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\title{As Equa\c{c}\~oes de Cobb-Douglas} 
\author{USP\ \ --\ \ MAT 0147\ \ --\ \ 2016\\ Aula de 26 de setembro} 

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\maketitle

As {\em equa\coes\ de Cobb-Douglas} s\ao\ o sistema de equa\coes\ diferenciais parciais
\begin{equation}
  \label{CD}
  \left\{
  \begin{array}{l}
    {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\alpha\,\frac{f}{x}}\\
    \\
     {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\beta\,\frac{f}{y}}
  \end{array}\right.,
  \end{equation}
em que $\alpha$ e $\beta$ s\ao\ constantes positivas. \'E f\'acil verificar que, para qualquer constante $b$, a fun\cao\
$f(x,y)=bx^\alpha y^\beta$ satisfaz (\ref{CD}). O objetivo desta nota \'e mostrar que qualquer fun\cao\ positiva $f$ definida
no quadrante $D=\{(x,y);\,x>0,\,y>0\}$ que satisfa\c{c}a (\ref{CD}) \'e da forma $f(x,y)=bx^\alpha y^\beta$, para alguma constante $b>0$. Ou seja, 
essas solu\coes\ de (\ref{CD}) que podem ser descobertas por inspe\cao\ s\ao\ na verdade as \'unicas solu\coes\ de (\ref{CD}) definidas em $D$. 

Seja portanto $f$ uma fun\cao\ definida em $D$ satisfazendo (\ref{CD}). Segue da primeira das equa\coes\ em (\ref{CD}) que, para todo $(x,y)\in D$,
\[
\frac{1}{f(x,y)}\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\alpha}{x}.
\]
Usando que
\[
\frac{\partial}{\partial x}\ln f(x,y)=\frac{1}{f(x,y)}\cdot\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\ \ \mbox{e que}\ \
\frac{\partial}{\partial x}\ln x^\alpha=\alpha\frac{\partial}{\partial x}\ln x =\frac{\alpha}{x}, 
\]
segue que
\[
\frac{\partial}{\partial x}\ln f(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\ln x^\alpha,
\]
logo
\[
\frac{\partial}{\partial x}[\ln f(x,y)-\ln x^{\alpha}]=\frac{\partial}{\partial x}\ln\left[\frac{f(x,y)}{x^\alpha}\right]=0
\]
Se uma fun\cao\ definida em $D$ tem derivada parcial em rela\cao\ a $x$ nula, ent\ao\ ela depende s\'o de $y$, isto \'e, existe uma
fun\cao\ de uma vari\'avel $\varphi$ tal que
\[
\frac{f(x,y)}{x^\alpha}=\varphi(y),\ \  \mbox{para todo}\ \  (x,y)\in D,
\]
ou seja,
\begin{equation}
  \label{passo1}
  f(x,y)=\varphi(y)x^\alpha.
  \end{equation}

Vamos agora determinar $\varphi$. Segue de (\ref{passo1}) que
\[
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\varphi'(y)x^\alpha \ \ \mbox{e que}\ \ \frac{f(x,y)}{y}=\frac{\varphi(y)x^\alpha}{y}.
  \]
  Substituindo isso na segunda das equa\coes\ em (\ref{CD}), vem
  \[
  \varphi'(y)\,x^\alpha=\beta\, \frac{\varphi(y)\,x^\alpha}{y}.
    \]
    Cancelando $x^\alpha$ e passando $\varphi(y)$ para o primeiro membro, obtemos
    \[
    \frac{\varphi'(y)}{\varphi(y)}=\frac{\beta}{y}
    \]
    Usando que
    \[
\frac{d}{dy}\ln(\varphi (y))= \frac{\varphi'(y)}{\varphi(y)}\ \ \mbox{e que}\ \
\frac{d}{dy}\ln y^\beta=\beta\frac{d}{dy}\ln y =\frac{\beta}{y},
    \]
    Segue que 
\[ 
\frac{d}{dy}\{\ln[\varphi(y)]-\ln y^\beta\}=\frac{d}{dy}\ln\frac{\varphi(y)}{y^\beta}=0.
\]
Logo, $\ln\frac{\varphi(y)}{y^\beta}$ \'e constante; logo, $\frac{\varphi(y)}{y^\beta}$ \'e constante. Chamando de $b$ essa \'ultima constante,
vem que $\varphi(y)=by^\beta$. Substituindo isto em (\ref{passo1}), vem 
\begin{equation}
\label{fCD}
f(x,y)=bx^\alpha y^\beta,\ \ \mbox{para todo}\ \ (x,y)\in D,
\end{equation}
como quer\'iamos. 

A fun\cao\ em (\ref{fCD}), conhecida como {\em fun\cao\ de Cobb-Douglas}, foi usada por Cobb e Douglas para modelar a produtividade da economia dos 
Estados Unidos nas duas primeiras d\'ecadas do s\'eculo 20. As vari\'aveis $x$ e $y$ representam o investimento em trabalho e capital e $f(x,y)$ 
a produ\cao. Naturalmente espera-se que uma tal fun\cao\ satisfa\c{c}a 
\begin{equation}
\label{homog}
f(mx,my)=mf(x,y)\ \ \mbox{para todo}\ \  (x,y),\ \  \mbox{se}\ \  m>0. 
\end{equation}
Segue de (\ref{fCD}) que $f(mx,my)=m^{\alpha+\beta}f(x,y)$. Devemos ter portanto $\alpha+\beta=1$ em (\ref{CD}) para que a propriedade (\ref{homog}) 
seja satisfeita. 
\end{document}

