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\pagestyle{empty}



\begin{document}

\centerline{\bf MAT 0450 - Semin\'ario de Resolu\cao\ de Problemas - Turma 47} 

\centerline{\bf 1$^a$ Prova - 30 de abril de 2013}

%\vskip0.8cm
\noindent
$\begin{matrix}
\hbox{Nome}:  \hbox{\underbar{\hskip10.5cm}}\hfill\cr
\hbox{N\'umero USP}: \hbox{\underbar{\hskip 9.4cm}}\hfill\cr
\hbox{Assinatura}: \hbox{\underbar{\hskip 9.8cm}}\hfill\cr
\end{matrix}$
\hfill{
$\begin{matrix}\hbox{\hfill\vbox{\tabskip=0pt  \offinterlineskip
\def\tablerule{\noalign{\hrule}}
\halign to96pt {\strut #& \vrule #& \hfil\tabskip=1em plus2em 
#& \vrule #& #& \vrule # \tabskip=0pt\cr\tablerule
&&1 &&   &\cr\tablerule
&&2 &&   &\cr\tablerule
&&3 &&   &\cr\tablerule
&&4 &&   &\cr\tablerule
%&&5 &&   &\cr\tablerule

&&   \ Total&&    &\cr\tablerule}}}\end{matrix}$}

\begin{center}
Cada quest\ao\ em branco vale 0,25.
\end{center}

\noindent
{\bf Quest\ao\ 1:} Sejam $x$ e $y$ inteiros. Mostre que $8x+4y$ \'e divis\'ivel por $11$ se, e somente se, $6x+3y$ \'e divis\'ivel por $11$.


%\newpage

\noindent
{\bf Quest\ao\ 2:} (a)  Dado um ponto $P$ no interior de um tri\^angulo equil\'atero, sejam $x$, $y$ e $z$ as dist\^ancias de $P$ aos lados do tri\^angulo. Mostre que o valor da soma $x+y+z$ \'e igual \`a altura do tri\^angulo.\\
(b) Dado um ponto $P$ no interior de um tetraedro regular, sejam $x$, $y$, $z$ e $w$ as dist\^ancias de $P$ \`as faces do tetraedro. Mostre que o valor da soma $x+y+z+w$ \'e igual \`a altura do tetraedro. (Use sem demonstrar que, se a aresta do tetraedro mede $a$, ent\ao\ a altura mede $a\sqrt{6}/3$.)   


%\newpage
\noindent
{\bf Quest\ao\ 3:} Calcule o valor de 
\[
\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{n}{(n+1)!},
\]
para $n=1$, $2$, $3$ e $4$. Conjecture uma f\'ormula geral e demonstre sua validade.  


%\newpage

\noindent
{\bf Quest\ao\ 4:}  Dados $n$ um inteiro maior que $2$ e $p$ um primo menor que $n$, seja $l$ o \'unico natural tal que a desigualdade 
$p^l\leq n<p^{l+1}$ seja satisfeita. \\
(a) No caso em que $p=2$, mostre que:
\begin{center}
{\tt o expoente de $p$ na fatora\cao\ de qualquer inteiro $k$, $k\neq p^l$ e $1\leq k\leq n$\ \'e menor do que $l$}.
\end{center}
(b) D\^e exemplo de um inteiro $n$ e de um primo $p>2$ tais que a afirma\cao\ destacada acima seja falsa. 
\\
(c) D\^e exemplo de um inteiro $n$ e de um primo $p>2$ tais que a afirma\cao\ destacada acima seja verdadeira. 

%\newpage \noindent {\bf Quest\ao\ 4:} 

\end{document}
