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\title{MAT0146  -  C\'alculo 1 para Economia}
\author{1$^\circ$ Semestre de 2016\\Lista de Problemas}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Revis\~ao}

{\bf 1)} Determine os valores de $x$ que satisfazem: (a) $|3-8x|\leq 5$, (b) $|x^2-2|\leq 1$.
\\{\sc Respostas}: (a) $\{x;\,-\frac{1}{4}\leq x\leq 1\}$. (b)  $\{x;\,-\sqrt{3}\leq x\leq -1$ ou $1\leq x\leq\sqrt{3}\}$

{\bf 2)} Esboce os gr\'aficos das fun\coes: (a) $f(x)=|3-8x|$, (b) $g(x)=|x^2-1|$. Tente vizualizar nesses gr\'aficos as respostas da Quest\ao\ 1.

{\bf 3)} Resolva as equa\coes: (a) $|x+2|=\sqrt{4-x}$, (b) $x^2-2|x|-3=0$.
\\{\sc Respostas}: (a) $x=0$ ou $x=-5$. (b) $x=3$ ou $x=-3$. 

{\bf 4)} Esboce os gr\'aficos das fun\coes: (a) $f(x)=|x+2|$, (b) $g(x)=\sqrt{4-x}$, (c) $h(x)=x^2-2|x|-3$. Tente vizualizar nesses gr\'aficos as respostas
da Quest\ao\ 3 .

{\bf 5)} Seja ${\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}}$, sendo $a$, $b$, $c$ e $d$ constantes e $c\neq 0$. Para todo $x\neq\frac{a}{c}$, mostre que $f(f(x))=x$.  

{\bf 6)} Esboce os gr\'aficos de: (a) $y=x^2+1$, (b) $y=(x+3)^2$, (c) $y=3-(x+1)^2$, (d) $y=2-(x+2)^2$. 

{\bf 7)} Mostre que o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $(x_0,\frac{1}{x_0})$ e $(x_0+h,\frac{1}{x_0+h})$ \'e igual a $-\frac{1}{x_0(x_0+h)}$. 

\section*{Regras de Deriva\c{c}\~ao}

{\bf 8)} Determine $a$ e $b$ de modo que ${\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}ax^2+bx+c,\ \mbox{se}\ x<1\\
x^2-5x+6,\ \mbox{se}\ x\geq 1\end{array}\right.}$ seja deriv\'avel em todo $x\in\R$ e satisfa\c{c}a $f'(0)=0$. 
\\{\sc Respostas}: (a) $a=-\frac{3}{2}$, $b=0$, $c=\frac{7}{2}$.

{\bf 9)} Determine $a$ e $b$ de modo que ${\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}ax+b,\ \mbox{se}\ x<1\\                                                           
1/x,\ \mbox{se}\ x\geq 1\end{array}\right.}$ seja deriv\'avel em $x=1$. Quanto vale, ent\ao, $f(0)$?
\\{\sc Respostas}: $a=-1$, $b=0$ e $f(0)=2$.

{\bf 10)} Mostre que $f(x)=\cos\sqrt{|x|}$ n\~ao\ \'e deriv\'avel em $x=0$ e que ${\displaystyle f'(x)=-\frac{\sqrt{|x|}\cdot\sen\sqrt{|x|}}{2x}}$ se $x\neq 0$.

{\bf 11)} Seja $f(x)=|x|^3$. Mostre que $f'(x)=3x|x|$ e $f''(x)=6|x|$.

\section*{Deriva\cao\ Impl\'icita}

{\bf 12)} Encontre as coordenadas dos pontos da curva $2(x^2+y^2)^2=25(x^2-y^2)$ que possuem reta tangente horizontal (esta curva \'e a ``lemniscata''
do problema 3.5.29 do Stewart, sexta edi\cao; vejam l\'a a figura).

{\bf 13)} Mostre que a curva $y^2 =5x^4-x^2$ n\ao\ possui reta tangente que seja paralela \`a reta $y=x$ (esta \'e a ``curva de Eudoxo''; pus uma figura dela no site
do curso).

{\bf 14)} A curva $y^2 =x^3+3x^2$ \'e chamada de ``curva de Tschirnhausen'' e h\'a uma figura dela no site do curso. (a) Mostre que ela
possui duas retas tangentes paralelas \`a reta $y=x$. (b) Ache as equa\coes\ das retas tangentes a ela na origem
(para isso, talvez seja necess\'ario explicitar, de duas maneiras, $y$ como fun\cao\ de $x$ e usar a defini\cao\ de derivada).

{\bf 15)} A curva $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ \'e chamada de ``astroide'', sendo $a>0$ constante. (a) Encontre a equa\cao\ da reta tangente
\`a astroide em um ponto $(x_0,y_0)$, com $x_0\neq 0\neq y_0$. (b) Mostre que essa reta intersecta os dois eixos coordenados e que
o segmento de reta com extremos nesses dois pontos de interse\cao\ tem comprimento igual a $a$. 

\section*{Desigualdades via TVM}

{\bf 16)} Usando que $1-\frac{x^2}{2}<\cos x$ para todo $x>0$, mostre que
$x-\frac{x^3}{6}<\sen x<x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$ para todo $x>0$.

{\bf 17)} Mostre que $x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$ para todo $x>0$.

{\bf 18)} Mostre que $x-\frac{x^3}{3}<\arctan x<x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}$ para todo $x>0$.

\section*{Gr\'aficos}

{\bf 19)} Dadas constantes reais $p$ e $q$, considere a fun\cao\ polinomial $f(x)=x^3+px+q$, $x\in\R$.
\\(a) Mostre que, se $p\geq 0$, ent\ao\  $f$ \'e crescente.
\\(b) Mostre que, se $p<0$, ent\ao\ $f$ tem um m\'aximo local em $x=-\sqrt{\frac{|p|}{2}}$ e tem um m\'inimo local em
$x=\sqrt{\frac{|p|}{2}}$.
\\(c) Mostre que o produto dos valores de $f$ em $x=-\sqrt{\frac{|p|}{2}}$ e em $x=\sqrt{\frac{|p|}{2}}$  \'e igual a $D=4(\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27})$.
\\(d) Use um argumento gr\'afico para se convencer de que, no caso em que $p<0$: (i) se $D>0$ ent\ao\ $f$ tem uma \'unica raiz real, (ii) se $D=0$, ent\ao\ $f$
tem duas ra\'izes reais e (iii) se $D<0$, ent\ao\ $f$ tem tr\^es ra\'izes reais.
\\{\tt Observa\cao}: A mudan\c{c}a de vari\'avel $x=y-\frac{a}{3}$ transforma a equa\cao\ de terceiro grau $x^3+ax^2+bx+c=0$ numa equa\cao\
na forma especial $y^3+py+q=0$. Este problema fornece, portanto, um crit\'erio para determinar o n\'umero de ra\'izes de uma equa\cao\
do terceiro grau.

{\bf 20)} Considere a fun\cao\
\[
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x^3\ln|x|,\ \mbox{se}\ x\neq 0\\
0,\ \mbox{se}\ x=0
\end{array}\right..
\]
(a) Mostre que $f$ tem um ponto de inflex\ao\ em $x=0$ e $f''(0)=f'(0)=0$.
\\
(b) Determine os intervalos em que $f$ \'e crescente ou decrescente.
\\
(c) Determine os intervalos em que o gr\'afico de $f$ \'e c\^oncavo para cima ou para baixo.
\\
(d) Esboce o gr\'afico de $f$, localizando os pontos de m\'aximo ou de m\'inimo local e os pontos de inflex\ao.


{\bf 21)} Considere a fun\cao\
\[
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
e^{-\frac{1}{|x|}},\ \mbox{se}\ x\neq 0\\
0,\ \mbox{se}\ x=0
\end{array}\right.
\]
(a) Mostre que $f$ tem um ponto de m\'inimo em $x=0$ e $f''(0)=f'''(0)=0$. {\tt Observa\cao}: Na verdade, $f$ possui derivadas de
todas as ordens nulas em $x=0$. Esta afirma\cao\ requer um argumento um pouco mais sofisticado para ser demonstrada. 
\\
(b) Determine os pontos de inflex\ao\ de $f$.
\\
(c) Calcule os limites no infinito de $f$.
\\
(d) Esboce o gr\'afico de $f$

\section*{Integrais}

{\bf 22)} Mostre que, para todo inteiro positivo $n$, tem-se:
\begin{center}
(a) ${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}\leq\frac{2}{3}(n+1)^{\frac{3}{2}}}$,\ \ \ 
 (b) ${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}\geq\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{n+1}\right)(n+1)^{\frac{3}{2}}}$.
\end{center}
    {\tt Sugest\ao}: Dados uma fun\cao\ cont\'inua $f:[a,b]\to\R$ e um inteiro $n>0$, 
    ${\displaystyle s_n\leq \int_a^bf(x)\,dx\leq S_n}$; sendo
    ${\displaystyle s_n=\sum_{i}^{n}f(c_i)\Delta x}$,  ${\displaystyle S_n=\sum_{i}^{n}f(d_i)\Delta x}$, sendo
    $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ e
    $c_i$ e $d_i$ pontos de m\'inimo e de m\'aximo, respectivamente, de $f$ no intervalo $[a+(i-1)\Delta x,a+i\Delta x]$. Aplique
      este resultado para a fun\cao\ $f(x)=\sqrt{x}$ no intervalo $[0,1]$. As desigualdades que desejamos provar ser\ao\ uma
      consequ\^encia simples da desigualdade que você obtiver assim.
      \\
        {\tt Observa\cao}: Valem as desigualdades estritas ($<$ no (a) e $>$ no (b)), pois vale a desigualdade estrita
        ${\displaystyle s_n< \int_a^bf(x)\,dx < S_n}$ quando $f$ n\ao\ \'e constante.

        {\bf 23)} Mostre que, para todo, inteiro $n>1$, tem-se:
        \begin{center} (a) ${\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}\sqrt{i}<\int_1^n\sqrt{x}\,dx<\sum_{i=2}^{n}\sqrt{i}}$,
          
          (b) ${\displaystyle \frac{1}{3}(2n^{3/2}+1)<\sum_{i=1}^n\sqrt{i}<\frac{2}{3}[(n+1)^{3/2}-1]}$.
        \end{center}
        {\tt Observa\cao}: A t\'itulo de ilustra\cao, fazendo $n=16$, temos:
${\displaystyle \frac{1}{3}(2\cdot16^{3/2}+1)=43}$ e, com duas casas decimais corretas, 
${\displaystyle \sum_{i=1}^{16}\sqrt{i}\simeq 44,47}$ e
${\displaystyle \frac{2}{3}(17^{3/2}-1)\simeq 46,06}$.

{\bf 24)} Considere a fun\cao\ ${\displaystyle \mbox{Si}(x)=\int_0^x\frac{\sen t}{t}\,dt}$, $x\in\R$.
        
        \noindent
        (a) Mostre que $x=0$ \'e um ponto de inflex\ao\ de Si.
        \\
        (b) Mostre que Si$''(x)<0$ se $0<x<\pi$.
        \\
        (c) Mostre que Si tem um ponto de inflex\ao\ no intervalo $(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2})$.
        
{\bf 25)} Para cada inteiro $n\geq 0$, defina ${\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}\!x\,dx}$ e ${\displaystyle J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}\!x\,dx}$. 

\noindent
(a) Mostre que, para cada $n\geq 1$, temos $I_n=(2n-1)(I_{n-1}-I_n)$. 
\\{\tt Sugest\ao}: use a f\'ormula $\int uv'=uv-\int u'v$ para $v'(x)=\cos x$.
\\ 
(b) Mostre que, para cada $n\geq 1$, temos $I_n=n(2n-1)J_{2n-1}-2n^2J_n$. 
\\{\tt Sugest\ao}: use a f\'ormula $\int uv'=uv-\int u'v$ primeiro para $v'(x)=1$ e depois para $v'(x)=2x$.

\noindent {\tt Observa\cao}: Essas identidades podem ser usadas para demonstrar a famosa f\'ormula de Euler 
\[
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\right)=\frac{\pi^2}{6},
\] 
veja http://www.ime.usp.br/$\sim$toscano/disc/calculo/MonthlyGem.jpg.




\end{document}
