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\title{Defini\c{c}\~ao de Integral Definida} 
\author{USP\ \ --\ \ MAT 0146\ \ --\ \ 2016} 

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\maketitle


Seja $f:[a,b]\to\R$ uma fun\cao\ cont\'inua. Para cada inteiro positivo $n$, subdividimos o intervalo $[a,b]$ em $n$ subintervalos de igual
comprimento com extremidades nos pontos $a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b$, $x_i=a+\frac{(b-a)i}{n}$, $0\leq i\leq n$. Sejam $c_i$ e $d_i$, respectivamente,
pontos de m\'aximo e de m\'inimo de $f$ em $[x_{i-1},x_i]$, $1\leq i\leq n$; isto \'e, $c_i$ e $d_i$ s\ao\ pontos de $[x_{i-1},x_i]$ tais que
$f(c_i)\leq f(x)\leq f(d_i)$ para todo $x\in[x_{i-1},x_i]$ (esses pontos $c_i$ e $d_i$ existem, pois toda fun\cao\ con\'inua em um intervalo
fechado tem ponto de m\'aximo e ponto de m\'inimo). Denotando por $\Delta x$ o comprimento dos intervalos $[x_{i-1},x_i]$, definimos
\[
s_n=\sum_{i=0}^{n}f(c_i)\Delta x\ \ \ \mbox{e}\ \ \ S_n=\sum_{i=0}^{n}f(d_i)\Delta x.
\]



{\bf Teorema}: {\em Existem e s\ao\ iguais os limites} ${\displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n}$ e ${\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n}$.


Por defini\cao, a {\em integral de $f$
  no intervalo} $[a,b]$ \'e o n\'umero real ${\displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n= \lim_{n\to\infty} S_n}$. Este n\'umero \'e  denotado por
${\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx}$.

%\begin{center}$\cdots\ \ \ \Diamond\ \ \ \cdots$ \end{center}


No caso em que $f(x)\geq 0$ para todo $x\in[a,b]$, $s_n$ mede a \'area de uma uni\ao\ finita de
  ret\^angulos contidos na regi\ao\ $R=\{(x,y);$ $a\leq x\leq b$ e $0\leq y\leq f(x)\}$ e $S_n$ mede a \'area de uma uni\ao\ finita de
  ret\^angulos que cont\'em a regi\ao\ $R$. Assim, se $A$ \'e a ``\'area'' (seja l\'a o que isso queira dizer) da regi\ao\ $R$, ent\ao\
  ${\displaystyle s_n\leq A\leq S_n}$; da\'i, ${\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n\leq A\leq \lim_{n\to\infty}S_n}$; portanto,
\[
\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}S_n=\int_a^bf(x)\,dx=A.
\]
Em resumo, a \'area da regi\ao\ abaixo do gr\'afico de $f$
  e acima do eixo dos $x$ \'e medida pela integral de $f$ em $[a,b]$, {\tt no caso em que $f$ assume apenas valores n\ao-negativos}. 


%\begin{center} $\cdots\ \ \ \Diamond\ \ \ \cdots$ \end{center}

Para cada $i$ entre $1$ e $n$, podemos escolher arbitrariamente pontos (chamados {\em pontos amostrais}) $x_i^*$ em cada intervalo $[x_{i-1},x_i]$; isto \'e,
os pontos amostrais $x_i^*$ s\ao\ tais que $x_{i-1}\leq x_i^*\leq x_i$. Temos, portanto, $f(c_i)\leq f(x_i^*)\leq f(d_i)$ para cada $i$. Somando em $i$, vem:
\[
s_n\leq\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x\leq S_n.
\]
Por confronto, segue que
\begin{equation}
  \label{amostral}
\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x.
\end{equation}


Mais geralmente, se subdividirmos o intervalo $[a,b]$ em $n$ subintervalos de comprimentos n\ao-ne\-ces\-sa\-ria\-men\-te iguais, com extremidades em
$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$, se escolhermos pontos amostrais $x_i^*$ em cada subintervalo $[x_{i-1},x_i]$, podemos formar a {\em soma de Riemann}
\[
S(x_0,x_1,\cdots,x_n;x_1^*,\cdots,x_n^*)=\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i \ \ (\Delta x_i=x_i-x_{i-1}). 
\]
Tamb\'em \'e verdade que essas somas tendem \`a integral de $f$ em $[a,b]$, {\tt desde que} o tamanho m\'aximo dos subintervalos fique arbitrariamente
pequeno. Mais precisamente, pode-se demonstrar que, para todo $\epsilon >0$, existe $\delta >0$ tal que
\[
\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i<\delta\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left|\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i-\int_a^bf(x)\,dx\right|<\epsilon.
\]

\section*{O Teorema Fundamental do C\'alculo}

Seja $f:[a,b]\to\R$ cont\'inua, seja $F$ uma primitiva de $f$, tamb\'em definida em $[a,b]$, isto \'e, $F'(x)=f(x)$, para todo $x\in[a,b]$.
Considere a {\em parti\cao} de $[a,b]$ dada por $a=x_0<x_1<x_ 2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$. Aplicando o Teorema do Valor M\'edio, para cada $i$
entre $1$ e $n$, \`a fun\cao\ $F$ no intervalo $[x_{i-1},x_i]$, conclu\'imos que existem $x_i^*\in[x_{i-1},x_i]$ tais que
\[
\frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=F'(x_i^*)=f(x_i^*)
\]
(a primeiras destas igualdades vem do TVM e a segunda vem da hip\'otese $F'=f$). Segue da\'i (com $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$) que
\[
\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i=\sum_{i=1}^{n}\frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}[F(x_i)-F(x_{i-1})].
\]
Esta \'ultima soma \'e uma daquelas ``somas telesc\'opicas'' que podem ser simplicadas e virar uma soma com apenas dois termos. Usando
que $x_0=a$ e $x_n=b$, vem, portanto,
\[
\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i=[F(x_n)-F(x_{n-1})]+\cdots+[F(x_2)-F(x_1)]+[F(x_1)-F(x_0)]=F(b)-F(a).
\]
Em outras palavras, dada qualquer parti\cao\ do intervalo $[a,b]$, \'e sempre poss\'ivel escolher pontos amostrais de modo que a
soma de Riemann ${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i}$ seja igual a $F(b)-F(a)$. Ou seja a sequ\^encia do lado direito da
igualdade (\ref{amostral}) \'e constante e igual a $F(b)-F(a)$; logo o limite do lado direito de (\ref{amostral}) \'e igual a $F(b)-F(a)$.
Isto prova
\footnote{Isto prova o TFC desde que aceitemos como verdadeira a exist\^encia da integral de uma fun\cao\ cont\'inua, tal como definimos aqui.}
uma das vers\oes\ do Teorema Fundamental do C\'alculo:
\begin{equation}\label{TFCprim}
\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a),\ \ \ f\ \mbox{cont\'inua em}\ [a,b],\ F'=f.
\end{equation} 

A outra vers\ao\ do TFC diz que, se $f:I\to\R$ \'e uma fun\cao\ cont\'inua definida no intervalo $I$ e se $a\in I$, a fun\cao\
definida por ${\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\,dt}$, $x\in I$, \'e deriv\'avel e $F'=f$. Este teorema \'e demonstrado na Se\cao\ 5.3 (da
sexta edi\cao) do Stewart. Isto prova, em particular, que toda fun\cao\ cont\'inua tem uma primitiva. A vers\ao\ do TFC que n\'os
demonstramos acima pode ser obtida como consequ\^encia de (\ref{TFCprim}). Isso tamb\'em est\'a feito na Se\cao\ 5.3 do Stewart. 

\end{document}

