Introdução à Análise Funcional, Segundo Semestre de 2004

MAT 5721 - Introdução à Análise Funcional
Pósgraduação em Matemática
Segundo Semestre de 2004

Professor: Severino Toscano, sala 139-A do IME, telefone 3091-6223, www.ime.usp.br/~toscano

Avaliação: Provas nos dias 18 de outubro, 6 de dezembro e 16 de dezembro. A do dia 6 de dezembro começa às 13 horas e a do dia 16, às 10. Após a segunda prova, será atribuído a cada aluno um conceito parcial. Só fará a terceira prova quem quiser melhorar de conceito. As provas aplicadas se encontram no final das notas de aula (veja abaixo)
Quem quiser pode também entregar problemas, escolhidos entre os propostos nas notas de aulas, valendo nota. A média final será o máximo entre a média aritmética das duas melhores notas em prova e a média ponderada das duas melhores notas em prova (com peso 3 cada) e a nota dos problemas (com peso 1). Devem ser entregues dois ou três problemas por mês, sempre na primeira segunda-feira depois do dia 15 (dos meses de setembro, outubro e novembro).


Programa: 1. Espaços de Hilbert. Projeções ortogonais e bases hilbertianas. Aplicações às séries de Fourier. 2. Espaços de Banach. Exemplos básicos. Operadores. Espaços duais. Espaços Reflexivos. Operadores compactos. 3. Teorema de Hahn-Banch e aplicações. 4. Teorema de Baire. Princípio da limitação Uniforme. Teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado e aplicações.

Bibliografia: Seguiremos mais de perto "M. Reed & B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I (Functional Analysis), Academic Press, 1980". Um exemplar está reservado na biblioteca só para consulta. Complementaremos com material de outras fontes, especialmente "C. Hönig, Análise Funcional e Aplicações, IME-USP, 1970".


Lista de Problemas: Vejam as notas de aula.


Notas de Aula (versão final (?) em pdf).
Na versão de 20 de setembro, consertei um erro no Problema 18-c.
Na versão de 21 de setembro, alterei o enunciado do item (d) do Problema 18, mas apenas para facilitar o enunciado dado no dia 20.
Na versão do dia 27, mudei o enunciado do Problema 19: para ser verdade que a aplicação dos itens a e b do 19 seja injetora, deve ser preciso fazer alguma hipótese sobre a fronteira do aberto. Outra pequena alteração foi acrescentar uma dica, definições e um item ao Problema 12. Mas foi só para facilitar, podem resolver a versão inicial se preferirem.
Na versão de 30 de setembro, mudei algumas afirmações que havia feito antes sobre soluções do problema de Dirichlet. As demonstrações continuam iguais.
A versão de 1 de outubro é quase igual à de 30 de setembro. Acrescentei uma referência, dei mais detalhes no Exemplo 51 e fiz diversas correções menores.
Na versão de 8 de outubro, acrescentei um novo problema entre os antigos Problemas 40 e 41. Isto quer dizer que, se j>40, o que antes era Problema j virou Problema j+1. Corrigi um erro no Problema 2 (havia duas barras sobrando).
Na versão de 11 de outubro, além de acrescentar problemas (todos depois do último da versão de 8 de outubro), detalhei um pouco mais o resumo das aulas de 23 de setembro a 7 de outubro.
As alterações entre 11 e 13 de outubro foram mínimas: tornei um pouco mais claros os enunciados da Proposição 9, das Definições 56 e 59, do Problema 58.
Em 14 de outubro acrecentei uma hipótese ao Problema 22. Sem ela, o item "c" do 22 estava errado. Mudei também o enunciado do Problema 24, mas apenas como uma maneira de sugerir que vocês usem o 22-c.
Em 20 de outubro corrigi um erro no enunciado do Problema 56. A Proposição 12 virou Teorema 17, o que acarretou mudança de numeração das proposições e teoremas a partir desse ponto. Estava faltando a hipótese de que o espaço tem dimensão infinita na antiga Proposição 12. O erro foi corrigido no enunciado do novo Teorema 17, que agora está demonstrado. Também havia um erro no enunciado da Proposição 10, faltava supor que U era contínua. Acrescentei um item ao Problema 51 para mostrar que essa hipótese era indispensável.
Em 21 de outubro, acrescentei uma definição e dois problemas entre o Exemplo 55 e a Proposição 10.
Em 16 de novembro, corrigi um erro no enunciado do Problema 69 (faltava supor que M era fechado). Acrescentei um item g ao Problema 65 e omiti o item d do 78. Notem que repeti dois problemas (sem querer): o 61 éigual ao 51 e o 62, ao 52. Só vou omitir dois deles depois de vocês entregarem a última lista, para não bagunçar a numeração.
Na versão de 10 de dezembro, passa a haver apenas duas numerações: uma para os problemas e outra para tudo o mais (teoremas, definições, etc).
Na versão de fevereiro, incluí as provas, e alterei mais uma vez a numeração de teoremas, problemas, etc.