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\newtheorem{lema}{Lema}[section]
\newtheorem{prob}{Problema}%[section]
\begin{document}
\newtheorem{defi}[lema]{Defini\c{c}\~ao}%[section]
\newtheorem{prop}[lema]{Proposi\c{c}\~ao}
\newtheorem{teo}[lema]{Teorema}
\newcommand{\dem}{{\tt Demonstra\c{c}\~ao}:}
\newcommand{\cqd}{\hfill$\Box$}
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\newcommand{\reta}{\overleftrightarrow}


\title[Geometria e Desenho Geom\'etrico 1]{Notas de Aula}
\author[Severino Toscano do Rego Melo]{MAT 0230  -  Geometria e Desenho Geom\'etrico 1\\2$^\circ$ Semestre de 2025, Turma 42\\IME - USP\\Severino Toscano do Rego Melo}
\date{}



%\author[Severino T.  Melo]{Severino Toscano do Rego Melo}
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%\begin{document}
%\maketitle
%\tableofcontents

\section{Os Postulados de Euclides (para geometria plana)}\label{euclides} 

O ponto de partida da geometria euclideana s\ao\ os seguintes termos ou frases que aceitamos sem defini\cao: (1) ponto, (2) reta, (3) congru\^encia, (4) um ponto est\'a em
uma reta, (5) um ponto est\'a entre dois pontos. Dizer que a reta $r$ passa pelo ponto $P$ \'e o mesmo que dizer que o ponto $P$ est\'a na reta $r$.
Denotaremos congru\^encia por $\cong$.

As no\coes\ de congru\^encia, de ``estar entre'' e de ``estar em'' ser\ao\ sujeitas a certos axiomas, oportunamente enunciados.
Nos Elementos \cite{E}, os axiomas sobre a no\cao\ de estar-entre e diversos axiomas sobre as no\coes\ de estar-em e de congru\^encia s\ao\ assumidos
apenas implicitamente. Alguns dos axiomas sobre congru\^encia s\ao\ inclu\'idos por Euclides nas ``no\coes\ comuns'' que antecedem o enunciado da sua
primeira proposi\cao. 

\noindent {\bf Postulado 1}. {\em Dados
\footnote{Sempre que nos referirmos a dois pontos, ou duas coisas quaisquer, ficar\'a impl\'icito que os dois pontos, ou as duas coisas, s\ao\ distintos.}
dois pontos $P$ e $Q$, existe uma \'unica reta que passa por $P$ e $Q$. Essa reta \'e denotada por $\overleftrightarrow{PQ}$. }

Claro que $\overleftrightarrow{PQ}=\overleftrightarrow{QP}$.

Na vers\ao\ original do Primeiro Postulado, Euclides n\ao\ menciona unicidade. Diz apenas: ``Fique postulado tra\c{c}ar uma reta a partir de todo ponto at\'e todo ponto''.
O resto do tratado, entretanto, cont\'em pistas de que ele, implicitamente, assumia que a reta era \'unica. 



%\begin{prop} Se o ponto $C$ est\'a na reta $\overleftrightarrow{AB}$ e \'e distinto de $A$ e de $B$, ent\ao\ as retas $\overleftrightarrow{AC}$ e $\overleftrightarrow{BC}$
%  s\ao\ iguais a $\overleftrightarrow{AB}$. \end{prop}
%\dem\ As retas $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{AC}$ passam por $A$ e $C$. Pelo Postulado 1, existe uma \'unica reta que passa
%por $A$ e por $C$. Logo $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{AC}$ s\ao\ a mesma reta. Trocando os pontos, o mesmo argumento
%garante que $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{BC}$ s\ao\ a mesma reta. \cqd

Na Se\cao~\ref{s4}, vamos enunciar todos os axiomas sobre o ``estar entre'', que da\'i em diante ser\ao\ chamados de axiomas de ordenamento.
Para enunciar os demais postulados de Euclides, precisamos antecipar o seguinte axioma, que ser\'a posteriormente inclu\'ido no que chamaremos de ``Axioma B1''. 

\noindent
{\bf Postulado X}. Se o ponto $B$ est\'a entre $A$ e $C$, ent\ao\ $B$ est\'a na reta $\overleftrightarrow{AC}$.

\begin{defi}\label{segmento}
  Dados dois pontos $A$ e $B$, o segmento de extremidades $A$ e $B$, que denotaremos por $AB$, \'e o conjunto de pontos que consiste de: $A$, $B$ e de todos os
  pontos que est\ao\ entre $A$ e $B$. 
  \end{defi}

Segue do Postulado X que todos os pontos de $AB$ est\ao\ na reta $\overleftrightarrow{AB}$.

A formula\cao\ original \cite{E}  do segundo postulado de Euclides \'e ``fique postulado prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta'' (reta limitada \'e como
Euclides chamava um segmento). Seguindo Greenberg \cite{G}, adotaremos aqui a seguinte interpreta\cao\ do que Euclides queria dizer:

\noindent{\bf Postulado 2}. {\em Dado o segmento $AB$, para todo segmento $CD$ existe um ponto $E$ tal que $B$ est\'a entre $A$ e $E$ e $BE$ \'e congruente a
  $CD$.}

Em outras palavras, todo segmento pode ser estendido indefinidamente, a partir de cada uma de suas extremidades. 

\begin{defi}\label{defcirc} Dados dois pontos $O$ e $A$, o c\'irculo de centro $O$ que passa por $A$ \'e o conjunto dos pontos $P$
  tais que $OP\cong OA$. %O segmento $OA$ \'e um raio do c\'irculo (consequentemente, todo segmento $OP$ com $P$ no c\'irculo  tamb\'em \'e um raio).
\end{defi}

O enunciado original do terceiro postulado de Euclides \'e: ``fique postulado, com todo centro e dist\^ancia, descrever um c\'irculo'' \cite{E}. Para os padr\oes\
modernos de rigor, seria necess\'ario antes definir dist\^ancia. Em vez disso, adotamos
a seguinte formula\cao\ de \cite{G} do terceiro postulado.

\noindent {\bf Postulado 3}. {\em Dados dois pontos $O$ e $A$, existe o c\'irculo de centro $O$ e raio $OA$.}

Usando a linguagem de conjuntos, onipresente na matem\'atica contempor\^anea, o Postulado 3 se torna sup\'erfluo diante da Defini\cao~\ref{defcirc}. 

Os tr\^es primeiros Postulados de Euclides podem ser interpretados como postulados do desenho geom\'etrico. \label{pagedesenho}
Chama-se de {\em r\'egua euclideana} o instrumento ideal que permite tra\c{c}ar retas e de {\em compasso euclideano} o instrumento ideal que permite tra\c{c}ar c\'irculos.
Os dois primeiros postulados nos dizem que, usando uma r\'egua, \'e poss\'ivel tra\c{c}ar e prolongar indefinidamente a \'unica reta que passa passa por dois pontos dados.
O terceiro nos diz que, usando compasso, dados dois pontos, \'e poss\'ivel tra\c{c}ar o c\'irculo com centro em um dos pontos e passando pelo outro.

\begin{defi}\label{semirreta}
  Dados dois pontos $A$ e $B$, a semirreta $\overrightarrow{AB}$ \'e o conjunto dos pontos $P$ da reta $\overleftrightarrow{AB}$ tais que $P$ pertence
  ao segmento $AB$ ou $B$ est\'a entre $A$ e $P$. Diremos ent\ao\ que $A$ \'e o v\'ertice da semirreta, ou que a semirreta se origina em $A$. \end{defi}

%S\'o depois de enunciarmos os postulados da no\cao\ ``estar entre'' seremos capazes de provar, por exemplo, a seguinte proposi\cao: ``se $C$ \'e distinto de $A$ e pertence a
%$\overrightarrow{AB}$, ent\ao\ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$''.

\begin{defi}\label{semiop} As semirretas distintas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ s\ao\ opostas se $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{AC}$
  s\ao\ iguais.  \end{defi}

\begin{defi}\label{defang}
  Um \^angulo com v\'ertice em $A$ \'e a uni\ao\ de duas semirretas  n\ao\ opostas que se originam em $A$. As duas semirretas s\ao\
  chamadas de lados do \^angulo. Denotamos por $\angle BAC$ ou $\angle CAB$ o \^angulo formado pelas semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$.\end{defi}

\begin{defi}\label{suplang}
  Os dois \^angulos $\angle BAD$ e $\angle DAC$ s\ao\ suplementares se as semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ s\ao\ opostas.\end{defi}

\begin{defi}\label{angreto} Um \^angulo \'e reto se \'e congruente a um \^angulo suplementar a ele.\end{defi}

\noindent{\bf Postulado 4}. {\em Todos os \^angulos retos s\ao\ congruentes entre si.}

\'E importante frisar que os dois \^angulos retos do enunciado do Postulado 4 n\ao\ s\ao\ necessariamente suplementares. Um deles pode estar aqui do nosso lado e o
outro em outra gal\'axia. Num certo sentido, este postulado reflete a homogeneidade do espa\c{c}o.

Na geometria m\'etrica de Birkoff \cite{M}, que \'e a abordagem da geometria euclideana adotada em todos os livros de geometria para o Ensino M\'edio ou Fundamental,
postula-se que todo \^angulo possui uma medida, e define-se que dois \^angulos s\ao\ congruentes se possuem a mesma medida e que um \^angulo \'e reto se mede 90 graus.
Nessa abordagem, o Postulado 4 \'e uma proposi\cao\ trivial. Antes de Birkoff, sem usar n\'umeros reais, usando seus postulados de ordenamento e congru\^encia,
Hilbert  demonstrou (\cite[Teorema 21]{H}, ver tamb\'em \cite[Theorem 8.2.3]{M}) o Postulado 4; ou seja, mostrou que ele \'e um postulado sup\'erfluo tamb\'em na
{\em geometria sint\'etica}. Hilbert atribui o resultado a Proclus, matem\'atico e fil\'osofo que viveu no s\'eculo V.
%Nestas notas, o argumento de Hilbert  \'e exposto no Teorema~\ref{quarto}.

\begin{defi} Duas retas $r$ e $s$ s\ao\ paralelas se nunca se encontram, ou seja, se nenhum ponto est\'a simultaneamente em $r$ e em $s$. \end{defi}

Na geometria espacial, exige-se tamb\'em que duas retas paralelas sejam coplanares, mas estas notas tratam apenas da geometria plana.

Na tradu\cao\ de Irineu Bicudo \cite{E}, a formula\cao\ do Quinto Postulado nos Elementos \'e: ``fique postulado, caso uma reta, caindo sobre duas retas,
fa\c{c}a os \^angulos interiores do mesmo lado
menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual est\ao\ os menores do que dois retos''. Em outras palavras, suponha
que sejam dadas tr\^es retas $r$, $s$ e $t$, que $t$ intersecta $r$ e $s$, e que, em um dos lados de $t$ a soma dos \^angulos internos \'e menor do que dois retos.
Ent\ao\ $r$ e $s$ se encontram no lado de $t$ em que a soma dos \^angulos internos \'e menor do que dois retos.

Como em \cite{G}, adotaremos a seguinte formula\cao\ do Quinto Postulado, comumente atribu\'ida a Playfair, matem\'atico escoc\^es do s\'eculo XVIII, mas que na
verdade remonta a Proclus. 

\noindent {\bf Postulado 5}. {\em Dadas uma reta $r$ e um ponto $P$ que n\ao\ est\'a em $r$, existe uma \'unica reta paralela a $r$ que passa por $P$.}

A vantagem da formula\cao\ de Proclus/Playfair sobre a de Euclides \'e que a primeira envolve menos conceitos. Pode-se considerar a validade, ou n\ao, do Postulado 5 em
sistemas formais que satisfa\c{c}am apenas os ``axiomas de incid\^encia'' (assunto da pr\'oxima se\cao); enquanto que a formula\cao\ de Euclides depende dos axiomas de
ordenamento e congru\^encia para ser enunciada (\'e preciso fazer sentido falar nos lados do plano determinados por uma reta, \'e preciso fazer sentido dizer que a soma de dois
\^angulos \'e menor do que dois retos).

Mais adiante, de posse dos axiomas de incid\^encia, de ordenamento e de congru\^encia, discutiremos a equival\^encia das duas formula\coes. Veremos que decorre dos axiomas b\'asicos
que, dadas uma reta $r$ e um ponto $P$ que n\ao\ est\'a em $r$, sempre existe pelo menos uma reta paralela a $r$ que passa por $P$. A unicidade dessa reta \'e que \'e equivalente
\`a formula\cao\ original do Quinto Postulado de Euclides. 


%Embora os quatro primeiros postulados de Euclides tenham sido, desde o come\c{c}o, aceitos como verdades autoevidentes, o quinto postulado sempre foi
%controverso. Ao longo de mais de dois mil\^enios, leitores de Euclides tentaram demonstrar o Postulado 5 a partir dos demais postulados. Esses esfor\c{c}os,
%que \`a primeira vista poderiam ser injustamente considerados infrut\'iferos, na verdade provocaram grandes avan\c{c}os na Geometria. Esse processo culminou na descoberta
%das geometrias n\ao-euclideanas no s\'eculo 19.

O matem\'atico franc\^es Adrien Marie Legendre, que viveu de 1752 a 1833 e deu importantes contribui\coes\ \`a Mec\^anica e \`a Geometria, acreditou que tinha
demonstrado o Quinto Postulado. Vamos listar em seguida os passos de uma de suas ``demonstra\coes'', sendo dadas a reta $r$ e um ponto $P$ que n\ao\ est\'a em $r$. A
figura quase indispens\'avel para acompanhar o argumento ser\'a omitida neste documento.
A leitora pode pegar papel e caneta e desenhar sua pr\'opria figura, ou pode consultar a Figura 1.12 de \cite{G}.

\label{legendre}
\begin{enumerate}

\item Seja $Q$ o ponto em $r$ tal que $\overleftrightarrow{PQ}$ e $r$ sejam perpendiculares.
  \item Seja $s$ a reta que passa por $P$ e \'e perpendicular a  $\overleftrightarrow{PQ}$. 
  \item Ent\ao\ $s$ \'e paralela a $r$. Seja $t$ uma reta que passa por $P$ e \'e diferente de $s$. Queremos provar que $t$ e $r$ se interceptam.
  \item Seja $R$ um ponto que est\'a em $t$ e est\'a no mesmo lado de $s$ que  $r$.
  \item Seja $R'$ um ponto do lado oposto ao de $R$ relativamente \`a reta $\overleftrightarrow{PQ}$ tal que $\angle QPR\simeq\angle QPR'$.
  \item O ponto $Q$ est\'a no interior do \^angulo $\angle RPR'$.
    \item Segue da afirma\cao\ precendente que a reta $r$ intesecta um dos lados desse \^angulo, $\overrightarrow{PR}$ ou $\overrightarrow{PR'}$.
  \item Se a reta $r$ intersecta $\overrightarrow{PR}$, est\'a provado o que quer\'iamos, pois $P$ e $R$ s\ao\ pontos de $t$.
  \item Suponha que $r$ intersecta $\overrightarrow{PR'}$ e chame sua interse\cao\ de $A$. Tome $B$ pertencente a $\overrightarrow{PR}$ tal que $PA\simeq PB$.
  \item  Pelo cri\'erio LAL de congru\^encia de tri\^angulos, $\Delta PQA\simeq \Delta PQB$. 
  Logo $\angle PQA$ \'e congruente a $\angle PQB$.
\item O \^angulo $\angle PQA$ \'e reto, porque as retas $r$ e $\overrightarrow{PQ}$ s\ao\ perpendiculares.
  Logo $\angle PQB$ tamb\'em \'e reto e portanto as semirretas $\overrightarrow{QA}$ e $\overrightarrow{QB}$ s\ao\ opostas.
  \item Como $Q$ e $A$ est\ao\ em $r$, $B$ tamb\'em est\'a em $r$ e \'e portanto o ponto de encontro das retas $r$ e $t$.
\end{enumerate}

Temos um  desafio bastante complexo pela frente: justificar os passos corretos desta sucess\ao\ de argumentos, e detectar a passagem em que Legendre usou sem
perceber um fato que s\'o possa ser demonstrado supondo v\'alido o Quinto Postulado, o que torna este um argumento inv\'alido por ser circular. Vamos revisitar 
esta ``demonstra\cao\ errada'' quando a teoria, que come\c{c}aremos a desenvolver sistematicamente na pr\'oxima se\cao,  estiver suficientemente desenvolvida.

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%               INCID\^ENCIA
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\section{Axiomas de Incid\^encia}\label{s2}

S\ao\ apenas tr\^es os termos ou frases adotados sem defini\cao\ na geometria de incid\^encia plana: (1) ponto, (2) reta, (3) um ponto est\'a em uma reta. A partir desses
termos {\em primitivos}, outros termos podem ser definidos: (1) uma reta $r$ passa por $P$ se $P$ est\'a em $r$,
(2) os pontos $P,Q,R,\cdots$ s\ao\ {\em colineares} se existe uma reta $r$ na qual eles todos est\ao, (3) as retas
$r,s,t,\cdots$ s\ao\ {\em concorrentes} se existe um ponto $P$ que est\'a em todas elas, (4) duas retas s\ao\ {\em paralelas} se n\ao\ s\ao\ concorrentes.
\`As vezes diremos tamb\'em que o ponto $P$ ``pertence'' \`a reta $r$ se $P$ est\'a em $r$, mas n\ao\ usaremos o s\'imbolo de pertencimento $\in$ da teoria dos conjuntos,
pois uma reta n\ao\ necessariamente consiste de um conjunto de pontos. 
%Essa afirma\cao\ deve ficar mais clara na Se\cao~\ref{modelos}.

S\ao\ tr\^es os axiomas da Geometria de Incid\^encia:

\begin{enumerate}
\item[{\bf (I1)}] Dados dois pontos $P$ e $Q$, existe uma \'unica reta $r$ que passa por $P$ e por $Q$.
\item[{\bf (I2)}] Dada uma reta $r$, existem pelo menos dois pontos que est\ao\ em $r$.
\item[{\bf (I3)}] Existem pelo menos tr\^es pontos n\ao\ colineares.
\end{enumerate}

Notem que o Axioma I1 \'e o Primeiro Postulado de Euclides. Como j\'a afirmamos na Se\cao~\ref{euclides},
a reta $r$ determinada por $P$ e $Q$ ser\'a denotada por $\overleftrightarrow{PQ}$ ou $\overleftrightarrow{QP}$.

\begin{prop}\label{I0} O ponto $R$, distinto de $P$, est\'a em $\overleftrightarrow{PQ}$ se e somente se  $\overleftrightarrow{PQ}=\overleftrightarrow{PR}$.\end{prop}
\dem\ Se o ponto $R$ est\'a em  $\overleftrightarrow{PQ}$, ent\ao\ a \'unica reta determinada por $P$ e $R$ \'e
$\overleftrightarrow{PQ}$, ou seja,  $\overleftrightarrow{PR}=\overleftrightarrow{PQ}$.

Por defini\cao, $R$ \'e um ponto de  $\overleftrightarrow{PR}$. Logo, se $\overleftrightarrow{PQ}=\overleftrightarrow{PR}$, ent\ao\
$R$ \'e um ponto de  $\overleftrightarrow{PQ}$.\cqd

\begin{prop}\label{I1} Dadas duas retas concorrentes $r$ e $s$, existe apenas um ponto $P$ que est\'a nas duas simultaneamente.\end{prop}
\dem\ Se existissem dois pontos $P$ e $Q$ ambos pertencentes \`as retas $r$ e $s$, ent\ao, pela unicidade postulada no Axioma I1,
$r$ e $s$ seriam a mesma reta, $r=s=\reta{PQ}$. Mas, por hip\'otese, elas s\ao\ duas retas. \cqd

Dadas duas retas concorrentes $r$ e $s$, se $P$ \'e o \'unico ponto que est\'a simultaneamente em $r$ e $s$, ent\ao\ diremos que $P$ \'e o {\em ponto de interse\cao} de $r$ e $s$. 

\begin{prop}\label{I2}  Existem tr\^es retas n\ao-concorrentes; isto \'e existem tr\^es retas $r$, $s$ e $t$ tal que n\ao\ existe
  um ponto $P$ que esteja em $r$, em $s$ e em $t$ simultaneamente.\end{prop}
\dem\ O Axioma I3 garante que existem tr\^es pontos n\ao-colineares $A$, $B$ e $C$. Afirmo que as retas $\overleftrightarrow{AB}$,
$\overleftrightarrow{BC}$ e $\overleftrightarrow{CA}$ s\ao\ distintas e n\ao-colineares. De fato, s\ao\ tr\^es retas distintas porque
se duas delas fossem iguais, os tr\^es pontos seriam colineares (Proposi\cao~\ref{I0}). E, pela Proposi\cao~\ref{I1}, $B$ \'e o \'unico ponto que pertence
simultaneamente a $\overleftrightarrow{AB}$ e a $\overleftrightarrow{BC}$. Logo, se as tr\^es retas fossem concorrentes,
$B$ pertenceria a $\overleftrightarrow{AC}$, contradizendo o fato de que $A$, $B$ e $C$ n\ao\ s\ao\ colineares.
\cqd

\begin{prop} \label{I3} Dada uma reta $r$, existe pelo menos um ponto $P$ que n\ao\ est\'a em $r$.\end{prop}
\dem\ O Axioma I3 garante que existem tr\^es pontos n\ao-colineares $A$, $B$ e $C$. Pelo menos um  dos tr\^es pontos
n\ao\ est\'a em $r$; pois, caso contr\'ario, os tr\^es pontos seriam colineares. \cqd

\begin{prop}\label{I4} Dado um ponto $P$, existe pelo menos uma reta que n\ao\ passa por $P$.\end{prop}
\dem\ Se todas as retas passassem por $P$, n\ao\ existiriam tr\^es retas n\ao-concorrentes, contrariando a Proposi\cao~\ref{I2}. \cqd

\begin{prop}\label{I5} Dado um ponto $P$, existem pelo menos duas retas que passam por $P$. \end{prop}

\begin{prob}{\em Demonstre a Proposi\cao\ \ref{I5}.}\end{prob}

\begin{prob}{\em Mostre que, dado um ponto $P$, existem pontos $Q$ e $R$ tais que $P$, $Q$ e $R$ n\ao\ sejam colineares.}\end{prob}

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%          MODELOS
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\section{Modelos}
\label{modelos}

Dado um sistema axiom\'atico, tal como a Geometria de Incid\^encia, uma {\em interpreta\cao} do sistema \'e a atribui\cao\
de significados aos termos adotados sem defini\cao. Se os axiomas, com essa interpreta\cao, s\ao\ afirma\coes\ verdadeiras, essa interpreta\cao\ \'e um
{\em modelo}. Os axiomas da geometria de incid\^encia s\ao\ t\ao\ frouxos que permitem a exist\^encia de modelos completamente diferentes entre si,
como veremos nesta se\cao. Em dois desses exemplos, usaremos os n\'umeros reais. 

As proposi\coes\ que se demonstrem usando apenas os axiomas (I1), (I2) e (I3) e suas consequ\^encias ser\ao\ automaticamente v\'alidas em qualquer modelo da
Geometria de Incid\^encia. 

Na linguagem da teoria dos conjuntos, uma interpreta\cao\ da Geometria de Incid\^encia consiste de um conjunto de pontos $\mathcal{P}$, um conjunto de
retas $\mathcal{L}$ e, para descrever a no\cao\ de estar-em, um subconjunto $\mathfrak{R}$ de $\mathcal{P}\times\mathcal{L}$. Diremos que $P$ est\'a em $r$ se,
e somente se, $(P,r)\in\mathfrak{R}$. Chamaremos a no\cao\ de estar-em tamb\'em de ``rela\cao\ de incid\^encia''.  

\subsection*{Plano de Descartes} Os pontos s\ao\ os elementos de $\R^2$. As retas s\ao\ os subconjuntos de $\R^2$ da forma
\[
L_{a,b,c}\coloneqq\{(x,y);\,ax+by=c\}, \ \ a,b,c\in\R,\ (a,b)\neq (0,0).
\]
Um ponto $P$ est\'a na reta $r$ se $P\in r$. As Proposi\coes~\ref{Descartes1} e~\ref{Descartes2}, enunciadas e demonstradas a seguir,
expressam que, para esta interpreta\cao, os axiomas (I1) e (I2)
s\ao\ satisfeitos. Os pontos $A=(0,0)$, $B=(1,0)$ e $C=(0,1)$ n\ao\ s\ao\ colineares pois $\overleftrightarrow{AB}$ \'e a reta de equa\cao\ $y=0$, que n\ao\ passa pelo
ponto $C$; ou seja, tamb\'em o Axioma I3 \'e satisfeito. Tudo junto, 
isso mostra que o {\em plano cartesiano} \'e um modelo da Geometria de Incid\^encia (leia mais sobre isso em \cite[Section 2.1]{MP} e \cite[Chapter 2]{M}).

\begin{prop} \label{Descartes1} Dados dois pontos $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ em $\R^2$, existe uma \'unica reta $r$ que passa por $(x_1,y_1)$ e
  $(x_2,y_2)$.\end{prop}
\dem\ Dados dois pontos $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ em $\R^2$, \'e imediato verificar que a equa\cao\
\begin{equation}\label{reta}
    (y_2-y_1)x+(x_1-x_2)y=(y_2-y_1)x_1+(x_1-x_2)y_1 
  \end{equation}
\'e satisfeita pelos dois pontos dados. O par de coeficientes $(y_2-y_1,x_1-x_2)$ \'e diferente de $(0,0)$ porque os pontos $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ s\ao\ distintos.
Logo $(y_2-y_1)x+(x_1-x_2)y=(y_2-y_1)x_1+(x_1-x_2)y_1$ \'e a equa\cao\ de uma reta que passa pelos dois pontos dados. Isto prova a exist\^encia.

Suponha que $ax+by=c$ \'e a equa\cao\ de uma reta que passa pelos dois pontos dados, $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$; isto \'e, suponha que vale $ax_1+by_1=ax_2+by_2=c$.
Vamos provar que a equa\cao\ $ax+by=c$ \'e equivalente \`a equa\cao\ em (\ref{reta}).
\footnote{Ou seja, vamos provar que $(x,y)$ satisfaz $ax+by=c$  se e somente se $(x,y)$ satisfaz (\ref{reta}); em outras palavras, vamos provar
  que o conjunto de solu\coes\ da equa\cao\ $ax+by=c$ \'e id\^entico ao conjunto de solu\coes\ da equa\cao\ (\ref{reta})}
Vamos dividir o argumento em tr\^es casos: (i) $x_1=x_2$ e $y_2\neq y_1$, (ii) $x_1\neq x_2$ e $y_2=y_1$, (iii) $x_1\neq x_2$ e $y_1\neq y_2$
(o caso em que $x_1=x_2$ e $y_1=y_2$ n\ao\ ocorre porque os pontos s\ao\ distintos).

No caso em que $x_1=x_2$ e $y_2\neq y_1$, segue de $ax_1+by_1=ax_1+by_2=c$ que $b(y_2-y_1)=0$, logo $b=0$ (pois $y_2-y_1\neq 0$). Da\'i segue que $a\neq 0$ (pois $(a,b)\neq(0,0)$).
Como $b=0$, a equa\cao\ $ax+by=c$ se reduz a $ax=c$, que \'e equivalente a $x=\frac{c}{a}$. Como a reta passa por $(x_1,y_1)$, temos $x_1=\frac{c}{a}$, ou seja, a
equa\cao\ $ax+by=c$ \'e equivalente a $x=x_1$, que \'e o que se obt\'em fazendo $x_1=x_2$ em (\ref{reta}) e dividindo por $y_2-y_1$, que n\ao\ \'e nulo.

O mesmo argumento, trocando as letras,  mostra que, se $x_1\neq x_2$ e $y_2=y_1$, ent\ao\ a equa\cao\ $ax+by=c$ \'e equivalente a $y=y_1$, que \'e o que
se obt\'em fazendo $y_2-y_1=0$ em (\ref{reta}) e dividindo por $x_2-x_1$. 

No caso em que $x_2-x_1$ e $y_2-y_1$ s\ao\ n\ao\ nulos, segue de $ax_1+by_1=ax_2+by_2=c$ que
$a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0$. Da\'i, como $(a,b)\neq (0,0)$, segue que $a$ e $b$ s\ao\ diferentes de zero e que $b=a\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}$.
Substituindo esta igualdade em $ax+by=c$, vem
\[
ax+a\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}y=c.
\]
Como o ponto $(x_1,y_1)$ satisfaz esta equa\cao, vem
\[
ax_1+a\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}y_1=c.
\]
Igualando os dois primeiros membros das duas \'ultimas equa\coes\ e cancelando o $a$, vem
\[
x+\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}y=x_1+\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}y_1,
\]
que \'e equivalente a (\ref{reta}).

Separando em tr\^es casos, acabamos de provar que, dados dois pontos $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$, se $L$
\'e uma reta que passa por ambos os pontos, ent\ao\ $L$ \'e a reta de equa\cao\  $(y_2-y_1)x+(x_1-x_2)y=(y_2-y_1)x_1+(x_1-x_2)y_1$.
Ou seja, provamos a unicidade. \cqd



\begin{prop}\label{Descartes2}
Toda reta do Plano de Descartes possui pelo menos dois pontos. 
  \end{prop}
\dem\ 
Seja $r$ a reta de equa\cao\ $ax+by=c$. Queremos provar que $r$ possui pelo menos dois pontos. Separemos a demonstra\cao\ em casos.

{\sc Caso 1}. Se $a\neq 0$ e $b\neq 0$, ent\ao\ $(0,\frac{c}{b})$ e $(\frac{c}{a},0)$ s\ao\ dois pontos distintos de $r$.

{\sc Caso 2}. Se $a\neq 0$ e $b=0$, ent\ao\ $(\frac{c}{a},0)$ e $(\frac{c}{a},1)$ s\ao\ dois pontos distintos de $r$.

{\sc Caso 3}. Se $a=0$ e $b\neq 0$, ent\ao\ $(0,\frac{c}{b})$ e $(1,\frac{c}{b})$ s\ao\ dois pontos distintos de $r$.\cqd

\begin{prob}\label{5D} {\em Mostre que, no Plano de Descartes, dadas uma reta $r$ e um ponto $P$ que n\ao\ est\'a em $r$, existe uma \'unica reta paralela a $r$
    passando por $P$}.\end{prob}

\subsection*{Plano de Poincar\'e} Os pontos s\ao\ os elementos do conjunto $P\coloneqq\{(x,y)\in\R^2;\,y>0\}$. As retas s\ao\ os subconjuntos
de $P$ da \label{defretaP} forma $L_a$, $a\in \R$, ou $L_{a,r}$, $a\in \R$, $r>0$, definidos por
\[
L_a\coloneqq\{(x,y)\in P;\,x=a\}, \ \ \ L_{a,r}\coloneqq\{(x,y)\in P;\,(x-a)^2+y^2=r^2\}.
\]
Um ponto $P$ est\'a na reta $r$ se $P\in r$.

Veriquemos que os axiomas da Geometria de Incid\^encia s\ao\ satisfeitos no Plano de Poincar\'e.
Considere dois pontos $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ em $P$. Dois casos devem ser considerados: (1) $x_1=x_2$,
(2) $x_1\neq x_2$. No primeiro caso, a reta $L_c$, $c=x_1=x_2$, passa por $(x_1,y_1)$ e por $(x_2,y_2)$. Nenhuma reta $L_b$, com $b\neq c$ passa por $(c,y_1)$ ou $(c,y_2)$. Quaisquer
dois pontos numa reta $L_{a,r}$, $a\in\R$, $r>0$, possuem abscissas distintas. Logo $L_c$ \'e a \'unica reta passando por $(c,x_1)$ e $(c,x_2)$. No segundo caso, por terem abscissas
distintas, os pontos  $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ n\ao\ podem estar em uma mesma reta $L_a$, $a\in\R$. E eles est\ao\ em uma reta $L_{a,r}$, $a\in\R$, $r>0$, se e somente se
o sistema de  equa\coes\
\begin{equation}\label{sistema}
\left\{
\begin{array}{l}
  (x_1-a)^2+y_1^2=r^2\\
 (x_2-a)^2+y_2^2=r^2
\end{array}
\right.
\end{equation}
\'e satisfeito.
Suponha que vale (\ref{sistema}). Comparando as duas equa\coes, conclu\'imos que vale tamb\'em
\begin{equation}\label{compara}
(x_1-a)^2+y_1^2=(x_2-a)^2+y_2^2
\end{equation}
Da\'i segue que $x_1^2-2ax_1+y_1^2=x_2^2-2ax_2+y_2^2$ e, da\'i,
\begin{equation}\label{a}
 a=\frac{(x_2^2+y_2^2)-(x_1^2+y_1^2)}{2(x_2-x_1)}.
\end{equation}
Combinada  \`a primeira das equa\coes\ em (\ref{sistema}), (\ref{a}) implica que
\begin{equation}\label{r}
    r=\sqrt{\left[x_1-\frac{(x_2^2+y_2^2)-(x_1^2+y_1^2)}{2(x_2-x_1)}\right]^2+y_1^2}.
\end{equation}
Mostramos que (\ref{sistema}) implica (\ref{a}) e (\ref{r}). Ou seja, provamos que se existir uma reta do tipo $L_{a,r}$ passando por $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$,
ent\ao\ $a$ e $r$ necessariamente ser\ao\ dados por (\ref{a}) e (\ref{r}).

Ou seja, provamos a unicidade de (I1) tamb\'em no caso em que $x_1\neq x_2$. Para provar a exist\^encia, devemos verificar que (\ref{a}) e (\ref{r}) implicam (\ref{sistema}). Espero que esteja
vis\'ivel para os leitores que (\ref{a}) e (\ref{r}) implicam a primeira das equa\coes\ em (\ref{sistema}). Por outro lado, (\ref{a}) implica (\ref{compara}) (os c\'alculos
que mostraram que (\ref{compara})$\Longrightarrow$(\ref{a}) mostram tamb\'em que (\ref{a})$\Longrightarrow$(\ref{compara})\,). A equa\cao\ (\ref{compara}),
combinada \`a primeira das equa\coes\ em (\ref{sistema}), implica a segunda das equa\coes\ em (\ref{sistema}).
% que existem \'unicos $a$ e $r$ tais que$(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ est\ao\ em $L_{a,r}$.
 Isto conclui a demonstra\cao\ de que o Axioma I1 \'e satisfeito nesta interpreta\cao\ da Geometria de Incid\^encia.

Para provar que o Axioma I2 \'e satisfeito para esta interpreta\cao, de novo \'e preciso separar em dois casos. Dada uma reta do tipo $L_a$, $a\in\R$, existem
infinitos pontos na reta, a saber, $(a,t)$, $t>0$. Dada uma reta do tipo $L_{a,r}$, existem infinitos pontos na reta, a saber, $(t,\sqrt{r^2-t^2})$, $-r<t-a<r$.
Logo toda reta possui pelo menos dois pontos.

A \'unica reta que passa pelos pontos $A=(0,1)$ e $B=(0,2)$ \'e $L_0$. Considere o ponto $C=(1,1)$. Se $A$, $B$ e $C$ estivessem em
uma mesma reta, pela unicidade de (I1) aplicado aos pontos $A$ e $B$, essa reta seria a reta $\overleftrightarrow{AB}=L_0$  e portanto $C$ pertenceria
a $L_0$. Mas $C$ n\ao\ pertence a $L_0$, pois sua abscissa \'e diferente de 0. Logo $A$, $B$ e $C$ n\ao\ s\ao\ colineares. Logo o Axioma I3 \'e satisfeito. 

\begin{prob}\label{n5P} {\em Mostre que, no Plano de Poincar\'e, dadas uma reta $r$ e um ponto $P$ que n\ao\ est\'a em $r$, existem infinitas distintas retas paralelas a $r$
    passando por $P$}.\end{prob}

\begin{prob}
  {\em Exiba tr\^es retas $r$, $s$ e $t$  no Plano de Poincar\'e tais que: (i) $r$ \'e paralela a $s$, (ii) $s$ \'e paralela a $t$, (iii) $r$ e $t$ s\ao\ concorrentes}.\end{prob}

\subsection*{Geometrias finitas}
O modelo mais simples para a geometria de incid\^encia consiste em declarar que os pontos s\ao\ os elementos de um conjunto $S$ com pelo menos tr\^es elementos,
que as retas s\ao\ os subconjuntos de dois elementos de $S$ e que um ponto $P$ est\'a na reta $r$ se $P\in r$. O caso em que $S$ \'e finito j\'a fornece
um exemplo interessante. Chamaremos de ``geometria de $n$ pontos'' o modelo associado a $S$ no caso em que $S$ possui $n$ elementos. 

\begin{prob}\label{5finito}
  {\em Mostre que: (a) na geometria de tr\^es pontos n\ao\ existem retas paralelas; (b) na geometria de quatro pontos,
    dadas uma reta $r$ e um ponto $P$ que n\ao\ est\'a em $r$, existe uma \'unica paralela a $r$
    passando por $P$;
    (c) na geometria de cinco pontos, dadas uma reta $r$ e um ponto $P$ que n\ao\ est\'a em $r$, existem pelo menos duas paralelas a $r$
    passando por $P$.}\end{prob}

\begin{prob}{\em Considere a seguinte interpreta\cao\ da geometria de incid\^encia: os pontos s\ao\ os elementos do conjunto $S\coloneqq\{A,B,C,D\}$,
    as retas s\ao\ os seguintes subconjuntos de $S$: 
    $\{A,B\}$, $\{A,C\}$, $\{A,D\}$ e  $\{B,C,D\}$.
(a) Mostre que todos os axiomas de incid\^encia s\ao\ satisfeitos. (b) Mostre que neste modelo n\ao\ existem retas paralelas.}\end{prob}

\begin{prob}\label{interpreta}
  {\em Chame de pontos os elementos do conjunto $S\coloneqq\{A,B,C,D\}$, chame de retas os seguintes subconjuntos de $S$,
    \[
\{A,B,D\},\ \ \{B,C,D\},\ \ \{A,C\},
\]
diga que um ponto $P$ est\'a numa reta $r$ se $P\in r$. Mostre que: (a) dados dois pontos existe uma reta passando por eles, mas nem sempre essa reta
\'e \'unica, (b) toda reta possui pelo menos dois pontos, (c) existem tr\^es pontos n\ao-colineares, (d) n\ao\ existe um par de retas paralelas.}
\end{prob}


\noindent
{\tt O Plano de Fano}. Os pontos s\ao\ os elementos do conjunto $S\coloneqq\{A,B,C,D,E,F,G\}$. As retas s\ao\ os seguintes
subconjuntos de tr\^es pontos de $S$:
\[
\{A,B,D\},\ \ \{A,F,E\},\ \ \{A,C,G\},\ \ \{G,F,B\},\ \ \{G,E,D\},\ \ \{D,F,C\},\ \ \{C,B,E\}.
\]
Um ponto $P$ est\'a na reta $r$ se $P\in r$.
Este \'e o Exemplo 6 de \cite[Chapter 2]{G}, veja l\'a uma figura ilustrativa. Voc\^e pode ler sobre isso tamb\'em
no verbete ``Fano plane'' da Wikipedia em ingl\^es ou no verbete ``Plano de Fano'' da Wikipedia em espanhol. O Plano de Fano \'e um modelo da geometria
de incid\^encia em que todas as retas se encontram, cada reta passa por tr\^es pontos e por cada ponto passam tr\^es retas. 

\noindent
    {\tt A geometria dual da geometria de tr\^es pontos}. As retas s\ao\ os elementos do conjunto de tr\^es elementos $S\coloneqq\{A,B,C\}$.
    \label{gdual} Os pontos
s\ao\ os subconjuntos de dois elementos de $S$. Um ponto $P$ est\'a na reta $r$ se $r\in P$.

\subsection*{Esfera de Riemann}
Os pontos s\ao\ os elementos de uma esfera, as retas s\ao\ os {\em c\'irculos m\'aximos}, ou seja, c\'irculos contidos na esfera
e com centro igual ao centro da
esfera. N\ao\ existem retas paralelas. Esta interpreta\cao\ n\ao\ \'e um modelo da geometria de incid\^encia, pois existem infinitas retas passando por dois pontos
antipodais dados. Uma maneira de transformar essa interpreta\cao\ imperfeita em um modelo da geometria de incid\^encia \'e chamar de pontos
os elementos do quociente da esfera pela rela\cao\ de equival\^encia
\footnote{Quem n\ao\ for familiar com rela\coes\ de equival\^encia, por favor leia a Se\cao~\ref{relequ}.}
que identifica ant\'ipodas. As
retas s\ao\ as imagens dos c\'irculos m\'aximos no quociente. 

\subsection*{Planos projetivos} Em um modelo da geometria de incid\^encia no qual seja v\'alido o Quinto Postulado de Euclides (na vers\ao\ de
Playfair, tal como
enunciado no Postulado 5 da Se\cao~\ref{euclides}), o paralelismo de retas define uma rela\cao\ de equival\^encia. Isso permite que se ``projetize'' o modelo, acrescentando
como ``pontos no infinito'' as classes de equival\^encia de retas paralelas. \'E o que fazemos nesta subse\cao, seguindo os passos expostos
na \'ultima se\cao\ do Cap\'itulo 2 de \cite{G}. 

\begin{prop}\label{transpar}
  Seja dado um modelo da geometria de incid\^encia em que seja v\'alido o Postulado 5: dados uma reta $r$ e um ponto $P$
  que n\ao\ est\'a em $r$, existe uma \'unica reta $s$ que passa por $P$ e \'e paralela a $r$. Se tr\^es retas  $r$, $s$ e $t$ s\ao\ 
  tais que $r$ \'e paralela a $s$ e $s$ \'e paralela a $t$, ent\ao\ $r$ \'e paralela a $t$.\end{prop}
\dem\ Suponha que $r$ n\ao\ seja paralela a $t$ e seja $P$ o ponto que est\'a em $r$ e em $t$. Ent\ao\ $r$ e $t$ s\ao\ duas paralelas a $s$ passando
por $P$, o que contradiz o Quinto Postulado. \cqd

Seja ($\mathcal{P}$, $\mathcal{L}$) um modelo da geometria de incid\^encia em que \'e v\'alido o Postulado 5; $\mathcal{P}$ denotando o conjunto de pontos e
$\mathcal{L}$ denotando o conjunto de retas. Dadas $r$ e $s$ 
em $\mathcal{L}$, definimos: $r\sim s$ se e somente se $r=s$ ou $r$ \'e paralela a $s$. A rela\cao\ $\sim$ \'e, obviamente, reflexiva e sim\'etrica.
Segue da Proposi\cao~\ref{transpar}
que $\sim$ \'e tamb\'em transitiva e, portanto, \'e uma rela\cao\ de equival\^encia. Para cada reta $r$ de $\mathcal{P}$, denotamos
\[
[r]\ =\ \{s;\,s\ \text{\'e reta de}\ \mathcal{P}\ \text{e}\ s\sim r\}.
\]

Definamos $\mathcal{P}^*$ como a uni\ao\ disjunta de $\mathcal{P}$ com o conjunto das classes de equival\^encia de retas parelas,
\[
\mathcal{P}^*\,=\,\mathcal{P}\cup \{[r];\,r\in \mathcal{L}\},
\]
e $\mathcal{L}^*$ como sendo a uni\ao\ disjunta de $\mathcal{L}$ com a ``reta no infinito'' $l_{_\infty}$, 
\[
\mathcal{L}^*\,=\,\mathcal{L}\cup \{ l_{_\infty} \}.
\]
Para obtermos uma interpreta\cao\ em que os elementos de $\mathcal{P}^*$ sejam pontos e os elementos de $\mathcal{L}^*$ sejam retas, precisamos definir o que
significa um ``ponto'' $P\in\mathcal{P}^*$ estar em uma ``reta'' $r\in\mathcal{L}^*$. Diremos que $[r]$ est\'a em $r$ para toda $r\in\mathcal{L}$;
$[r]$ torna-se assim o ``ponto no infinito'' da reta $r$ e de todas as retas $s\in\mathcal{L}$ paralelas a $r$ no modelo original.
Diremos tamb\'em que todos os ``pontos no infinito'' est\ao\ na ``reta no infinito''; isto \'e, $[r]$ est\'a em $l_{_\infty}$, para toda $r\in\mathcal{L}$.
Al\'em disso, todas as rela\coes\ de incid\^encia do modelo original continuam v\'alidas. Finalmente, decretamos que as afirma\coes\ precededentes s\ao\ todas
as rela\coes\ de incid\^encia na nova interpreta\cao.

\'E como se  um par de retas paralelas do  modelo original agora passasse a se encontrar em um ponto no infinito desta interpreta\cao\ ampliada. 

\begin{prop} Com as defini\coes\ acima, a interpreta\cao\ $(\mathcal{P}^*,\mathcal{L}^*)$ \'e um modelo da geometria de incid\^encia;
  isto \'e, os axiomas (I1), (I2) e (I3)  s\ao\ satisfeitos. \end{prop}
\dem\ Segue de como definimos a rela\cao\ de incid\^encia para $(\mathcal{P}^*, \mathcal{L}^*)$ que tr\^es pontos em $\mathcal{P}$ s\ao\ colineares no modelo original
se e somente se s\ao\ colineares na nova interpreta\cao. Segue ent\ao\ do fato de que (I3) \'e satisfeito no modelo original $(\mathcal{P},\mathcal{L})$ que (I3)
tamb\'em \'e satisfeito na interpreta\cao\ ampliada $(\mathcal{P}^*,\mathcal{L}^*)$.

Segue de (I2) para o modelo original que, dada uma reta $r\in\mathcal{L}$, existem pelo menos dois pontos $P,Q\in\mathcal{P}$ em $r$. Para verificar (I2)
para a interpreta\cao\ ampliada, basta portanto mostrar que $l_{_\infty}$ possui pelo menos dois pontos; ou seja, que existem duas retas $r$ e $s$ em $\mathcal{L}$ que n\ao\
s\ao\ paralelas. Isso segue de (I3) para o modelo original. De fato, se $A$, $B$ e $C$ s\ao\ tr\^es pontos n\ao\ colineares em $\mathcal{P}$, que existem,
por causa de (I3), ent\ao\ $r=\reta{AB}$ e $s=\reta{AC}$ s\ao\ duas retas colineares em $\mathcal{L}$.

Para verificar que (I1) \'e satisfeito na interpreta\cao\ $(\mathcal{P}^*,\mathcal{L}^*)$, vamos dividir nosso argumento em tr\^es casos: (i) os dois pontos dados $P$ e $Q$ est\ao\
em $\mathcal{P}$, (ii) os dois pontos s\ao\ pontos no infinito.  (iii) $P$ est\'a em $\mathcal{P}$ e $Q$ \'e um ponto no infinito,

No caso (i), segue de (I1) para o modelo original que existe uma reta em $\mathcal{L}$ que passa por $P$ e $Q$. Como toda reta de $\mathcal{L}$ \'e tamb\'em uma reta
em $\mathcal{L}^*$, segue que existe uma reta em $\mathcal{L}^*$ passando por $P$ e $Q$. A \'unica reta em $\mathcal{L}^*$ que n\ao\ pertence tamb\'em a $\mathcal{L}$ \'e
$l_{_{\infty}}$. Logo, para provar a unicidade da reta que passa por $P$ e $Q$, basta observar $P$ e $Q$ n\ao\ est\ao\ em $l_{_{\infty}}$, cujos pontos s\ao\ todos
da forma $[r]$, para alguma reta $r$ do modelo original.

No caso (ii), a verifica\cao\ de (I1) segue imediatamente  dos fatos de que todos os pontos no infinito est\ao\ em $l_{_{\infty}}$ e de que as demais
retas de $\mathcal{L}^*$ possuem apenas um ponto no infinito; logo $l_{_{\infty}}$ \'e a \'unica reta que passa por dois pontos no infinito.

Suponhamos agora que $P$ \'e um ponto do modelo original e $Q=[r]$ para alguma reta $r$ do modelo original. Para verificar a validade de (I1) neste caso, precisamos
dividir o argumento em ainda dois subcasos. Suponhamos primeiro (subcaso iii-a) que, relativamente \`a rela\cao\ de incid\^encia do modelo original, $P$ est\'a em $r$.
Ent\ao\ $r$ \'e uma reta em $\mathcal{L}^*$ que, relativamente \`a rela\cao\ de incid\^encia da interpreta\cao\ estendida, passa por $P$ e $[r]$. Isto prova a exist\^encia.
J\'a sabemos que, por defini\cao, $l_{_{\infty}}$ n\ao\ passa por $P$. Logo, para provar a unicidade neste subcaso iii-a, resta provar que, se $s$  \'e uma reta de
$\mathcal{L}$ que passa por $P$ e $[r]$, ent\ao\ $s=r$. O \'unico ponto no infinito que est\'a em $s$ \'e $[s]$.
Logo $s$ passa por $[r]$ se, e somente se, $[s]=[r]$, o que ocorre se, e somente se, $r=s$ ou $r$ e $s$ s\ao\ paralelas. As retas $r$ e $s$
n\ao\ s\ao\ paralelas pois ambas passam por $P$. Logo $r=s$, como quer\'iamos.

Suponhamos finalmente (subcaso iii-b) que $P$ \'e um ponto do modelo original, $Q=[r]$ para alguma
reta $r$ do modelo original e que $r$ n\ao\ passa por $P$. Segue do Postulado 5 que existe uma \'unica reta $s$ do modelo original que \'e paralela a $r$ (logo $[s]$=$[r]$)
e passa por $P$. Ent\ao\ $s$ passa por $P$ e $[r]$. Resta provar que $s$ \'e a \'unica reta que, na  interpreta\cao\ estendida, passa por $P$ e $[r]$.
J\'a sabemos que, por defini\cao, $l_{_{\infty}}$ n\ao\ passa por $P$.
Logo, para provar a unicidade neste subcaso iii-b, resta provar que, se $s'$ \'e uma reta de
$\mathcal{L}$ que passa por $P$ e $[r]$, ent\ao\ $s'=s$. Seja $s'$ uma tal reta.
O \'unico ponto no infinito que est\'a em $s'$ \'e $[s']$. Ent\ao\ $s'$ passa por $[r]$ se, e somente se, $[s']=[r]$, o que ocorre se, e somente se, $r=s'$ ou $r$ e $s'$
s\ao\ paralelas. Como $P$ n\ao\ est\'a em $r$ mas est\'a em $s'$, temos $r\neq s'$. Logo, se $s'$ passa por $[r]$, ent\ao\ $s'$ \'e paralela a $r$. Pela unicidade do
Postulado 5, segue que $s=s'$. \cqd
    
O modelo $(\mathcal{P}^*,\mathcal{L}^*)$ \'e chamado de {\em o completamento projetivo} do modelo $(\mathcal{P},\mathcal{L})$.

\begin{prob}{\em Mostre que todas os pares de retas em um completamento projetivo s\ao\ concorrentes}.\end{prob}

O Plano de Fano, previamente definido, \'e o completamento projetivo do modelo mais simples da Geometria de Incid\^encia que satisfaz o Quinto Postulado,
a geometria de quatro pontos. Mais especificamente, se o conjunto de pontos da geometria original for $\mathcal{P}=\{A, D, F, G\}$ e as retas forem os subconjuntos de
dois pontos de $\mathcal{P}$, ent\ao\ o ponto no infinito da classe $[\reta{AF}]$ \'e $E$, o ponto no infinito de $[\reta{FD}]$ \'e $C$, o de $[\reta{GF}]$ \'e $B$;
enquanto que a reta no infinito \'e $\{B,E,C\}$. 

Para uma interpreta\cao\ geom\'etrica do completamento projetivo do Plano de Descartes, veja
\cite[Exemplo 2.7, Figura 2.8]{G}.



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%              ORDENAMENTO
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\section{Axiomas de Ordenamento}\label{s4}

Nesta se\cao, acrescentamos \`a formula\cao\ axiom\'atica da Geometria iniciada na Se\cao~\ref{s2} o termo primitivo ``estar entre'', enunciamos os axiomas
satisfeitos por esse novo termo primitivo e exploramos algumas de suas consequ\^encias. 

A express\ao\ $A*B*C$ denota a afirma\cao\ ``$B$ est\'a entre $A$ e $C$''. S\ao\ os seguintes os tr\^es primeiros axiomas satisfeitos por essa rela\cao:

\begin{enumerate}
\item[{\bf (B1)}] Se $A*B*C$, ent\ao\ (i) $A$, $B$ e $C$ s\ao\ tr\^es pontos  colineares e (ii) $C*B*A$.
\item[{\bf (B2)}] Dados dois pontos $B$ e $D$, existem pontos $A$, $C$ e $E$ tais que $A*B*D$, $B*C*D$ e $B*D*E$.
\item[{\bf (B3)}] Dados tr\^es pontos colineares, um e apenas um deles est\'a entre os outros dois. 
\end{enumerate}

David Hilbert \cite{H} chamou de {\em Axiome der Anordnung} os axiomas satisfeitos pela no\cao\ de ``estar entre''. Em ingl\^es, em particular
nas refer\^encias \cite{G,MP,M} nas quais se baseiam estas notas, chama-se o ``estar entre'' de  ``betweenness'', substantivo abstrato
intraduz\'ivel para o portugu\^es.


Dados dois pontos $A$ e $B$, denotamos por $AB$ o segmento com extremidades $A$ e $B$ e por $\overrightarrow{AB}$ a semirreta
com origem em $A$ que passa por $B$ (veja as Defini\coes\ \ref{segmento} e \ref{semirreta}). Podemos escrever
\begin{equation}\label{defconj}
AB\coloneqq\{A,B\}\cup\{P;\,A*P*B\}\ \ \ \ \text{e}\ \ \ \ \overrightarrow{AB}\coloneqq AB\cup\{P;\,A*B*P\}
\end{equation}
Note que $AB$ e $\overrightarrow{AB}$ s\ao\ subconjuntos do conjunto
%\footnote{Na abordagem de \cite{G}, que adotamos nestas notas de aula, uma reta \'e apenas um termo primitivo, que n\ao\ se define.
%Com uma \'unica exce\c{c}\~ao, nos modelos discutidos na Se\cao~\ref{s2} uma reta \'e interpretada como sendo um conjunto de pontos e o termo
%  primitivo ``estar em'' \'e interpretado como o ``pertence'' da teoria dos conjuntos. Mas h\'a modelos da geometria de incid\^encia em que retas
%n\ao\ s\ao\ subconjuntos de pontos e o termo primitivo ``estar em'' n\ao\ \'e interpretado como o ``pertence'' da teoria dos conjuntos.}
  de todos os pontos que est\ao\ na reta $\overleftrightarrow{AB}$,
\[
\{\overleftrightarrow{AB}\}\coloneqq\{P;\,P\ \text{\'e um ponto que est\'a em}\ \overleftrightarrow{AB}\}. 
\]

\begin{prop}\label{pb0} Dados dois pontos $A$ e $B$, temos $AB=BA$.\end{prop}
\dem\ Os pontos extremos dos dois segmentos s\ao\ os mesmos, logo basta provar que, dado um ponto $P$, $A*P*B\Longleftrightarrow B*P*A$. Mas
isto \'e consequ\^encia imediata do item (ii) do axioma (B1).\cqd

\begin{prop}\label{separa} Seja $r$ uma reta, seja $O$ um ponto em $r$, seja $A$ um ponto que n\ao\ est\'a em $r$. Se $A*O*B$ ou se $A*B*O$, ent\ao\
  $B$ n\ao\ est\'a em $r$. \end{prop}
\dem\ Em qualquer dos dois casos, $A*O*B$ ou $A*B*O$, segue do Axioma B1 que $O$ est\'a em $\reta{AB}$.
Se $B$ estivesse em $r$, $r$ e $\reta{AB}$ teriam dois pontos em comum, $O$ e $B$; logo seriam iguais,
pela unicidade postulada no Axioma I1; logo $A$ estaria em $r$, contrariando a hip\'otese. Logo $B$ n\ao\ est\'a em $r$. \cqd 

\begin{prop}\label{pbmeio} Sejam $Q$, $A$ e $B$ pontos colineares, com $A\neq B$. Ent\ao\  $Q*A*B$ se e somente se $Q\not\in\overrightarrow{AB}$. \end{prop}

\dem\ Segue de (\ref{defconj}) que $Q$ pertence a $\overrightarrow{AB}$ se e somente se uma das seguintes afirma\coes\ s\ao\
verdadeiras: (i) $Q=A$, (ii) $Q=B$, (iii) $A*Q*B$, ou (iv) $A*B*Q$. Equivalentemente, $Q\not\in\semi{AB}$ se e somente se as afirma\coes\
(i), (ii), (iii) e (iv) s\ao\ falsas. Queremos portanto provar que $Q*A*B$ se e somente se as afirma\coes\
(i), (ii), (iii) e (iv) s\ao\ falsas.

Se $Q*A*B$, segue do Axioma B1 que $Q\neq A$ e $Q\neq B$ e segue do Axioma B3 que n\ao\ ocorre $A*Q*B$, nem $A*B*Q$.
Logo s\ao\ falsas as afirma\coes\ (i), (ii), (iii) e (iv).

Reciprocamente, suponhamos que (i), (ii), (iii) e (iv) sejam afirma\coes\ falsas. Sendo falsas (i) e (ii), e como $A\neq B$ por hip\'otese,
segue que $A$, $B$ e $C$ s\ao\ tr\^es pontos distintos. Sendo falsas (iii) e (iv), segue
da colinearidade dos tr\^es pontos e do Axioma B3 que $Q*A*B$. \cqd

\begin{prop}\label{pb1} Dados dois pontos $A$ e $B$, temos $\overrightarrow{AB}\cap\overrightarrow{BA}=AB$. \end{prop}
\dem\ Segue de (\ref{defconj}) que $AB\subset \overrightarrow{AB}$. Segue de (\ref{defconj}) e da Proposi\cao~\ref{pb0} que
$AB=BA\subset\overrightarrow{BA}$. Logo $AB\subset \overrightarrow{AB}\cap\overrightarrow{BA}$.

Suponha que $Q\in \overrightarrow{AB}\cap\overrightarrow{BA}$. Queremos provar que $Q\in AB$. 
Vamos dividir em casos. Se $Q=A$ ou $Q=B$, ent\ao\ segue da defini\cao\ de segmento que $Q\in AB$. 
Se $Q$ \'e diferente de $A$ e diferente de $B$, ent\ao, como todos os pontos das duas semirretas
s\ao\ pontos da reta $\overleftrightarrow{AB}$, os tr\^es pontos $A$, $B$ e $Q$ s\ao\ colineares, e podemos portanto invocar o axioma (B3)
para concluir que uma e apenas uma das seguintes alternativas ocorre:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $Q*A*B$,
\item[(ii)] $A*Q*B$,
\item[(iii)] $A*B*Q$.
  \end{enumerate}
Se ocorrer (i), segue da Proposi\cao\ \ref{pbmeio} que $Q\not\in\overrightarrow{AB}$, o que \'e falso, pois estamos supondo que $Q\in \overrightarrow{AB}\cap\overrightarrow{BA}$.
Se ocorrer (iii), ent\ao\ $Q*B*A$, pelo axioma (B1). Da\'i, pela Proposi\cao~\ref{pbmeio}, $Q\not\in\overrightarrow{BA}$, o que \'e falso. Logo, se
valer $Q\in \overrightarrow{AB}\cap\overrightarrow{BA}$, ent\ao\ n\ao\ vale (i), nem vale (iii). Logo vale (ii), o que implica que $Q\in AB$.\cqd

\begin{prob}\label{ab}{\em 
  Dados dois pontos $A$ e $B$, mostre que $\overrightarrow{AB}\cup\overrightarrow{BA}=\{P;\,P$ est\'a em $\overleftrightarrow{AB}\}$.}\end{prob}

Cabe aqui um coment\'ario sobre nomenclatura. Adotamos os termos de \cite{G} para a geometria de incid\^encia, nosso ponto de partida para a axiom\'atica
completa da geometria euclideana. Para n\'os, portanto, existe um conjunto de pontos e um conjunto de retas, mas as retas n\ao\ s\ao\ necessarimente conjuntos de
pontos. %(veja, por exemplo, a geometria dual da geometria de tr\^es pontos, na p\'agina~\pageref{gdual}).
\'E por isso que \'e preciso considerar a express\ao\
``um ponto est\'a em uma reta'' como um termo primitivo, sem defini\cao. Al\'em disso o conjunto de todos os pontos que est\ao\ em uma reta n\ao\ \'e, em geral, ``igual''
\`a reta, pois podem ser objetos de natureza diferente. Em alguns modelos (no Plano de Descartes e no Plano de Poincar\'e, por exemplo) pode acontecer de $r$ ser igual a
$\{P;\,P$ est\'a em $ r\}$, mas ao tratar da teoria axiom\'atica abstrata, devemos fazer a distin\cao. J\'a no texto \cite{Robin}, convenciona-se explicitamente que cada
reta \'e um subconjunto do conjunto de todos os pontos, e ``est\'a em'' \'e o ``pertence'' da teoria dos conjuntos. Hilbert \cite{H}\ \'e amb\'iguo a esse respeito, e
o livro dele pode ser lido com uma ou outra conven\cao. 

Dizemos que um segmento $AB$ e uma reta $r$ se interceptam se existe pelo menos um ponto pertencente a $AB$ que tamb\'em est\'a em $r$. Isso n\ao\ exclui a possibilidade
de todos os pontos de $AB$ estarem em $r$, ou que o ponto de interse\cao\ seja uma das extremidades do segmento. Vamos reservar a palavra ``atravessar'' para um tipo
mais espec\'ifico de interse\cao: 

\begin{defi} {\em %Seja $r$ uma reta e seja $AB$ um segmento. % n\ao-colinear a $r$ (isto \'e $r\neq\reta{AB}$).
    Diremos que o segmento $AB$ atravessa a reta $r$ ou, equivalentemente, que $r$ atravessa $AB$ se $r$ e $AB$ se interceptam em apenas um ponto, 
    diferente de $A$ e de $B$. Em outras palavras, $r$ e $AB$ se atravessam se as retas $\reta{AB}$ e $r$
s\ao\ distintas e concorrentes e se o ponto $P$ de interse\cao\ das duas retas satisfaz $A*P*B$.}\end{defi}
Enunciamos agora nosso quarto axioma de ordenamento, conhecido como o ``Postulado de Pasch'' \cite{H}. 
\begin{enumerate}
\item[{\bf (B4)}] Seja $r$ uma reta e sejam $A$, $B$ e $C$ tr\^es pontos n\ao-colineares que n\ao\ est\ao\ em $r$. Se $r$ atravessa algum dos
  tr\^es segmentos determinados pelos pontos dados, ent\ao\ $r$ atravessa tamb\'em um, e apenas um, dos outros dois segmentos.
  \end{enumerate} 

%No caso de tr\^es pontos colineares, a conclus\ao\ do Axioma B4 segue dos axiomas e resultados que o precedem:

%\begin{prob}\label{paschfraco} {\em Seja $r$ uma reta e sejam $A$, $B$ e $C$ tr\^es pontos colineares que n\ao\ est\ao\ em $r$.
%    Mostre que,  se $r$ atravessa algum dos tr\^es segmentos determinados pelos pontos dados, ent\ao\ $r$ atravessa tamb\'em um, e apenas um, dos outros dois segmentos.
%{\tt Sugest\ao}: Use o Axioma B3 e a Proposi\cao~\ref{separa}.  }
%\end{prob}
 
\begin{defi} Sejam $A$, $B$ e $C$ tr\^es pontos n\ao-colineares. O tri\^angulo de v\'ertices $A$, $B$ e $C$, denotado por $\Delta ABC$, \'e a
  uni\ao\ dos segmentos $AB$, $BC$ e $AC$, que s\ao\ chamados de lados do tri\^angulo. \end{defi}

\begin{prop} Suponha que a reta $r$ atravessa o lado $AB$ do tri\^angulo $\Delta ABC$.
Ent\ao\ $r$ intercepta pelo menos um dos outros
dois lados do tri\^angulo. S\'o intercepta os outros dois lados se $C$ estiver em $r$. \end{prop}
\dem\ No caso em que $r$ n\ao\ passa por $C$, segue do Axioma B4 que $r$ intercepta um, e apenas um, dos outros dois lados e que a interse\cao\ n\ao\ \'e um dos extremos
desse lado. Caso $r$ passe por $C$, ent\ao\ $r$ intercepta os lados $AC$ e $BC$. \cqd 




\subsection*{Separa\cao\ do plano}$\ $



\begin{defi} Dada uma reta $r$ e um ponto $A$ que n\ao\ est\'a em $r$, o {\em semiplano} limitado por $r$ que cont\'em $A$ \'e o conjunto de pontos
  $H_A\coloneqq\{A\}\cup\{C;\,C$ n\ao\ est\'a em $r$, $C\neq A$ e $r$ n\ao\ atravessa $AC\}$.
\end{defi}

O principal resultado desta subse\cao\ \'e o teorema seguinte, que se trata essencialmente de uma vers\ao\ traduzida e ligeiramente reformulada de \cite[Proposition 7.1]{Robin}

\begin{teo}\label{doislados} Toda reta $r$ limita exatamente dois semiplanos, e eles n\ao\ possuem ponto em comum.\end{teo}
\dem\
Seja $X$ o conjunto dos pontos que n\ao\ est\ao\ em $r$. Dados $A$ e $B$ em $X$, diremos que $A\sim B$ se $A\in H_B$.

Por defini\cao, temos que $A\in H_A$. Se $A\in H_B$ e $A\neq B$, ent\ao\ $r$ n\ao\ atravessa $AB$, que \'e igual $BA$, pela Proposi\cao~\ref{pb0}; logo $r$ 
n\ao\ atravessa $BA$, logo $B\in H_A$. Isto prova que a rela\cao\ $\sim$ \'e reflexiva e sim\'etrica. Provaremos em seguida que ela tamb\'em \'e transitiva.

Suponhamos que $A\sim B$ e $B\sim C$. Queremos provar que $A\sim C$. Claro que podemos supor que os pontos $A$, $B$ e $C$ s\ao\ distintos,
caso contr\'ario n\ao\ haveria o que provar. Vamos precisar separar em dois casos: ou esses tr\^es pontos s\ao\ colineares, ou n\ao\ s\ao.

Suponhamos primeiramente que eles n\ao\ s\ao\ colineares. Temos que $r$ n\~ao atravessa $AB$, nem atravessa $BC$ (\'e isso o que significa $A\sim B$ e $B\sim C$).
Se $r$ atravessasse $AC$, seguiria, pelo Axioma B4, que $r$ atravessaria $AB$ ou $BC$, o que \'e falso. Logo $r$ n\ao\ atravesa $AC$, ou seja $A\sim C$.
%Provamos que $\sim$ \'e uma rela\cao\ de equival\^encia. Por defini\cao, $H_A$ \'e a classe de equival\^encia de $A\in X$ (veja a Se\cao~\ref{relequ}).

Suponhamos agora que $A$, $B$ e $C$ s\ao\ colineares e chamemos de $s$ a reta que os cont\'em. Por defini\cao\ de $X$, cada um dos tr\^es pontos
$A$, $B$ e $C$ n\ao\ est\'a em $r$, logo $r$ e $s$ s\ao\ duas retas distintas. Pelo Axioma I2, $r$ possui pelo menos dois pontos. Pelo menos um deles
n\ao\ est\'a em $s$, caso contr\'ario a unicidade do Axioma I1 implicaria que $r$ seria igual a $s$. Seja portanto $D$ um ponto de $r$ que n\ao\ est\'a em $s$.
Pelo Axioma B2, existe um ponto $E$ tal que $E*A*D$. O ponto $E$ n\ao\ est\'a em $r$, pela Proposi\cao~\ref{separa}. Temos que $A\sim E$ pois, se existisse um ponto
$P$ em $r$ tal que $E*P*A$, esse ponto seria o \'unico (veja a Proposi\cao~\ref{I1}) ponto de interse\cao\ de $\reta{AD}$ e $r$, ou seja, $P$ seria igual a $D$, logo ter\'iamos
$E*D*A$ e $E*A*D$, o que n\ao\ pode acontecer, pelo Axioma B3. O ponto $E$ tamb\'em n\ao\ est\'a em $s$, de novo pela Proposi\cao~\ref{separa}, pois $E*A*D$. Ent\ao\
temos $E\sim A$, $A\sim B$ e os tr\^es pontos $E$, $A$ e $B$ s\ao\ n\ao\ colineares. Neste caso j\'a vimos que o Axioma B4 implica que $E\sim B$. Logo temos
$E\sim B$ e $B\sim C$, sendo $E$, $B$ e $C$ n\ao-colineares (pois $E$ n\ao\ est\'a em $s$, que \'e igual a $\reta{BC}$). Neste caso j\'a vimos que o Axioma B4 implica
que $E\sim C$. Logo temos $C\sim E$ e $E\sim A$, sendo $C$, $E$ e $A$ n\ao\ colineares, logo (usando pela terceira vez o mesmo argumento) $C\sim A$,
ou seja, $A\sim C$, como quer\'iamos.

Provamos que $\sim$ \'e uma rela\cao\ de equival\^encia em $X$. Por defini\cao, os semiplanos determinados por $r$ s\ao\ as classes de equival\^encia associadas
a esta rela\cao\ de equival\^encia. Queremos provar que o conjunto das classes das equival\^encia $X/\!\!\sim$ possui exatamente dois elementos.

O conjunto $X$ \'e n\ao\ vazio, pela Proposi\cao~\ref{I3}.
Logo $X/\!\!\sim$ \'e n\ao\ vazio. Seja $A$ um elemento de $X$. Pelo Axioma I2, segue que existe um ponto $O$ que est\'a em $r$. Pelo Axioma B2, existe um ponto $B$ tal que
$A*O*B$. O ponto $B$ n\ao\ est\'a em $r$, pela Proposi\cao~\ref{separa}. Logo $A$ e $B$ s\ao\ dois pontos de $X$. A reta $r$ atravessa $AB$, pois o ponto $O$
est\'a em $r$ e pertence a $AB$. Ou seja, $A\not\in H_B$; ou seja, $A$ e $B$ pertencem a classes
de equival\^encia distintas. Provamos que $X/\!\!\sim$ possui pelo menos dois elementos.

Para concluir a demonstra\cao, devemos provar que, se existirem tr\^es pontos que n\ao\ est\ao\ em $r$, pelo menos um par deles pertence a um mesmo semiplano.
Para provar isto, suponhamos que $A$, $B$ e $C$ sejam tr\^es pontos de $X$.
Basta provar, sem perda de generalidade, que, se $r$ atravessar $AB$ e $AC$, ent\ao\ $r$ n\ao\ atravessar\'a $BC$. Isto segue do
``apenas um'' do Axioma B4, caso $A$, $B$ e $C$ n\ao\ sejam colineares. 
Suponhamos agora que $A$, $B$ e $C$ sejam colineares. Vamos precisar usar de novo a constru\cao\ que fizemos para provar a transitividade,
mas agora o argumento \'e mais f\'acil porque j\'a sabemos que $\sim$ \'e transitiva. Seja $D$ um ponto que est\'a em $r$, mas n\~ao est\'a na reta $s$ que
cont\'em os pontos $A$, $B$ e $C$, seja $E$ tal que $E*A*D$. Provamos acima que $A\sim E$ e que os pontos $B$, $C$ e $E$ s\ao\ n\ao-colineares.
Como estamos supondo que $A\not\sim C$ e $A\not\sim B$, segue da transitividade de $\sim$ que $C\not\sim E$ e $B\not\sim E$.
Temos portanto tr\^es pontos n\ao\ colineares $B$, $C$ e $E$ tais que $r$ atravessa $BE$ e $CE$. Segue do Axioma B4 que $r$ n\ao\ atravessa $BC$. 
\cqd

Dada uma reta $r$, os dois semiplanos determinados por $r$ ser\ao\ tamb\'em chamados de {\em lados} de $r$. Diremos que $A$ e $B$, distintos ou n\ao,
est\ao\ {\em do mesmo lado} de $r$ se $A\in H_B$ e diremos que $A$ e $B$ est\ao\ {\em em lados opostos} de $r$ se $A\not\in H_B$. 

\begin{prop}\label{ls} Sejam $A$, $B$ e $C$ tr\^es pontos que n\ao\ est\ao\ na reta $r$. S\~ao verdadeiras as seguintes afirma\coes. 
  \begin{enumerate}
  \item Se $A$ e $B$ est\ao\ do mesmo lado de $r$, e se $B$ e $C$ est\ao\ do mesmo lado de $r$, ent\ao\ $A$ e $C$ est\ao\ do mesmo lado de $r$.
  \item Se $A$ e $B$ est\ao\ em lados opostos de $r$, e se $B$ e $C$ est\ao\ em lados opostos de $r$, ent\ao\ $A$ e $C$ est\ao\ do mesmo lado de $r$.
  \item Se $A$ e $B$ est\ao\ em lados opostos de $r$, e se $B$ e $C$ est\ao\ do mesmo lado de $r$, ent\ao\ $A$ e $C$ est\ao\ em lados opostos de $r$.
\end{enumerate}
  \end{prop}
\dem\ Vimos na demonstra\cao\ do Teorema~\ref{doislados} que a rela\cao\ definida pela senten\c{c}a ``$A\sim B\Longleftrightarrow A\in H_B$'' \'e uma rela\cao\ de equival\^encia
no conjunto $X$ dos pontos que n\ao\ est\ao\ em $r$, e que a classe de equival\^encia de um ponto $A\in X$ \'e igual a $H_A$.

Se $A$ e $B$ est\ao\ do mesmo lado de $r$ e $B$ e $C$ est\ao\ do mesmo lado de $r$, ent\ao\ $A\in H_B$ e $B\in H_C$. Logo, $A\in H_C$, pela transitividade de $\sim$.
Logo $A$ e $C$ est\ao\ do mesmo lado de $r$, o que prova (1).

  Se $A$ e $B$ est\ao\ em lados opostos de $r$ e se $B$ e $C$ est\ao\ em lados opostos de $r$, ent\ao\ $A\not\sim B$ e $B\not\sim C$. Vimos na demonstra\cao\
 do Teorema~\ref{doislados} que $\sim$ possui duas, e s\'o duas, classes de equival\^encia.
  Segue de $A\not\sim B$ e $B\not\sim C$ que $A$ e $C$ n\ao\ pertencem \`a classe de equival\^encia que cont\'em $B$, logo $A$ e $C$ pertencem \`a outra classe de
  equival\^encia, distinta de $H_B$. Logo, $A\sim C$; ou seja, $A\in H_C$; ou seja, $A$ e $C$ est\ao\ do mesmo lado de $r$. Provamos (2).

  Se $A$ e $B$ est\ao\ em lados opostos de $r$ e  se $B$ e $C$ est\ao\ do mesmo lado de $r$, ent\ao\ $A\not\sim B$ e $C\sim B$. Segue ent\ao\ que $A\not\sim C$
  (veja a Proposi\cao~\ref{contrap}). Logo $A$ e $C$ est\ao\ em lados opostos de $r$, o que conclui a demonstra\cao. \cqd

\begin{prob}\label{msm}{\em Dados $B$ e $D$ em lados opostos da reta $s$, seja $C$ a interse\cao\ das retas $\reta{BD}$ e $s$. Mostre que vale $B*C*D$.}\end{prob}
  
\begin{prob}\label{mesmo}{\em Dados $A*B*C$, com $C$ na reta  $s$ e $A$ e $B$ fora da reta $s$, mostre que $A$ e $B$ est\ao\ do mesmo lado de $s$.}\end{prob}

\begin{prob}\label{lema} {\em Sejam $r$ uma reta, $P$ um ponto em $r$ e $Q$ um ponto fora de $r$. Seja $Z$ um ponto distinto de $P$ na semirreta
$\overrightarrow{PQ}$. Mostre que $Z$ e $Q$ est\ao\ do mesmo lado de $r$. }
\end{prob}

\begin{prob}\label{lema2} {\em Sejam $r$ uma reta, $P$ um ponto em $r$, e $Q$ e $R$ pontos do mesmo lado de $r$. Mostre que, se $R$ est\'a em $\reta{PQ}$, ent\ao\
    $R$ \'e um ponto de $\semi{PQ}$.}\end{prob}

\begin{prob}\label{intleg} {\em Sejam $r$ uma reta, $P$ um ponto fora de $r$, e $Q$ um ponto distinto de $P$. Seja $H$ o semiplano delimitado por $r$ que cont\'em $P$.
    Mostre que existe um ponto $R$ distinto de $P$ e pertencente a $H$ tal que $\semi{PQ}=\semi{PR}$.}\end{prob}

%\begin{prob}\label{cruz} {\em Sejam $P$, $Q$, $R$ e $R'$ quatro pontos tais que $R$ e $R'$ estejam em lados oposto 

 %   Sejam $r$ uma reta, $Q$ um ponto em $r$, $R$ e $R'$ pontos que est\ao\ do mesmo lado de $r$ que $P$ e que est\ao\ em lados opostos
 %   da reta $\reta{PQ}$. Mostre que $P$ e $Q$ est\ao\ em lados opostos da reta $\reta{RR'}$.}\end{prob}


\section{Ap\^endice: Rela\c{c}\~oes de Equival\^encia}\label{relequ}

Uma {\em rela\cao} em um conjunto $X$ \'e, por defini\cao, um subconjunto do produto cartesiano $X\times X$. Se $R$ \'e uma rela\cao\ em $X$, \'e usual
denotar $(x,y)\in R$ por $x\sim y$. Frequentemente definiremos uma rela\cao\ definindo o significado da express\ao\ $x\sim y$, sem fazer refer\^encia direta ao subconjunto $R$
de todos os pares ordenados $(x,y)$ que satisfazem $x\sim y$. 

Uma {\em rela\cao\ de equival\^encia} em um conjunto $X$ \'e uma rela\cao\ em $X$ que satisfaz as tr\^es propriedades seguintes:
\begin{enumerate}
  \item $x\sim x$, para todo $x\in X$; 
\item se $x\sim y$, ent\ao\ $y\sim x$;
\item se $x\sim y$ e $y\sim z$, ent\ao\ $x\sim z$.
\end{enumerate}
Chama-se de {\em reflexiva} uma rela\cao\ que satisfa\c{c}a (1). Chama-se de {\em sim\'etrica} uma rela\cao\ que satisfa\c{c}a (2). Chama-se de {\em transitiva}
uma rela\cao\ que satisfa\c{c}a (3). Usando esses termos, podemos ent\ao\ dizer que uma rela\cao\ de equival\^encia \'e uma rela\cao\ reflexiva, sim\'etrica e
transitiva.

Dada uma afirma\cao\ $A$, denotamos por $\neg A$ a nega\cao\ de $A$, ou seja, a afirma\cao\ ``$A$ \'e falsa''. 
Na demonstra\cao\ da Proposi\cao~\ref{contrap} vamos usar a seguinte regra de l\'ogica: provar que as afirma\coes\ $A$ e $B$ implicam a afirma\cao\
$C$ \'e equivalente a provar que $\neg C$ e $B$ implicam $\neg A$. 

\begin{prop}\label{contrap}
  Seja $\sim$ uma rela\cao\ de equival\^encia em $X$, sejam $x$, $y$ e $z$ elementos de $X$. Se $x\not\sim y$ e $y\sim z$, ent\ao\ $x\not\sim z$. 
\end{prop}
\dem\ O que queremos provar \'e equivalente \`a afirma\cao\ ``se $y\sim z$ e $x\sim z$, ent\ao\ $x\sim y$''. Esta afirma\cao\  \'e verdadeira, pois $\sim$ \'e sim\'etrica,
transitiva e reflexiva. \cqd


Seja $X$ um conjunto munido de uma rela\cao\ de equival\^encia. Para cada $x\in X$, definimos
\[
  [x]\,=\,\{y\in X;\,y\sim x\}
  \]
  Um subconjunto da forma $[x]$ para algum $x\in X$ \'e chamado de {\em classe de equival\^encia}. O conjunto de todas as classes de equival\^encia se denota por
  $X/\!\!\sim$,
  \[
X/\!\!\sim\,=\,\{[x];\,x\in X\},
  \]
e \'e chamado {\em quociente de $X$ por $\sim$}


\begin{prop}\label{partes} Seja $X$ um conjunto munido de uma rela\cao\ de equival\^encia. Dados $x$ e $y$ pertencentes a $X$, s\ao\ equivalentes as seguintes afirma\coes:
  $(1)$\ $x\sim y$, $(2)$ $[x]=[y]$, $(3)$ $[x]\cap[y]\neq\emptyset$.\end{prop}
\dem\ Como primeiro passo, provemos que (1) implica (2). Sejam $x$ e $y$ tais que $x\sim y$. Queremos provar que os conjuntos $[x]$ e $[y]$ s\ao\ iguais.
Para tanto, tome $z\in[x]$. Ent\ao\ $z\sim x$. Temos portanto $x\sim y$ e $z\sim x$. Segue da transitividade que $z\sim y$, isto \'e, $z\in[y]$.
Da mesma maneira se prova que $z\in[y]$ implica $z\in[x]$. Logo, $z\in[x]\Longleftrightarrow z\in[y]$; isto \'e, $[x]=[y]$.

Provemos em seguida que (2) implica (3). Segue de $[x]=[y]$ que $[x]\cap[y]=[x]$. Para todo $x\in X$, $[x]$ \'e n\ao\ vazio porque ao menos $x\in[x]$ (pois
$\sim$ \'e reflexiva). Logo $[x]\cap[y]\neq\emptyset$.

Finalmente, provemos que (3) implica (1). Se existe algum $z$ pertencente a $[x]\cap[y]$, ent\ao\ $z\sim x$ e $z\sim y$. Segue ent\ao\ da simetria e da
transitividade que $x\sim y$.\cqd  
  
  \begin{prop}\label{particao} Um conjunto $X$ munido de uma rela\cao\ de equival\^encia $\sim$ pode ser escrito como a uni\ao\ disjunta de suas classes de equival\^encia. \end{prop}
  \dem\ As classes de equival\^encia de $\sim$ s\ao\ subconjuntos de $X$, logo
  \[
  \bigcup_{x\in X}[x]\subseteq X. 
\]
  Todo elemento de $z$ de $X$ pertence \`a classe de equival\^encia $[z]$, pois $z\sim z$ (a rela\cao\ \'e reflexiva). Ou seja, se $z\in X$, ent\ao\
  ${\displaystyle z\in\bigcup_{x\in X}[x]}$. Isto prova a igualdade
  \begin{equation}
    X\,=\,\bigcup_{x\in X}[x]
    \end{equation}
  Al\'em disso, segue da Proposi\cao~\ref{partes} que duas classes de equival\^encia distintas s\ao\ disjuntas (n\ao\ se interceptam). \cqd


\section{Algumas Solu\c{c}\~oes}

\subsection*{Solu\cao\ do Problema~\ref{5D}}$\ $

Dada uma reta $r$ no Plano de Descartes, de equa\cao\
\begin{equation}\label{eq1}
  ax+by=c,
\end{equation}
  diremos que ela \'e vertical se $b=0$ e que ela n\ao\ \'e vertical se $b\neq 0$. Quando a reta \'e vertical, o coeficiente $a$
  tem de ser diferente de zero, pois $(a,b)\neq (0,0)$. Da\'i, (\ref{eq1}) \'e equivalente a $x=d$, com $d=\frac{c}{a}$. Quando a reta
  n\ao\ \'e vertical, a equa\cao\ em (\ref{eq1}) pode ser dividida por $b$ e reescrita como $y=mx+k$, com $m=-\frac{a}{b}$ e $k=\frac{c}{a}$

  O Problema~\ref{5D} pede para mostrar que, dada uma reta $r$ e um ponto $P$ que n\ao\ est\'a em $r$, existe uma \'unica reta $s$ que \'e paralela a $r$
  e passa por $P$. Vamos dividir a solu\cao\ em dois casos: (1) $r$ n\ao\ \'e vertical e (2) $r$ \'e vertical.

  {\tt No caso (1)}, seja $y=mx+k$ a equ\cao\ de $r$; seja $(x_0,y_0)$ o ponto $P$. Defina $s$ como sendo a reta de equa\cao\ $y=mx+(y_0-mx_0)$. \'E evidente que $s$ passa
  por $P$. Queremos provar que $s$ \'e paralela $r$ e que, se uma reta $s'$ passa por $P$ e $s'\neq s$, ent\ao\ $s'$ n\ao\ \'e paralela $r$. 

  Para provar que $r$ e $s$ s\ao\ paralelas, devemos mostrar que o sistema 
  \[
  \left\{\begin{array}{rcl}
  y&=&mx+k\\
  y&=&mx+(y_0-mx_0)
  \end{array}
  \right.
  \]
n\ao\ tem solu\cao. Se este sistema tivesse solu\cao, necessariamente $k$ seria igual a $y_0-mx_0$. Mas $k\neq (y_0-mx_0)$, porque $r$ n\ao\ passa por $P$.
Logo o sistema n\ao\ tem solu\cao\ e as retas $r$ e $s$ s\ao\ paralelas.

Seja agora $s'$ uma reta que passa por $(x_0,y_0)$, $s'\neq s$. Dependendo de $s'$ ser ou n\ao\ ser vertical, a equa\cao\ de $s'$ pode ser $x=x_0$
ou $y=m'x+(y_0-m'x_0)$ com $m'\neq m$. Os sistemas
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
  y&=&mx+k\\
  x&=&x_0
  \end{array}
  \right.
  \ \ \text{e}\ \
  \left\{
  \begin{array}{rcl}
  y&=&mx+k\\
  y&=&m'x+(y_0-m'x_0)
  \end{array}
  \right.
  \]
  t\^em solu\coes, a saber, respectivamente, $(x_0,mx_0+ k)$ e $(\frac{y_0-m'x_0-k}{m-m'},\frac{m(y_0-m'x_0-k)}{m-m'}+k)$. Logo $s'$ n\ao\ \'e paralela a $s$.

 {\tt No caso (2)}, seja $(x_0,y_0)$ o ponto $P$, seja $x=d$ a equ\cao\ de $r$. Defina $s$ como sendo a reta de equa\cao\ $x=x_0$. \'E evidente que $s$ passa
 por $P$ e \'e paralela a $r$ (pois $d\neq x_0$, j\'a que $P$ n\ao\ est\'a em $r$). Queremos mostrar que, se $s'$ passa por $P$ e $s'\neq s$,
 ent\ao\ $s'$ n\ao\ \'e paralela $r$. A \'unica reta vertical que passa por $P$ \'e a reta $s$. Como $s'$ passa por $P$ e \'e diferente de $s$, $s'$ n\ao\ \'e vertical e
 portanto a equa\cao\ de $s'$ \'e da forma $y=mx+k$. O ponto $(d,md+k)$ \'e o ponto de interse\cao\ de $s'$ e $r$, logo $s'$ e $r$ n\ao\ s\ao\ paralelas, como quer\'iamos. 

  
 \subsection*{Resultados de Geometria Anal\'itica necess\'arios para o Problema~\ref{n5P}}$\ $

 No Plano Cartesiano $\R^2$, define-se a {\em dist\^ancia} entre os pontos $P=(p_1,p_2)$ e $Q=(q_1,q_2)$ pela f\'ormula
 \[
 d(P,Q)\,=\,\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}
 \]
 \'E \'obvio que $d(P,Q)=d(Q,P)$. Vamos usar sem demonstrar a {\em desigualdade triangular}
 \[
 d(P,Q)\,\leq\,d(P,R)+d(R,Q),
 \]
 v\'alida para quaisquer pontos $P$, $Q$ e $R$.

 Dados um ponto $A$ e um real positivo $r$, o c\'irculo $C_{A,r}$ de centro no ponto $A$ e raio $r$ \'e o conjunto dos pontos $X$ tais que $d(X,A)=r$. Segue ent\ao\
 que um ponto $X=(x,y)$ pertence ao c\'irculo de centro em $A=(a_1,a_2)$ e raio $r$ se e somente se a equa\cao\
 \[
(x-a_1)^2+(y-a_2)^2\,=\,r^2
 \]
 \'e satisfeita.

 \begin{prop}\label{ABrs} Dados $A$ e $B$ em $\R^2$ e $s>r>0$ tais que $r+d(A,B)<s$, ent\ao\ os c\'irculos $C_{A,r}$ e $C_{B,r}$ n\ao\ possuem ponto em comum. \end{prop}
 \dem\ Se $d(X,A)=r$, segue da desigualdade triangular que
 \[
d(X,B)\,\leq\,d(X,A)+d(A,B)\,=\,r+d(A,B)\,<\,s.
 \]
 Isto mostra que, se $X$ pertence ao c\'irculo $C_{A,r}$, ent\ao\ $X$ n\ao\ pertence ao c\'irculo $C_{B,s}$. \cqd

 No caso particular em que $A=(a,0)$ e $B=(b,0)$, temos $d(A,B)=|a-b|$ e, portanto, para $s>r>0$,
 \[
 r+d(A,B)<s\Longleftrightarrow r+|a-b|<s\Longleftrightarrow |a-b|<s-r\Longleftrightarrow r-s<a-b<s-r\Longleftrightarrow b-s<a-r\ \text{e}\ a+r<b+s.
 \]
 A Proposi\cao~\ref{ABrs} tem portanto a seguinte consequ\^encia.
 \begin{prop}\label{ABrsP} Dados n\'umeros reais $a$ e $b$ e n\'umeros positivos $r$ e $s$ tais que $s>r>0$ e
$b-s<a-r<a+r<b+s$,   ent\ao\ os conjuntos $L_{a,r}$ e $L_{b,s}$
   $($os quais chamamos de ``retas do plano de Poincar\'e'' na p\'agina~\pageref{defretaP}$)$ n\ao\ se interceptam.
 \end{prop}

 Podemos demonstrar tamb\'em a seguinte proposi\cao.

 \begin{prop}\label{abP} Se $|b-a|>r$, ent\ao\ as retas do Plano de Poincar\'e $L_b$ e $L_{a,r}$ n\ao\ se interceptam.\end{prop}
 \dem\ Se $(x,y)$ est\'a em $L_{a,r}$, ent\ao\ $y>0$ e $(x-a)^2+y^2=r^2$. Da\'i
 \[
 |x-a|\,<\,\sqrt{(x-a)^2+y^2}\,=\,r\,<\,|b-a|.
 \]
Segue de $|x-a|<|b-a|$ que $x\neq b$, logo $(x,y)$ n\ao\ est\'a em $L_b$. \cqd
 \subsection*{Solu\c{c}\~ao\ do Problema~\ref{n5P}}$\ $

   Dada uma reta $t$ no plano de Poincar\'e e um ponto $P=(x_0,y_0)$ que n\ao\ est\'a em $t$, queremos mostrar que existem infinitas retas paralelas a $t$
   passando por $P$. Vamos dividir a solu\cao\ em dois casos: $t=L_b$ para algum $b\in\R$ ou $t=L_{b,s}$ para algum $b\in\R$ e algum $s>0$.

   {\tt Caso 1}: $t=L_b$.

   Como $P$ n\ao\ est\'a em $t$, temos $x_0\neq b$. Logo $t'=L_{x_0}$ \'e uma reta passando por $P$. Ela n\ao\ intercepta $L_b$ porque todos os seus pontos s\ao\ da forma $(x_0,y)$,
   todos os pontos de $L_b$ s\ao\ da forma $(b,y')$, e $x_0\neq b$. Logo $L_{x_0}$ e $L_b$ s\ao\ paralelas

   Por outro lado, nenhuma reta do tipo $L_a$ com $a\neq x_0$ passa por $P$. Ent\ao, 
   para encontrar outras paralelas a $t$ passando por $P$, temos de procur\'a-las entre as retas do tipo $L_{a,r}$. Pela Proposi\cao~\ref{abP}, se $|b-a|>r$, ent\ao\
   $L_{a,r}$ e $L_b$ s\ao\ paralelas. Para resolver o Problema no Caso 1, basta portanto mostrar que existem infinitos pares $(a,r)$, $r>0$, satisfazendo
   $|b-a|>r$ tais que $(x_0,y_0)$ est\'a em $L_{a,r}$. Ou seja, queremos mostrar que existem infinitos pares $(a,r)$, com $r>0$, satisfazendo
   \[
|b-a|^2>r^2\ \ \text{e}\ \ r^2=(x_0-a)^2+y^2;
   \]
   ou seja, queremos mostrar que existem infinitos valores de $a$ satisfazendo
   \[
(x_0-a)^2+y^2<(b-a)^2,
   \]
   inequa\cao\ esta que \'e equivalente a (Verifique esta afirma\cao !)
   \begin{equation}\label{ineq1}
2a(b-x_0)\,<\,b^2-(x_0^2+y_0^2).
   \end{equation}
   Suponhamos agora que $b-x_0>0$. Ent\ao\ a inequa\cao~(\ref{ineq1}) \'e equivalente a
   \begin{equation}\label{ineq2}
     a\,<\,\frac{b^2-(x_0^2+y_0^2)}{2(b-x_0)}.
   \end{equation}
   Por outro lado, se $b-x_0<0$, (\ref{ineq1}) \'e equivalente a
   \begin{equation}\label{ineq3}
     a\,>\,\frac{b^2-(x_0^2+y_0^2)}{2(b-x_0)}.
   \end{equation}
   Evidentemente existem infinitos valores de $a$ satisfazendo as inequa\coes\ (\ref{ineq2}) e (\ref{ineq3}). Nos dois subcasos ($b-x_0$ positivo ou negativo), mostramos
   que existem infinitas retas do tipo $L_{a,r}$ paralelas a $L_b$. \'E isto o que quer\'iamos provar pois, como j\'a observamos, $b\neq x_0$, pois $(x_0,y_0)$ n\ao\
   est\'a em $L_b$.

   {\tt Caso 2}: $t=L_{b,s}$.

   Usando que $t$ n\ao\ passa em $P$, ou seja, que $(x_0-b)^2+y_0^2\neq s^2$, mostraremos que existem infinitos pares $(a,r)$, $r>0$, tais que $L_{a,r}$ passa por $P$
   e \'e paralela a $L_{b,s}$. Definindo $r_0=\sqrt{(x_0-b)^2+y_0^2}$, temos que $L_{b,r_0}$ passa por $P$. Al\'em disso, $t$ e $L_{b,r_0}$ s\ao\ paralelas (pois todos os
   pontos de $t$ satisfazem $(x_0-b)^2+y_0^2=s^2$, todos os pontos de  $L_{b,r_0}$ satisfazem   $(x_0-b)^2+y^0=r_0^2$ e $r_0\neq s$)

 Suponhamos primeiro que $(x_0-b)^2+y_0^2<s^2$.
   
   Em vista da Proposi\cao~\ref{ABrsP}, para provar que existem infinitas retas paralelas a $t$ passando por $P$, basta mostrar que existem infinitos $(a,r)$, com $r>0$, tais que
   \[
b-s<a-r<a+r<b+s\ \ \ \text{e}\ \ \ (x_0-a)^2+y_0^2=r^2.
\]
Isto \'e equivalente a mostrar que existem infinitos valores de $a$ que satisfazem as inequa\coes\
\begin{equation}\label{desigu}
b-s<a-\sqrt{(x_0-a)^2+y_0^2}\ \ \ \text{e}\ \ \  a+\sqrt{(x_0-a)^2+y_0^2}<b+s.
\end{equation}
Como estamos supondo que $(x_0-b)^2+y_0^2<s^2$, as inequa\coes\ em (\ref{desigu}) s\ao\ satisfeitas para $a=b$. Al\'em disso, as fun\coes\
$f(a)=a-\sqrt{(x_0-a)^2+y_0^2}$ e $g(a)=a+\sqrt{(x_0-a)^2+y_0^2}$ s\ao\ cont\'inuas. Se uma fun\cao\ cont\'inua $h$ definida em $\R$
satisfaz as desigualdades $h(b)<k_1$ e $h(b)>k_2$ para constantes $k_1$ e $k_2$, as desigualdades $h(a)<k_1$ e $h(a)><k_2$ continuar\~ao sendo satisfeitas
para todo $a$ suficientemente pr\'oximo de $b$ ou, mais precisamente, para todo $a$ pertencente a um intervalo aberto contendo $b$. Da\'i, segue
que existe um intervalo aberto $I$ contendo $b$ tal que, para todo $a$ em $I$, as desigualdades $b-s<f(a)$ e $g(a)<b+s$ s\ao\ satisfeitas.
Mostramos que, para todo $a$ em $I$, as desigualdades em (\ref{desigu}) s\ao\ satisfeitas. Isto \'e o que quer\'iamos mostrar, pois existem
infinitos elementos em $I$.

Manipulando com muito cuidado e engenhosidade as desigualdades que queremos demonstrar, \'e poss\'ivel encontrar, em termos dos dados $b$, $s$, $x_0$ e $y_0$,
os limites de um tal intervalo $I$, sem que seja preciso falar de fun\coes\ cont\'inuas. Essa seria uma solu\cao\ mais elementar, mas n\ao\ mais f\'acil.
Usar conceitos mais avan\c{c}ados muitas vezes torna mais f\'acil a solu\cao\ de um problema elementar.

Resta considerar o caso em que $(x_0-b)^2+y_0^2>s^2$. Os argumentos s\ao\ praticamente id\^enticos ao caso em que $(x_0-b)^2+y_0^2<s^2$, embora algumas
vari\'aveis troquem de lugar. Vamos apenas esbo\c{c}ar a solu\cao. Queremos mostrar que existem infinitos pares $(a,r)$, $r>0$, tais que
\[
a-r<b-s<b+s<a+r\ \ \ \text{e}\ \ \ (x_0-a)^2+y_0^2=r^2, 
\]
ou seja, queremos mostrar que as inequa\coes\
\[
a-\sqrt{(x_0-a)^2+y_0^2}<b-s\ \ \ \text{e}\ \ \ b+s<a+\sqrt{(x_0-a)^2+y_0^2}
\]
s\ao\ satisfeitas por infinitos valores de $a$. Isto decorre de as desigualdades serem satisfeitas quando $a=b$ e da continuidade da fun\cao\
$\phi(a)=\sqrt{(x_0-a)^2+y_0^2}$.
     

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  \bibitem{E} Os Elementos de Euclides, tradu\cao\ de Irineu Bicudo. Editora da Unesp, 2009.
  \bibitem{G} {\sc M. J. Greenberg}. Euclidean and Non-Euclidean Geometries, 3$^a$ edi\cao. W. H. Freeman, 2003.
    \bibitem{Robin} {\sc R. Hartshorne}. Geometry: Euclid and Beyond. Springer, 1997.
    \bibitem{H}{\sc D. Hilbert}. Foundations of Geometry, Second Edition. The Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1971
      (tradu\cao\ do original em alem\ao\ Grundlagen der Geometrie, 1903).
\bibitem{MP} {\sc R. Millman \&\ G. Parker}. Geometry -- a metric approach with models. Springer, 1991.
\bibitem{M} {\sc Edwin Moise}. Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison Wesley, 1963.
  \end{thebibliography}


\end{document}




