'e $x-y=0$.

(c) A reta perpendicular a $\pi$ que passa por $(1,0,1)$ \'e paralela ao vetor normal a $\pi$, $\langle 1,-1,0\rangle$. Suas equa\coes\ param\'etricas
s\ao, portanto,
\[
\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=-t\\z=1\end{array}\right.,\ t\in\R.
\]
O ponto da reta que pertence tamb\'em ao plano $\pi$ corresponde ao valor de $t$ tal que $1+t+t=0$, ou seja, a $t=-\frac{1}{2}$.
O ponto pedido \'e portanto $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$.

(d) Por defini\cao, a dist\^ancia de um ponto a um plano \'e a dist\^ancia do ponto ao p\'e da perpendicular ao plano que passa pelo ponto.
Logo, a dist\^ancia pedida \'e igual \`a dist\^ancia entre os pontos $(1,0,1)$ e $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$, que \'e igual a
\[
\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
\]


{\bf \~2)} Embora trabalhoso, \'e elementar verificar que, se $(a,b,c)$ \'e um ponto do hiperboloide, ou seja,
se $a^2+b^2-1=c^2$, ent\ao\ as retas
\[
\left\{\begin{array}{l}
x=a+(b-ac)t\\
y=b-(a+bc)t\\
z=c-(a^2+b^2)t
\end{array}\right.
\ \ \ \ \mbox{e}\ \ \ \
\left\{\begin{array}{l}
x=a+(b+ac)t\\
y=b-(a-bc)t\\
z=c+(a^2+b^2)t
\end{array}\right.
\]
est\ao\ contidas no hiperboloide. Al\'em disso, os vetores $\langle b-ac,\,-a-bc,\,-a^2-b^2\rangle$ e $\langle b+ac,\,-a+bc,\,a^2+b^2\rangle$
n\ao\ s\ao\ paralelos (logo, trata-se de fato de duas retas distintas).

{\bf 13)} (a) Os pontos de $(x,y)$ de $D$ satisfazem $x>0$ e $y>0$.  Da\'i, para $(x,y)\in D$, temos: 
\[
\left\{\begin{array}{l}
f_x(x,y)={\displaystyle \frac{y^2(A-2xy-x^2)}{2(x+y)^2}=0}
\\

\\
f_y(x,y)={\displaystyle \frac{x^2(A-2xy-y^2)}{2(x+y)^2}=0}
\end{array}\right.\ \Longleftrightarrow\
\left\{\begin{array}{l}
2xy+x^2=A
\\
2xy+y^2=A
\end{array}\right.\ \Longleftrightarrow\
\]
\[
\left\{\begin{array}{l}
2xy+x^2=A
\\
x^2=y^2
\end{array}\right.\ \Longleftrightarrow\
\left\{\begin{array}{l}
3x^2=A
\\
x=y
\end{array}\right.\ \Longleftrightarrow\ 
x=y=\sqrt{\frac{A}{3}}.
\]

(b) Primeiramente demonstremos a desigualdade da sugest\ao, mostrando que ela \'e equivalente a uma desigualdade que sabemos ser verdadeira.
Se $x>0$ e $y>0$, temos
\[
x+y>\sqrt{x^2+y^2}\ \Longleftrightarrow\ (x+y)^2>x^2+y^2 \ \Longleftrightarrow\ x^2+y^2+2xy>x^2+y^2\ \Longleftrightarrow\ 2xy>0
\]
(a \'ultima desigualdade \'e verdadeira para $x>0$ e $y>0$, logo a primeira tamb\'em \'e). Da\'i, para todo $x>0$ e $y>0$, temos:
\[
0<f(x,y)=xy\,\frac{A-xy}{2(x+y)}\,<\,\frac{xy(A-xy)}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\frac{y(A-xy)}{2}\,<\,
\frac{y(A-xy)}{2}\,<\,\frac{Ay}{2}.
\]
Segue por confronto, pois $\frac{Ay}{2}$ tende a $0$ quando $(x,y)$ tende a $(0,0)$, que
\[
\lim_{D\ni(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
\]
(Note que o limite de $\frac{xy(A-xy)}{2(x+y)}$ existe quando $(x,y)$ tende a $(0,0)$ {\em em} $D$, que foi escolhido como o dom\'inio de $f$.
Se $(x,y)$ tender a $(0,0)$ por pontos muito pr\'oximos da reta $x+y=0$, $\frac{xy(A-xy)}{2(x+y)}$ pode tender a $\infty$.
Tente visualizar o gr\'afico usando computador.) 

(c) Basta mostrar que, se $(x_0,y_0)$ \'e um ponto da fronteira de $D$, ent\ao\
\[
\lim_{D\ni(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=0.
\]
Provamos isso no item (b) para o caso em que $(x_0,y_0)=(0,0)$. Nos demais pontos, $x_0+y_0\neq 0$ e, ou $x_0y_0=0$ ou $x_0y_0=A$
(fa\c{c}a uma figura para entender por qu\^e). Logo
\[
\lim_{D\ni(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=
\lim_{D\ni(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{xy(A-xy)}{2(x+y)}=\frac{x_0y_0(A-x_0y_0)}{2(x_0+y_0)}=0.
\]

(d) O valor m\'aximo do polin\^omio $g(t)=t(A-t)$ ocorre quando $t=\frac{A}{2}$. Logo, $g(t)\leq g(\frac{A}{2})=\frac{A^2}{4}$, para
todo $t\in\R$. Substituindo $t$ por $xy$, vem que $xy(A-xy)\leq \frac{A^2}{4}$, para todo $(x,y)\in\R^2$. Quando $x+y=R>0$, temos
portanto
\[
f(x,y)=\frac{xy(A-xy)}{2(x+y)}=\frac{xy(A-xy)}{2R}\leq\frac{1}{2R}\,\frac{A^2}{4}=\frac{A^2}{8R},
\]
como quer\'iamos.

(e) Vimos no item (a) que o \'unico ponto cr\'itico de $f$ em $D$ \'e $P=(\sqrt{\frac{A}{3}},\sqrt{\frac{A}{3}})$, que pertence ao interior de
$\overline{D}_R$, pois $\sqrt{\frac{A}{3}}+\sqrt{\frac{A}{3}}<\sqrt{2A}<R$.
O conjunto $\overline{D}_R$ \'e fechado e limitado e a fun\cao\ $f$ \'e cont\'inua em $\overline{D}_R$. Logo, $f$ possui (pelo menos)
um ponto de m\'aximo em $\overline{D}_R$. Se um tal ponto estiver no interior de $\overline{D}_R$, ele ser\'a um ponto cr\'itico de $f$, ou seja, ser\'a
igual a $P$. O valor de $f$ em $P$ \'e
\[
f\left(\sqrt{\frac{A}{3}},\sqrt{\frac{A}{3}}\right)=\frac{A}{3}\,\frac{A-\frac{A}{3}}{4\sqrt{\frac{A}{3}}}=\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{3}}.
\]
Para provar que $P_0$ \'e o (\'unico) ponto de m\'aximo de $f$ em $\overline{D}_R$, basta portanto provar que $\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{3}}$ \'e
maior do que o m\'aximo de $f$ na fronteira de $\overline{D}_R$, que \'e o que provaremos em seguida, provando que o valor de $f$ em
um ponto arbitr\'ario da fronteira de $\overline{D}_R$ \'e menor do que $\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{3}}$.

Seja $(x_0,y_0)$ um ponto da fronteira de $\overline{D}_R$. Se $(x_0,y_0)$ for tamb\'em um ponto da fronteira de $D$, ent\ao\
$f(x_0,y_0)=0<\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{3}}$. Se $(x_0,y_0)$ n\ao\ for um ponto da fronteira de $D$, ent\ao\ $x_0+y_0=R$ e, pelo item (d),
$f(x_0,y_0)\leq\frac{A^2}{8R}$. Para provar que $P$ \'e o ponto de m\'aximo de $f$ em $\overline{D}_R$, basta portanto provar que
$\frac{A^2}{8R}$ \'e menor do que $\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{3}}$. Temos
\[
\frac{A^2}{8R}<\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{3}}\ \Longleftrightarrow\ \frac{A^4}{64\,R^2}<\frac{A^3}{108}
\ \Longleftrightarrow\ R^2>\frac{27\,A}{16}.
\]
Esta \'ultima desigualdade \'e verdadeira pois, por hip\'otese, $R^2>2A$ e $2$ \'e maior do que $27/16$. Logo,
$\frac{A^2}{8R}<\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{3}}$, como quer\'iamos.

(f) Seja $(x,y)$ um ponto qualquer de $D$, distinto de $P$. Para $R$ suficientemente grande, $(x,y)\in\overline{D}_R$. Segue do item (e) que
\[
f(x,y)<f\left(\sqrt{\frac{A}{3}},\sqrt{\frac{A}{3}}\right)=\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{3}},
\]
como quer\'iamos.
\end{document}



