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\begin{document}

\centerline{\bf MAT 0450 - Semin\'ario de Resolu\cao\ de Problemas} 
%\centerline{\bf MAT 0450 - Semin\'ario de Resolu\cao\ de Problemas - Turma 42} 

\centerline{\bf 2$^a$ Prova - 18 de junho de 2013}


\noindent
{\bf Quest\ao\ 1:} (T47) (a) Liste em ordem crescente todos os inteiros positivos menores do que mil que s\ao\ m\'ultiplos de nove e cujos d\'igitos (de sua expans\ao\ na base 10) s\ao\ todos pares.
\\(b) Se um inteiro positivo menor do que mil for sorteado aleatoriamente, qual \'e a probabilidade de ele ser m\'ultiplo de 9 e todos os seus d\'igitos serem pares?

\noindent
{\bf Quest\ao\ 1:} (T42) (a) Liste em ordem crescente todos os inteiros maiores que 2.000 e menores do que 3.000 que s\ao\ m\'ultiplos de nove e cujos d\'igitos (de sua expans\ao\ na base 10) s\ao\ todos pares.
\\(b) Se um inteiro positivo maior do que 2.000 e menor do que 3.000 for sorteado aleatoriamente, qual \'e a probabilidade de ele ser m\'ultiplo de 9 e todos os seus d\'igitos serem pares?

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\noindent
{\bf Quest\ao\ 2:} (T47) Dado  $n$, um inteiro maior do que $4$, mostre que ele \'e composto se, e somente se, $(n-1)!$ \'e divis\'ivel por $n$.

\noindent
{\bf Quest\ao\ 2:} (T42) Dado  $n$, um inteiro maior do que $4$, mostre que ele tem mais de um fator primo se, e somente se, mmc$(2,3,\cdots,n-1)$ \'e divis\'ivel por $n$. 

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\noindent
{\bf Quest\ao\ 3:} (T47) Dois jogadores se enfrentam em uma batalha de War, o Jogo da Estrat\'egia. O atacante lan\c{c}a dois dados e o defensor, um. O atacante conquistar\'a o territ\'orio do defensor em apenas um lance de dados se, e somente se, seu maior dado for maior do que o dado do defensor. Qual \'e a probabilidade de o atacante conquistar o territ\'orio em apenas um lance de dados?

\noindent
{\bf Quest\ao\ 3:} (T42) Dois jogadores se enfrentam em uma batalha de War, o Jogo da Estrat\'egia. O atacante lan\c{c}a tr\^es dados e o defensor, um. O atacante conquistar\'a o territ\'orio do defensor em apenas um lance de dados se, e somente se, seu maior dado for maior do que o dado do defensor. Qual \'e a probabilidade de o atacante conquistar o territ\'orio em apenas um lance de dados?


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\noindent
{\bf Quest\ao\ 4:} (T47) Seja $\gamma$ a aplica\cao\ de $\R$ em $\R^2$ definida por ${\displaystyle \gamma(t)=\left(\frac{t^2-1}{t^2+1},\frac{2t}{1+t^2}\right)}$, $t\in\R$.
\\ (a) Mostre que, se $\gamma(t)=(x,y)$, ent\ao\ $x\neq 1$ e $t=y/(1-x)$.
\\ (b) Mostre que $\gamma$ \'e injetora e que sua imagem \'e igual a $\{(x,y);\, x^2+y^2=1, (x,y)\neq (1,0)\}$. 
\\ (c) Encontre todos os pontos $(x,y)\in\Q^2$ tais que $x^2+y^2=1$.

\noindent
{\bf Quest\ao\ 4:} (T42) Seja $\gamma$ a aplica\cao\ de $\R$ em $\R^2$ definida por ${\displaystyle \gamma(t)=\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{t^2-1}{t^2+1}\right)}$, $t\in\R$.
\\ (a) Mostre que, se $\gamma(t)=(x,y)$, ent\ao\ $y\neq 1$ e $t=x/(1-y)$.
\\ (b) Mostre que $\gamma$ \'e injetora e que sua imagem \'e igual a $\{(x,y);\, x^2+y^2=1, (x,y)\neq (0,1)\}$. 
\\ (c) Encontre todos os pontos $(x,y)\in\Q^2$ tais que $x^2+y^2=1$.


\end{document}
