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\newtheorem{prop}{Proposi\c{c}\~ao}
\newtheorem{cor}{Corol\'ario}
\newtheorem{defi}{Defini\c{c}\~ao}
\newcommand{\dem}{{\tt Demonstra\c{c}\~ao}:}
\newcommand{\cqd}{\hfill$\Box$}
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\title{Notas de Aulas (incompletas)}
\author{Operadores de Fredholm e Topologia\\2$^\circ$ Semestre de 2021}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section{O conjunto dos operadores invers\'iveis e o dos operadores de Fredholm s\~ao abertos}
Uma \'algebra de Banach $A$ \'e um espa\c{c}o de Banach munido de uma forma bilinear associativa
\[
A\times A\ni(a,b)\ \longmapsto ab\in A
\]
satisfazendo ademais que a norma \'e {\em submultiplicativa}: $\|ab\|\leq\|a\|\|b\|$ para todos $a,b\in A$.

\begin{prop}
Seja $A$ uma \'algebra de Banach com unidade. $GL(A)=\{a\in A;\,a\ \text{\'e invers\'ivel}\}$ \'e aberto em $A$.
  \end{prop}
\dem\
Suponha que $a\in A$ \'e invers\'ivel. Se $\|b\|<\|a^{-1}\|^{-1}$, ent\ao\ $\|ba^{-1}\|<1$, e portanto a
s\'erie
\[
\sum_{n=0}^\infty(ba^{-1})^n
\]
\'e absolutamente convergente. Para todo $N$ natural, 
\[
(1-ba^{-1})\sum_{n=0}^N(ba^{-1})^n=\sum_{n=0}^N(ba^{-1})^n(1-ba^{-1})=1-(ba^{-1})^{N+1}\longrightarrow 1,\ N\to\infty.
\]
Ou seja, $1-ba^{-1}\in GL(A)$, $(1-ba^{-1})^{-1}=\sum_{n=0}^\infty(ba^{-1})^n$. Logo $(a-b)=(1-ba^{-1})a$ \'e invers\'ivel se $a\in GL(A)$ e $\|b\|<\|a^{-1}\|^{-1}$. 
\cqd

\begin{cor}\label{c1} Seja $E$ um espa\c{c}o de Banach. Ent\ao\ $\{T\in\mathcal{B}(E);\,T\ \text{\'e invers\'ivel}\}$ \'e aberto em $\mathcal{B}(E)$.\end{cor}
\dem A composi\cao\ de operadores faz de $\mathcal{B}(E)$ uma \'algebra de Banach.\cqd

\begin{cor} Seja $E$ e $F$ espa\c{c}os de Banach.  Ent\ao\ $\{T\in\mathcal{B}(E,F);\,T\ \text{\'e invers\'ivel}\}$ \'e aberto em $\mathcal{B}(E,F)$.\end{cor}
\dem\ Suponha que o conjunto que queremos mostrar que \'e aberto seja n\ao\ vazio e tome $T_0\in\mathcal{B}(E,F)$ invers\'ivel. Ent\ao\ a aplica\cao\
\[
\mathcal{B}(E)\ni T\ \longmapsto T_0T\in\mathcal{B}(E,F)
\]
\'e um isomorfismo de espa\c{c}os de Banach. O conjunto que queremos mostrar que \'e aberto \'e a imagem por este isomorfismo de $GL(\mathcal{B}(E))$, que
\'e aberto pelo Corol\'ario~\ref{c1}.\cqd

Sabemos que o quociente $E/M$ de um espa\c{c}o de Banach $E$ por um subespa\c{c}o fechado $M$ torna-se um esapa\c{c}o de Banach se munido da norma
\[
\|[x]\|\ =\ \inf_{m\in M}\|x+m\|,\ \ x\in E.
\]
Segue imediatamente da defini\cao\ da norma que a proje\cao\ can\^onica $x\mapsto [x]$ de $E$ em $E/M$ \'e um operador limitado, de norma menor do que ou igual a 1.
No caso em que o espa\c{c}o de Banach \'e uma \'algebra de Banach $A$  e o subespa\c{c}o \'e um ideal bilateral fechado $I$, o quociente \'e uma \'algebra de
Banach (veja por exemplo \cite[Theorem 1.1.1]{M}.

Seja agora $H$ um espa\c{c}o de Hilbert. O conjunto $\mathcal{K}(H)$ dos operadores compactos em $H$ \'e um ideal bilateral fechado de $\mathcal{H}$. Segue do
Teorema de Atkinson que um dado $T\in \mathcal{B}(H)$ \'e um operador de Fredholm se e somente se $[T]$ \'e invers\'ivel no quociente
$\mathcal{B}(H)/\mathcal{K}(H)$. Como o conjunto dos elementos invers\'iveis de uma \'algebra de Banach \'e aberto e a proje\cao\ can\^onica \'e
cont\'inua, segue que o conjunto dos operadores de Fredholm em $\mathcal{B}(H)$ \'e aberto.

Sejam agora $H_1$ e $H_2$ espa\c{c}os de Hilbert e seja $T\in\mathcal{B}(H_1,H_2)$ um operador limitado de imagem fechada. Seja $P\in\mathcal{B}(H_2)$ a proje\cao\
ortogonal sobre $\text{Im}\,T$, seja $T_0$ a restri\cao\ de $PT$ a $(\ker T)^\perp$. Ent\ao\ $T_0$ \'e um isomorfismo de espa\c{c}os de Banach entre os
espa\c{c}os de Hilbert $(\ker T)^\perp$ e $\text{Im}\,T$. Segue do Teorema 8.9 de \cite{2004} e das observa\coes\ que se seguem que as dimens\oes\ (hilbertianas)
de $(\ker T)^\perp$ e $\text{Im}\,T$ s\ao\ iguais. Suponha, ademais, que $H_1$ e $H_2$ t\^em dimens\ao\ infinita e que $T$ \'e um operador de Fredholm.
Como as dimens\oes\ de $(\ker T)^\perp$ e $\text{Im}\,T$ s\ao\ iguais e eles t\^em codimens\ao\ finita em $H_1$ e $H_2$, respectivamente, segue que
as dimens\oes\ de $H_1$ e $H_2$ s\ao\ iguais. Da\'i segue que existe um operador unit\'ario entre entre os dois espa\c{c}os, $U:H_1\to H_2$. Provamos:

\begin{prop}\label{p1} Sejam $H_1$ e $H_2$ espa\c{c}os de Hilbert de dimens\ao\ infinita. Suponha que existe um operador de Fredholm entre os dois espa\c{c}os,
  $T:H_1\to H_2$. Ent\ao\ existe um operador unit\'ario entre os dois espa\c{c}os, $U:H_1\to H_2$.
\end{prop}

Vimos acima que segue do Teorema de Atkinson que o conjunto dos operadores de Fredholm em $\mathcal{B}(H_2)$ \'e aberto. Deste fato e da proposi\cao\
imediatamente precedente, decorre: 

\begin{prop}
Sejam $H_1$ e $H_2$ espa\c{c}os de Hilbert de dimens\ao\ infinita. Ent\ao\ o conjunto dos operadores de Fredholm em $\mathcal{B}(H_1,H_2)$ \'e aberto. 
  \end{prop}
\dem Como o conjunto vazio \'e aberto, basta provar a proposi\cao\ supondo que existe um operador de Fredholm entre $H_1$ e $H_2$. Segue da Proposi\cao\ \ref{p1}
que existe um operador unit\'ario $U:H_1\to H_2$.
A aplica\cao\ $T\mapsto U^{-1}T$ \'e uma isometria que leva o espa\c{c}o de Banach $\mathcal{B}(H_1,H_2)$ no
espa\c{c}o de Banach $\mathcal{B}(H_1)$. A imagem do conjunto dos operadores de Fredholm $T:H_1\to H_2$ por esta aplica\cao\ coincide com
    o conjunto dos operadores de Fredholm $T:H_1\to H_1$, que \'e aberto. \cqd


    \section{C\'alculo Funcional Cont\'inuo}

    Sejam $H$ um espa\c{c}o de Hilbert e $T\in\mathcal{B}(H)$. O {\em espectro} de $T$ \'e o conjunto dos $\lambda\in\C$ tais que $\lambda I-T$ n\ao\
    \'e invers\'ivel. Denotaremos por $\sigma(T)$ o espectro de $T$. Os autovalores de $T$, se existirem, pertencem a $\sigma(T)$, que cont\'em tamb\'em
    os valores de $\lambda$ para os quais $\lambda I- T$ n\ao\ \'e sobrejetor sem que necessarimente deixe de ser injetor.

    \begin{teo} $($\cite[Teorema 9.9]{2020}$)$
      Seja $H$ um espa\c{c}o de Hilbert complexo. Para todo $T\in \mathcal{B}(H)$, $\sigma(T)$ \'e um compacto n\ao-vazio de $\C$. \end{teo} 


    O teorema seguinte \'e o Teorema 14.2 de \cite{2020} no caso em que $A=\mathcal{B}(H)$.
      
    \begin{teo} {\em (C\'alculo Funcional Cont\'inuo)} Sejam $H$ um espa\c{c}o de Hilbert complexo e $T\in \mathcal{B}(H)$ normal, isto \'e, $TT^*=T^*T$. Existe um 
      homomorfismo de \'algebras $\mathfrak{C}: C(\sigma(T))\longrightarrow \mathcal{B}(H)$ satisfazendo $\mathfrak{C}(\overline{f})=\mathfrak{C}(f)^*$ e
      $\|\mathfrak{C}(f)\|=\sup\{|f(z)|;\,z\in\sigma(T)\}$ para toda $f\in C(\sigma(T))$ e 
      \begin{equation}\label{exig}
        f(z)=\sum_{(m,n)\in F}a_{m,n}z^m\overline{z}^n,\ z\in\sigma(T),\ F\subset{\N\times\N}\ \text{finito}\ \ \Longrightarrow\
      \mathcal{C}(f)=\sum_{(m,n)\in F}a_{m,n}T^m(T^*)^n
      \end{equation}
\end{teo}
      Toda fun\cao\ cont\'inua definida em um compacto $K\subset \C$ \'e o limite uniforme de uma sequ\^encia de polin\^omios em $z$ e $\overline{z}$ restritos
      a $K$. Logo (\ref{exig}) implica que $\mathfrak{C}$ \'e \'unico. Note que (\ref{exig}) \'e equivalente a pedir que $\mathfrak{C}(\lambda\mapsto 1)=I$ e
      $\mathfrak{C}(\lambda\mapsto\lambda)=T$, se j\'a tivermos que $\mathfrak{C}$ \'e um ``*-homomorfismo''.

      Denotaremos $\mathfrak{C}(f)$ por $f(T)$.

            \begin{prop}\label{A}
              Seja $(T_k)_{k\in\N}$ uma sequ\^encia de operadores normais em $\mathcal{B}(H)$ convergindo para $T$ (que portanto tamb\'em \'e normal).
              Seja $K\subset\C$ um compacto
\footnote{Podemos tomar, por exemplo,  ${\displaystyle K=\{\lambda\in\C;\,|\lambda|\leq\sup_k\|T_k\|\}}$.}
contendo todos os $\sigma(T_k)$ e $\sigma(T)$. Ent\ao, para cada $f\in C(K)$, $f(T_k)\to f(T)$, onde denotamos $f|_{\sigma(T_k)}(T_k)$ e
$f|_{\sigma(T)}(T)$ por $f(T_k)$ e $f(T)$, respectivamente. \end{prop}
\dem\ Dados $f\in C(K)$ e $\epsilon > 0$, seja $p$ um polin\^omio em $z$ e $\overline{z}$ tal que $\sup\{|f(z)-p(z)|;\,z\in K\}<\epsilon/3$. Como
$T_k\to T$ e as opera\coes\ de tomar adjunto, do produto e da soma s\ao\ cont\'inuas, vem
\[
p(T_k)=\sum_{(m,n)\in F}a_{m,n}T_k^m(T_k^*)^n\ \longrightarrow\ \sum_{(m,n)\in F}a_{m,n}T^m(T^*)^n=P(T).
\]
Tome $k_0$ tal que $\|p(T_k)-p(T)\|<\epsilon/3$ para todo $k\geq k_0$. Ent\ao\
\[
\|f(T_k)-f(T)\|\,\leq\, \|f(T_k)-p(T_k)\|\,+\,\|p(T_k)-p(T)\|\,+\,\|p(T)-f(T)\|<\frac{\epsilon}{3}\,+\,2\sup\{|f(z)-p(z)|;\,z\in K\}\,<\,\epsilon,
\]
para todo $k\geq k_0$. \cqd

\begin{defi} Um operador $T\in B(H)$ \'e positivo se $T=T^*$ e $\langle Tx,x\rangle\geq 0$ para todo $x\in H$.\end{defi}

Na defini\cao\ precedente, a exig\^encia de $T$ ser autoadjunto \'e sup\'erflua no caso de o espa\c{c}o de Hilbert ser complexo, que \'e o caso que nos interessa
ao tratar de teoria espectral:

\noindent
{\tt Exerc\'icio}: Sejam $H$ um espa\c{c}o de Hilbert complexo e $T\in B(H)$ tal $\langle Tx,x\rangle\in\R$ para todo $x\in H$.
Mostre que $T=T^*$. Sugest\ao: Aplique a identidade de polariza\cao\ para a forma sesquilinear $[x,y]=\langle Tx,y\rangle$.

\begin{prop}\label{B}
  Se $T\in B(H)$ \'e positivo, ent\ao\ $\sigma(T)\subset [0,\infty)$.\end{prop}
\dem\ Dado $\lambda=a+ib$, $a,b\in\R$, usando que $\langle Tx,x\rangle\in\R$, para todo $x\in H$ temos 
  \[
\|(T-\lambda)x\|^2\ =\ \|(T-a)x\|^2+b^2\|x\|^2\ =\ \|Tx\|^2+|\lambda|^2\|x\|^2-2a\langle Tx,x\rangle.
\]
Se $b \neq 0$, segue que $\|(T-\lambda)x\|\geq |b|\|x\|$. Se $a<0$, usando que $\langle Tx,x\rangle\geq 0$, segue que
$\|(T-\lambda I)x\|\geq |\lambda|\|x\|$. Isto prova que, para todo $\lambda\not\in[0,\infty)$, existe $C>0$ tal que
  \[
  \|(T-\lambda)x\|\ \geq C\|x\|,\ \ \ \text{para todo}\ x\in H.
  \]
  Da\'i decorre que $T-\lambda I$ \'e injetor e tem imagem fechada. Como $T=T^*$, o n\'ucleo de $(T-\overline{\lambda} I)$ \'e o complemento
  ortogonal da imagem de $T-{\lambda}I$, que \'e fechada; logo $T-\lambda I$ \'e sobrejetor. \cqd

  Dado $T$ um operador positivo, a fun\cao\ $f(t)=\sqrt{t}$ \'e cont\'inua em $\sigma(T)$. Definimos ent\ao\ $\sqrt{T}=f(T)$ usando o
  c\'alculo funcional cont\'inuo. 

  \begin{prop} Seja $(T_n)_{n\in\N}$ uma sequ\^encia convergente de operadores positivos em $\mathcal{B}(H)$, $T_n\to T$. Ent\ao\ $T$ \'e
    positivo e $\sqrt{T_n}\,\longrightarrow\, \sqrt{T}$. \end{prop}
  \dem\ Notando que $T_n^*\,\longrightarrow\, T^*$ e $\langle T_nx,x\rangle\,\longrightarrow\,\langle Tx,x\rangle$, conclu\'imos que $T$ tamb\'em
  \'e positivo. Depois basta aplicar a Proposi\cao\ \ref{A}\ para o compacto $K=[0,M]$, tomando algum $M$ tal que $\|T_n\|\leq M$
  para todo $n$. \cqd

  \begin{cor}\label{cor} Seja $(T_n)_{n\in\N}$ uma sequ\^encia convergente de operadores positivos em $\mathcal{B}(H)$, $T_n\to T$. Suponha que cada $T_n$ e $T$
    sejam invers\'iveis. Ent\ao\ $\sqrt{T_n}$ e $\sqrt{T}$ tamb\'em s\ao\ invers\'iveis e $(\sqrt{T_n})^{-1}\to (\sqrt{T})^{-1}$.\end{cor}
            \section{C\'alculo Funcional Boreliano}
            
            \begin{teo}\label{cfbT} Sejam $H$ um espa\c{c}o de Hilbert complexo e $T\in\mathcal{B}(H)$ normal. Denotemos por
              $B(\sigma(T))$ a *\'algebra das fun\coes\ borelianas, complexas e limitadas definidas em $\sigma(T)$, munida da
              norma $\|f\|_\infty=\sup\{|f(\lambda)|;\,\lambda\in\sigma(T)\}$.
              Ent\ao\ existe um *-homomorfismo $\Phi:B(\sigma(T))\longrightarrow \mathcal{B}(H)$, $\Phi(h)=h(T)$ que estende
              o c\'alculo funcional cont\'inuo e satisfaz
  \begin{enumerate}
  \item $\|\Phi(h)\|\leq\|h\|_\infty$ para toda $h\in B(\sigma(T))$,
  \item $h_n(T)v\to h(T)v$ para todo $v\in H$, se $h_n(\lambda)\to h(\lambda)$ para todo $\lambda\in\sigma(T)$ e
    ${\displaystyle \sup_n\|h_n\|_\infty<\infty}$.
    \end{enumerate}
\end{teo}

Segue de toda fun\cao\ de $B(\sigma(T))$ 
ser o limite ponto-a-ponto de uma sequ\^encia de limitada fun\coes\ em $C(\sigma(T))$ que $\Phi$ \'e a \'unica extens\ao\ do c\'alculo
funcional cont\'inuo satisfazendo o item (2) do enunciado do Teorema~\ref{cfbT}.



       \subsection*{O grupo dos operadores unit\'arios em um espa\c{c}o de Hilbert} $\ $

       O conjunto dos operadores unit\'arios em um espa\c{c}o de Hilbert $H$,
       $\mathcal{U}(H)\coloneqq\{U\in\mathcal{B}(H);\,U^*=U^{-1}\}$, \'e um grupo topol\'ogico com a composi\cao\ de operadores como
       opera\cao\ e com a topologia relativa do espa\c{c}o normado $\mathcal{B}(H)$. 
       Como $\|U\|^2=\|U^*U\|=\|I\|$, segue que $\|U\|=1$ para todo $U\in\mathcal{U}(H)$.

       Um operador \'e unit\'ario se se somente \'e um isomoformismo linear isom\'etrico
       de $H$ em $H$, o que por sua vez \'e equivalente a $U:H\to H$ ser uma bije\cao\ que preserva o produto interno.

       \begin{prop}\label{specunitario} Se $U\in\mathcal{U}(H)$, ent\ao\ $\sigma(U)\subseteq S^1$. \end{prop}
       \dem Sendo $U$ normal, podemos considerar o c\'alculo funcional cont\'inuo a ele associado. Tome $f\in C(\sigma(U))$ definida por
       $f(\lambda)=\lambda\overline{\lambda}$, $\lambda\in\sigma(U)$. Ent\ao\ $f(U)=UU^*=I=\mathbf{1}_{C(\sigma(U))}(U)$, logo $z\overline{z}=1$
       para todo $z\in\sigma(U)$, logo $\sigma(U)\subseteq S^1$. \cqd

       A proposi\cao\ seguinte estabelece que $\mathcal{U}(H)$ \'e conexo por caminhos.

       \begin{prop} Dado $U\in\mathcal{U}(H)$, existe uma curva cont\'inua na topologia da norma
         $[0,1]\ni t\longmapsto U_t\in\mathcal{U}(H)\subset\mathcal{B}(H)$
         tal que $U_0=I$ e $U_1=U$.
       \end{prop}
       \dem Para cada $t\in [0,1]$, considere $h_t:S^1\longrightarrow\C$ definida por
       \[
h_t(e^{i\theta})\,=\,e^{it\theta},\ \ \text{para todo}\ \ \theta\in(-\pi,\pi]
  \]
  (na linguagem cl\'assica, $h_t$ \'e o {\em ramo principal} da {\em fun\cao\ multivalente} $z\mapsto z^t$).
  Para cada $t$, a fun\cao\ $h_t$ \'e cont\'inua exceto em $z=-1$, ponto em que possui limites laterais distintos se $0<t<1$. Logo,
  $h_t$ \'e mensur\'avel
       a Borel. Segue da desigualdade
       \[
|e^{it\theta}-e^{is\theta}|\leq \pi|t-s|,\ \ \text{para todo}\ \ \theta\in(-\pi,\pi],
  \]
  v\'alida para todos $t,s\in[0,1]$, que
  \[
[0,1]\ni t\ \longmapsto\ h_t\in B(\sigma(U))
\]
\'e cont\'inua relativamente \`a norma $\|\cdot\|_\infty$.

Segue da Proposi\cao\ \ref{specunitario} que $\sigma(U)\subseteq S^1$. Denotando tamb\'em por $h_t$ a restri\cao\ de $h_t$
a $\sigma(U)$, segue da continuidade do {\em c\'alculo funcional boreliano}
$\Phi:B(\sigma(U))\longrightarrow \mathcal{B}(H)$ que
\[
[0,1]\ni t\ \longmapsto\ h_t(U)\in\mathcal{B}(H)
\]
\'e uma curva cont\'inua ligando $h_0(U)=I$ a $h_1(U)=U$.

Resta provar que $h_t(U)$ \'e unit\'ario para todo $t$. Segue da defini\cao\ de $h_t$ que $h_t(\lambda)\overline{h_t(\lambda)}=1$ para todo
$\lambda\in\sigma(U)$. Aplicando $\Phi$ a esta identidade, decorre que $h_t(U)h_t(U)^*=h_t(U)^*h_t(U)=I$. \cqd

\subsection*{$GL(H)$ \'e conexo por caminhos}

\section{$GL(H)$ \'e conexo por caminhos, sem teoria espectral}

Seja $H$ um espa\c{c}o de Hilbert separ\'avel.

Nesta se\cao\, vamos provar que $GL(H)$ \'e conexo por caminhos sem usar teoria espectral. Embora mais elementar, a demonstra\cao\ \'e bem
mais dif\'icil. S\ao\ duas as vantagens de n\ao\ usar o teorema espectral (ou o c\'alculo funcional boreliano para operadores normais
em $B(H)$, que \'e equivalente \`a vers\ao\ original e mais conhecida do teorema espectral): (1) a demonstra\cao\ se aplica tamb\'em para
espa\c{c}os de Hilbert reais e (2) ela pode ser generalizada para demonstrar que, para todo espa\c{c}o Hausdorff compacto $X$, toda fun\cao\
cont\'inua de $X$ em $GL(H)$ \'e homot\'opica \`a fun\cao\ constante igual a $I$, o operador identidade em  $H$. Ou seja, na nota\cao\
padr\ao\ da topologia alg\'ebrica, $[X,GL(H)]$ (o conjunto das classes de homotopia de fun\coes\ cont\'inuas de $X$ em $GL(H)$) consiste
apenas de um ponto.

Esta exposi\cao\ \'e baseada em \cite[Section 3.4]{BB} e em \cite{K}.

\begin{prop}\label{BB1} Dado $R_0\in B(H)$ invers\'ivel, existem conjuntos ortonormais $\{a_1,a_2,\cdots\}$ e $\{\mathring{a}_1,\mathring{a}_2,\cdots\}$,
  e uma fam\'ilia de subespa\c{c}os de $H$ dimens\ao\ tr\^es $A_1,A_2,\cdots$, mutuamente ortogonais, tais que $a_j,\mathring{a}_j, R_0a_j\in A_j$
  e $\mathring{a}_j$ \'e ortogonal a $a_j$ e a $R_0a_j$ para todo $j$.
\end{prop}

\begin{prop}\label{BB2} Seja $R_0\in B(H)$ invers\'ivel e sejam $\{a_1,a_2,\cdots\}$, $\{\mathring{a}_1,\mathring{a}_2,\cdots\}$
  e $A_1,A_2,\cdots$ fam\'ilias de vetores e subespa\c{c}os satisfazendo as prescri\coes\ da Proposi\cao~\ref{BB1}. Denotemos por $A$ o subespa\c{c}o fechado
  de $H$ que tem em $\{a_1,a_2,\cdots\}$ um conjunto ortonormal completo. Ent\ao\ existe uma homotopia
  em $GL(H)$ conectando $R_0$ a $R_1$, com $R_1$ satisfazendo $\|R_1a_j\|=1$ para todo $j$ e $R_1x=R_0x$ para todo $x\in A^\perp$.
\end{prop}

\begin{prop}\label{BB3} Dado $R_0\in B(H)$ invers\'ivel, sejam  $\{a_1,a_2,\cdots\}$, $\{\mathring{a}_1,\mathring{a}_2,\cdots\}$
  e $A_1,A_2,\cdots$ fam\'ilias de vetores e subespa\c{c}os satisfazendo as prescri\coes\ da Proposi\cao~\ref{BB1}, e seja $R_1$ o operador obtido na
  Proposi\cao~\ref{BB2}. Ent\ao\ existe homotopia conectando $R_1$ a $R_2$ em $GL(H)$, com $R_2$ satisfazendo $R_2a_j=a_j$ para todo $j$ e
  $R_0x=R_2x$ para todo $x\in  \left(\oplus_{j=1}^\infty A_j\right)^\perp$.
\end{prop}
\dem\ 
Segue das Proposi\coes\ \ref{BB1} e \ref{BB2} que, para todo $j$, $\{R_1a_j,\mathring{a}_j\}$ e $\{a_j,\mathring{a}_j\}$ s\ao\ conjuntos ortonormais, embora
$\{a_j,R_1a_j\}$ possa at\'e deixar de ser linearmente independente. Vamos construir uma homotopia de unit\'arios em $A_j$ fazendo primeiramente
uma rota\cao\ de $\pi/2$ no subespa\c{c}o gerado por $\{R_1a_j,\mathring{a}_j\}$ e, em seguida, uma rota\cao\ de $\pi/2$ no subespa\c{c}o gerado
por $\{a_j,\mathring{a}_j\}$.

Para cada $j$, para cada $0\leq t\leq 1/2$, defina o operador unit\'ario $U_t^j:A_j\to A_j$ por
\begin{equation}\label{umeio1}
\begin{array}{rcl}
  U_t^j(R_1a_j)&=& (\cos \pi t)\, R_1a_j\,+\,(\sin \pi t)\, \mathring{a}_j\\
  U_t^j(\mathring{a}_j)&=&(-\sin \pi t)\, R_1a_j\,+\,(\cos \pi t)\,\mathring{a}_j\\
  U_t^j(x)&=&x,\ \ \ \ x\in[R_1a_j,\mathring{a}_j]^\perp
\end{array}
\end{equation}
Como as entradas da matriz de $U_t^j$ em rela\cao\ a uma base ortonormal de $A_j$ s\ao\ fun\coes\ cont\'inuas, segue que (veja uma discuss\ao\ mais
detalhada sobre este ponto um pouco abaixo) $t\mapsto U_t^j$
\'e uma fun\cao\ cont\'inua de $[0,1/2]$ no conjunto dos operadores unit\'arios em $A_j$, que denotamos por $\mathcal{U}(A_j)$. Claro que $U_0^j$
\'e o operador identidade de $A_j$ e $U_{1/2}^j(R_1a_j)=\mathring{a}_j$ e $U_{1/2}^j(\mathring{a}_j)=-R_1a_j$. Para futura refer\^encia, registramos que
\begin{equation}\label{pulo}
(U_{1/2}^j)^{-1}(\mathring{a}_j)=R_1a_j
  \end{equation}

Para cada $j$, para cada $\frac{1}{2}\leq t\leq 1$, defina o operador unit\'ario $\mathring{U}^j:A_j\to A_j$ por
\begin{equation}\label{umeio2}
\begin{array}{rcl}
  \mathring{U}_t^j((U_{1/2}^j)^{-1}\mathring{a}_j)&=& (\cos \pi (t-1/2))\, \mathring{a}_j\,+\,(\sin \pi (t-1/2))\, a_j\\
  \mathring{U}_t^j((U_{1/2}^j)^{-1}a_j)&=&(-\sin \pi (t-1/2))\, \mathring{a}_j\,+\,(\cos \pi (t-1/2))\,a_j\\
  \mathring{U}_t^j((U_{1/2}^j)^{-1}x)&=&x,\ \ \ \ x\in[a_j,\mathring{a}_j]^\perp
\end{array}
\end{equation}
Temos tamb\'em, da mesma maneira, que $[\frac{1}{2},1]\ni t\mapsto\mathring{U}_t^j\in\mathcal{U}(A_j)$ \'e cont\'inua.
Usando (\ref{pulo}) e fazendo $t=1$ em (\ref{umeio2}), temos
\begin{equation}\label{u1}
  U_1(R_1a_j)=a_j.
\end{equation}
Fazendo $t=1/2$ em (\ref{umeio2}), vemos que $\mathring{U}_{1/2}^j(y)=U_{1/2}^j(y)$ para todo $y$ pertencente a uma base ortonormal
de $A_j$. Logo $\mathring{U}_{1/2}^j=U_{1/2}^j$. Podemos portanto redefinir $\mathring{U}_{t}^j=U_t^j$, $1/2\leq t\leq 1$, obtendo assim
uma homotopia $(U_t^j)_{t\in[0,1]}$ em $\mathcal{U}(A_j)$ tal que $U_0=I_{A_j}$ e $U_1$ satisfaz (\ref{u1}) 

Vamos agora ``colar'' essas homotopias em $\mathcal{U}(A_j)$ de modo a obter uma homotopia $(U_t)_{t\in [0,1]}$ no conjunto dos operadores
unit\'arios em  $H$, que denotamos por $\mathcal{U}(H)$. Para tanto, consideremos a seguinte decomposi\cao\ de $H$ em subespa\c{c}os
mutuamente ortogonais
\[
H\ =\ \overline{\left(\oplus_{j=1}^\infty A_j\right)}\bigoplus \left(\oplus_{j=1}^\infty A_j\right)^\perp.
\]
Todo $x\in H$ pode ser escrito de maneira \'unica como  $x=\sum_{j=1}^\infty x_j+x'$, $x_j\in A_j$ e $x'$ ortogonal a $x_j$ para todo $j$.
Para cada $t\in [0,1]$, podemos definir $U_t\in\mathcal{U}$ por
\[
U_tx\ = \sum_{j=1}^\infty U_tx_j\,+\,x'.
\]
Dados $t,t'\in[0,1]$, temos portanto
\[
\|(U_t-U_{t'})(x)\|^2\ =\ \sum_{j=1}^\infty\|(U_t^j-U_{t'}^j)(x_j)\|^2\ \leq\ \sup_j\|U_t^j-U_{t'}^j\|^2\sum_{j=1}^\infty\|x_j\|^2
\leq  \sup_j\|U_t^j-U_{t'}^j\|^2   \|x\|^2,
\]
de onde segue que
\begin{equation}
  \label{uttl}
\|U_t-U_{t' }\|\ \leq \  \sup_j\|U_t^j-U_{t'}^j\|. 
\end{equation}
Para provar a continuidade de $(U_t)_{t\in[0,1]}$, basta portanto provar que $\lim_{t'\to t}U^j_{t'}=U^j_t$, uniformemente em $j$.

Denotemos por $\|\cdot\|_{\text{op}}$ a norma de operadores em $M_n(\C)$, isto \'e,
\[
\|A\|_{\text{op}}\,=\,\sup_{\{x\in\C^n;x\neq 0\}}\frac{\|Ax\|_{\text{e}}}{\|x\|_{\text{e}}}
\]
onde denotamos por $\|\cdot\|_{\text{e}}$ a norma euclidiana em $\C^n$. \'E f\'acil ver que
\begin{equation}\label{normop}
  \|A\|_{\text{op}}\ \leq\ \max\{|a_{jk}|;\,1\leq j,k\leq n\},
\end{equation}
para toda $A=(\!(a_{jk})\!)_{1\leq j,k\leq n}\in M_n(\C)$.

Para cada $j$, tome $a^\heartsuit_j$ e $a^\dagger_j$ em $A_j$ de modo que $\beta_1=\{R_1a_j,\mathring{a}_j,a^\heartsuit_j\}$
$\beta_2=\{a_j,\mathring{a}_j,a^\dagger_j\}$ sejam bases ortonormais de $A_j$. Considere ainda a base ortonormal
$\beta_3=\{(U_{1/2}^j)^{-1}a_j,(U_{1/2}^j)^{-1}\mathring{a}_j,(U_{1/2}^j)^{-1}a^\dagger_j\}$. Para $i=1,2,3$, considere
o operador unit\'ario $\alpha_i:A_j\to\C^3$ que leva $x\in A_j$ em suas coordenadas na base $\beta_i$. Se $0\leq t, t'\leq 1/2$,
usando (\ref{pulo}), (\ref{umeio2}) e (\ref{normop}), temos
\[
\|U_t^j-U_{t'}^j\|
=
\|\alpha_1(U_t-U_{t'})\alpha_1^{-1}\|
=\]\[
\left\|\left[\begin{array}{ccc}
\cos\pi t-\cos\pi t'&\sin\pi t'-\sin\pi t&0
\\
\sin\pi t-\sin\pi t'&\cos\pi t-\cos\pi t'&0
\\
0&0&0
\end{array}\right]\right\|_{\text{op}}\!\!\!
\leq \max\{|\cos\pi t-\cos\pi t'|,|\sin\pi t-\sin\pi t'|\},
\]
o que prova que $(U_t)_{t\in[0,\frac{1}{2}]}$ \'e cont\'inua. Se $1/2\leq t,t'\leq 1$, vem
\[
\|U_t^j-U_{t'}^j\|
\!=\!
\|\alpha_3(U_t-U_{t'})\alpha_2^{-1}\|
\!=\!
\left\|\left[\begin{array}{ccc}
\cos\pi(t-1/2)-\cos\pi(t'-1/2)&\sin\pi (t'-1/2)-\sin\pi(t-1/2)&0
\\
\sin\pi(t-1/2)-\sin\pi (t'-12)&\cos\pi(t-1/2)-\cos\pi (t'-1/2)&0
\\
0&0&0
\end{array}\right]\right\|_{\text{op}}\!\!\!\!\!
\leq
\]\[
\max\{|\cos\pi(t-1/2)-\cos\pi (t'-1/2)|,|\sin\pi(t-1/2)-\sin\pi (t'-1/2)|\},
\]
de onde segue que
\begin{equation}\label{uniform}
\sup_j\|U_t^j-U_{t'}^j\| \ \leq\ \max\{|\cos\pi(t-1/2)-\cos\pi (t'-1/2)|,|\sin\pi(t-1/2)-\sin\pi (t'-1/2)|\},
\end{equation}
o que prova, devido a (\ref{uttl}), que $(U_t)_{t\in[\frac{1}{2},1]}$ \'e cont\'inua. 


Consideremos agora a homotopia  $R_t=U_{t-1}R_1$, $1\leq t\leq 2$. Usando (\ref{u1}), vem  $R_2(a_j)=U_1(R_1a_j)=a_j$ para todo $j$ e
$R_2x=R_1x=R_0x$ se ${\displaystyle x\in \left(\oplus_{j=1}^\infty A_j\right)^\perp}$. \cqd


Seja $M$ um subespa\c{c}o fechado de um espa\c{c}o de Hilbert $H$. Dados $T_{11}\in B(M,M)$, $T_{22}\in B(M^\perp)$, $T_{12}\in B(M^\perp,M)$
e $T_{21}\in B(M,M^\perp)$, um operador $T\in B(H)$ pode ser definido por meio de multiplica\cao\ de matrizes,
\[
H=M\oplus M^\perp\ni\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]\ \ \overset{T}{\longmapsto}\ \
\left[\begin{array}{cc}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{array}\right]\,
\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]\in M\oplus M^\perp=H.
\]
Reciprocamente, todo $T\in B(H)$ pode ser descrito por uma \'unica matriz como acima, tomando $T_{ij}=P_iTI_j$, $P_1:H\to M$ e $P_2:H\to M^\perp$
proje\coes\ ortogonais, $I_1:M\to H$ e $I_2:M^\perp\to H$ inclus\oes. \'E f\'acil ver que
\begin{equation}\label{matrixnorm}
  \|T_{ij}\|\leq\|T\|\ \text{para todo}\ (i,j)\ \ \text{e}\ \ \|T\|\leq\max\{\|T_{ij}\|;\,1\leq 1,j\leq 2\}.
\end{equation}
Chamaremos $(\!(T_{ij})\!)_{1\leq i,j\leq 2}$ de {\em matriz de $T$ relativa \`a decomposi\cao}\ $H=M\oplus M^\perp$. 

{\tt Exerc\'icio 1}: (a) Seja $E$ e $F$ subespa\c{c}os fechados de um espa\c{c}o de Banach $X$, tais que $X=E\oplus F$, seja $T\in B(X)$.
Mostre que
existem \'unicos $T_{11}\in B(E)$, $T_{22}\in B(F)$, $T_{12}\in B(F,E)$ e $T_{21}\in B(E,F)$ tais que
\[
X=E\oplus F\ni\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]\ \ \overset{T}{\longmapsto}\ \
\left[\begin{array}{cc}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{array}\right]\,
\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{c}T_{11}x_1+T_{12}x_2\\T_{21}x_1+T_{22}x_2\end{array}\right]
\in E\oplus F=X.
\]
(b) Mostre que a bije\cao\ definida no item (a), $B(X)\mapsto B(E)\times B(F,E)\times B(E,F)\times B(F)$ \'e um isomorfismo de espa\c{c}os de Banach.  


\begin{prop}\label{kuiperfraco}
  $($\cite[Lemma 7]{K}$)$ Seja $R\in B(H)$ invers\'ivel. Se existir um subespa\c{c}o $V$, $V$ e $V^\perp$ de dimens\ao\ infinita,
  restrito ao qual $R$ \'e igual \`a identidade, ent\ao\ existe uma homotopia conectando $R$ \`a identidade em $GL(H)$.
  \end{prop}
\dem\ Sendo $R$ cont\'inuo, $R$ restrito ao fecho de $V$, $\overline{V}$, tamb\'em \'e a identidade.
A matriz de $R$ relativa \`a decomposi\cao\ $H=V^\perp\oplus\overline{V}$ \'e da forma
\[
\left[\begin{array}{cc}P&0\\Q&I\end{array}\right], 
\]
onde $I$ denota a identidade em $\overline{V}$. Para cada $t\in[0,1]$, podemos definir $R_t\in B(H)$ declarando que sua matriz relativa
\`a decomposi\cao\ $H=V^\perp\oplus\overline{V}$ \'e
\[
\left[\begin{array}{cc}P&0\\(1-t)Q&I\end{array}\right].
\]
Decorre de (\ref{matrixnorm}) que a aplica\cao\ $t\mapsto R_t$ \'e cont\'inua e $R_0=R$.
Basta agora mostrar que o operador $R_1$, que tem como matriz
\[
\left[\begin{array}{cc}P&0\\0&I\end{array}\right]
\]
(escrevemos ent\ao\ $R_1=P\oplus I$), pode ser deformado \`a identidade.

Seja $\{a_1,a_2,\cdots\}$ um conjunto ortonormal completo de $\overline{V}$. O conjunto dos n\'umeros naturais $\N=\{1,2,3,\cdots\}$ pode ser decomposto
como uma uni\ao\ infinita de subconjuntos infinitos disjuntos, por exemplo, 
\[
\N=\N_2\cup\N_3\cup\N_4\cup\cdots, \ \ \ \N_j=\{2^{j-2}(2k-1);\,k\in\N\},\ j=2,3,4,\cdots.
\]
Seja $H_1=V^\perp$ e seja $H_j$ o subespa\c{c}o fechado gerado por $\{a_i;\,i\in\N_j\}$, $j=2,3,\cdots$. Ent\ao\ $H_1\oplus H_2\oplus\cdots$ (soma alg\'ebrica) \'e
denso em $H$. Dados $B_j\in B(H_j)$, $j=1,2,\cdots$, tais que $\sup\{\|B_j\|;\,j=1,2,\cdots\}=m<\infty$, existe um \'unico $B\in B(H)$, $\|B\|=m$,
tal que $B$ restrito a $H_j$ coincide com $B_j$ para todo $j$ (verifique esta afirma\cao). Denotamos $B=B_1\oplus B_2\oplus\cdots$. Esta ``soma''
\'e ``associativa'' no seguinte sentido. Definindo $K_1=H_1$, $K_2=H_2\oplus H_3$, $K_3=H_4\oplus H_5$, $\cdots$ e $C_1=B_1$, $C_2=B_2\oplus B_3$,
$C_3=B_4\oplus B_5$, $\cdots$, vale tamb\'em a igualdade $B=C_1\oplus C_2\oplus C_3\oplus \cdots$ (verifique esta afirma\cao). \'E neste sentido que
podemos escrever 
\[
R=P\oplus I_2\oplus I_3\oplus I_4\oplus I_5\oplus \cdots=P\oplus (I_2\oplus I_3)\oplus (I_4\oplus I_5)\oplus \cdots,
\]
onde $I_j$ denota o operador identidade em $H_j$. Todos os espa\c{c}os $H_j$ s\ao\ espa\c{c}os de Hilbert separ\'aveis de dimens\ao\ infinita e portanto
s\ao\ mutuamente isomorfos. Usando esses isomorfismos, podemos identificar todos os operadores identidade, denotando $I_j=I$ para todo $j$,
sempre que for conveniente.
Em cada $H_j$, podemos definir operadores $P_j$ unitariamente equivalentes a $P$, e sempre que for conveniente denotaremos $P_j=P$ para todo $j$.
Com esse entendimento, podemos escrever
\[
R=P\oplus(PP^{-1}\oplus I)\oplus(PP^{-1}\oplus I)\cdots
\]
Para $k=1,2,\cdots$, \'e poss\'ivel construir uma curva cont\'inua de operadores invers\'iveis em  $B(H_{2k}\oplus H_{2k+1})$ conectando
$PP^{-1}\oplus I$ a $P^{-1}\oplus P$. Formalmente (ou seja, ignorando o isomorfismo que permite identificar $H_{2k}$ com $H_{2k+1}$ e $P_{2k}$
com $P_{2k+1}$), essa homotopia pode ser descrita pela f\'ormula (\cite[Exercise 3.18]{BB})
\begin{equation}
  \label{homotopia}
  [0,\pi/2]\ni t\ \longmapsto\
\left[
  \begin{array}{cc}
\cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t
    \end{array}
  \right]\,
\left[
  \begin{array}{cc}
P^{-1}&0\\0&I
    \end{array}
  \right]\,
\left[
  \begin{array}{cc}
\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t
    \end{array}
  \right]\,
\left[
  \begin{array}{cc}
P&0\\0&I
    \end{array}
\right]
  \end{equation}
    

    As homotopias $P^{-1}P\oplus I\sim_h P^{-1}\oplus P$ em $GL(H_{2k}\oplus H_{2k+1})$, $k=1,2,\cdots$, podem ser coladas para definir uma homotopia em $GL(H)$.
    Rearranjando os par\^entesis, vem
    \[
    R=P\oplus(PP^{-1}\oplus I)\oplus(PP^{-1}\oplus I)\cdots \sim_h
P\oplus(P^{-1}\oplus P)\oplus(P^{-1}\oplus P)\oplus\cdots
    =(P\oplus P^{-1})\oplus (P\oplus P^{-1})\oplus(P\oplus P^{-1})\oplus\cdots
    \]
    Pelo mesmo argumento usado logo acima, cada $P\oplus P^{-1}$ \'e homot\'opico em $GL(H_{2k-1}\oplus H_{2k})$ a $I_{2k-1}\oplus I_{2k}$,
    $k=1,2,\cdots$. Segue portanto que $R$ \'e homot\'opico a $I_1\oplus I_2\oplus I_3\oplus\cdots$, que \'e o operador identidade em $H$.
    \cqd

    {\tt Exerc\'icio 2}: Verifique em detalhe as afirma\coes\ \`a cerca da homotopia em (\ref{homotopia}) .
    Em particular, justifique porque a homotopia s\'o assume valores em operadores
    invers\'iveis e escreva a homotopia mais explicitamente, escrevendo $P_{2k-1}$ ou $P_{2k}$ no lugar de $P$ e
    fazendo aparecer na f\'ormula o isomorfismo $\Xi_{k}:H_{2k}\to H_{2k+1}$.

    {\tt Exerc\'icio 3}: Demonstre a Proposi\cao\ \ref{kuiperfraco} no caso em que $V^\perp$ tem dimens\ao\ finita. 

    Est\'a praticamente pronta a demonstra\cao\ do principal teorema desta se\cao.

    \begin{teo} \label{cpc}  Seja $H$ um espa\c{c}o de Hilbert separ\'avel, real ou complexo. Ent\ao\ $GL(H)$ \'e conexo por caminhos.\end{teo}
    \dem\ Dado $R_0\in B(H)$, segue das Proposi\coes\ \ref{BB1}, \ref{BB2}  e \ref{BB3} que existe uma homotopia $(R_t)_{t\in[0,2]}$
    tal que $R_2a_j=a_j$ para todo $j=1,2,\cdots$, sendo $\{a_1,a_2,\cdots\}$ um conjunto ortonormal infinito.

    Seja $V$ o subespa\c{c}o de $H$
    gerado por $\{a_1,a_2,\cdots\}$. Por constru\cao, sabemos que $V^\perp$ tem dimens\ao\ infinita ($V^\perp$ cont\'em o conjunto
    ortonormal infinito $\{\mathring{a}_1,\mathring{a}_2,\cdots\}$). Segue da Proposi\cao\ \ref{kuiperfraco}\ que $R_2$ \'e homot\'opico ao
    operador identidade em $H$. \cqd

    {\tt Observa\cao}. O Teorema \ref{cpc} vale tamb\'em, com a mesma demonstra\cao\ que demos aqui, para {\em espa\c{c}os de Hilbert quarterni\^onicos}.

    \section{O Teorema de Kuiper}

    Seja $X$ um espa\c{c}o de Hausdorff compacto e seja $H$ um espa\c{c}o de Hilbert separ\'avel de dimens\ao\ infinita.

    \begin{prop}\label{kuidimfin} Dada $f\in C(X,GL(H))$, existe homotopia $(f_t)_{0\leq t\leq 1}$ tal que $f_0=f$ e a imagem de $f_1$, $\{f_1(x);\,x\in X\}$,
      est\'a contida em um subespa\c{c}o $V\subset B(H)$ de dimens\ao\ finita. \end{prop}

    \begin{prop} Dados $T_1,T_2,\cdots T_n\in GL(H)$, existe um conjunto ortonormal infinito $\{a_1,a_2,\cdots \}$,  uma fam\'ilia de subespa\c{c}os
      $A_1,A_2,\cdots$ de dimens\ao\ $n+2$, $A_j$ ortogonal a $A_k$ se $j\neq k$, tais que $\{a_j,T_1a_j,\cdots,T_na_j\}$
      est\'a contido em $A_j$ para todo $j$. \end{prop}
    \dem\
    A constru\cao\ come\c{c}a tomando-se arbitrariamente um $a_1\in H$ unit\'ario e $A_1$ um subespa\c{c}o de dimens\ao\ $n+2$ de $H$
    contendo $\{a_j,T_1a_j,\cdots,T_na_j\}$.
    
    O espa\c{c}o $W_1=A_1^\perp\cap T_1^{-1}(A_1^\perp)\cap\cdots\cap T_n^{-1}(A_1^\perp)$ tem codimens\ao\ finita, pois \'e a interse\cao\  de um n\'umero
    finito de espa\c{c}os de codimens\ao\ finita. Escolha arbitrariamente $a_2$ unit\'ario pertencente a $W_1$. Cada $T_i(a_2)$ pertence a $A_1^\perp$,
    pois $a_2\in T_i^{-1}(A_1^\perp$, $i=1,2,\cdots n$. Escolha arbitrariamente um subespa\c{c}o $A_2\subset A_1^\perp$ de dimens\ao\ $n+2$
    contendo $\{a_2,T_1a_2,\cdots,T_ma_2\}$. 

    O espa\c{c}o $W_2=W_1\cap A_2^\perp\cap T_1^{-1}(A_2^\perp)\cap\cdots\cap T_n^{-1}(A_2^\perp)$ tem codimens\ao\ finita. Escolha arbitrariamente
    $a_3\in W_2$ unit\'ario. Ent\ao\ $T_i(a_3)\in A_1^\perp\cap A_2^\perp$, $i=1,2,\cdots, n$, pois $a_3\in T_i^{-1}(A_1^\perp)\cap T_i^{-1}(A_2^\perp)$,
    $i=1,2,\cdots,n$. Escolha arbitrariamente um espa\c{c}o de dimens\ao\ $n+2$ contido em $A_1^\perp\cap A_2^\perp$ contendo $\{a_3,T_1a_3,\cdots,T_na_3\}$.

    J\'a deve ter ficado claro para o leitor como se pode concluir por indu\cao\ esta demonstra\cao. \'E importante notar que, para cada $n$, o $W_n$
    correspondente tem codimens\ao\ finita, de modo que sempre haver\'a espa\c{c}o para continuar o processo. A hip\'otese de indu\cao\ \'e
    apresentada explicitamente em \cite[Lemma 3]{K}.  \cqd

    O aparente desperd\'icio ao tomar cada $A_j$ com dimens\ao\ $n+2$, apesar de bastar tomar um espa\c{c}o de dimens\ao\ $n+1$ para conter
    $\{a_j,T_1a_j,\cdots,T_ma_j\}$, se justifica para que tenhamos mais espa\c{c}o para construir homotopias de operadores em $A_j$. A dimens\ao\ de
    $A_j$ ser maior do que $n+1$ garante
    a exist\^encia, para cada $j$, de um vetor unit\'ario $\mathring{a}_j\in A_j$ ortogonal aos vetores $a_j,T_1a_j,\cdots,T_na_j$.

    Seja $n$ a dimens\ao\ do espa\c{c}o $V$ de dimens\ao\ finita obtido na Proposi\cao\ \ref{kuidimfin}, seja $\{T_1,T_2,\cdots,T_n\}$ uma base de $V$.
    Para cada $R\in V$, temos que $\mathring{a}_j$ \'e ortogonal a $a_j$ e $Ra_j$. As demonstra\coes\ das Proposi\coes\ \ref{BB2} e \ref{BB3}
    mostram que existe homotopia $(R_t)_{t\in[0,1]}$ em $GL(H)$ tal que $R_0=R$ e $R_1a_j=a_j$ para todo $j$. Mas precisamos de mais do que isso, precisamos
    de continuidade conjunta nas duas vari\'aveis da aplica\cao\ $(R,t)\mapsto R_t$. Esta afirma\cao\ ser\'a reenunciada de forma mais precisa na demonstra\cao\
    das duas proposi\coes\ seguintes. 

    \begin{prop}\label{BB2k} Seja $V$ um subespa\c{c}o de dimens\ao\ $n<\infty$ de $GL(H)$ e seja $f\in C(X,GL(H))$ tal que $f(x)\in V$ para todo $x\in X$.
      Sejam $A_j$, $j=1,2,\cdots$ subespa\c{c}os de dimens\ao\ $n+2$ mutuamente ortogonais, sejam $a_j$ e $\mathring{a}_j$ vetores unit\'arios em $A_j$ tais
      que $\mathring{a}_j$ \'e perpendicular a $a_j$ e a $Ta_j$ para todo $j$ e para todo $T\in V$. Ent\ao\ existe uma homotopia $(f_t)_{t\in[0,1]}$
tal que $f_0=f$ e $\|f_1(x)a_j\|=1$ para todo $x\in X$ e para todo $j=1,2\cdots$ 
    \end{prop}
    \dem\ 

Etc, etc.   
    \cqd
    
    \subsection*{Exerc\'icio 4} $\ $

    \noindent
    Sejam $V$ um espa\c{c}o complexo com produto interno e $\{u,v\}$ um conjunto linearmente independente em $V$, $\|u\|=\|v\|=1$.
    Denotaremos, como de costume, por $[u,v]$ o subespa\c{c}o de $V$ gerado por $u$ e $v$. Seja $w\in V$ unit\'ario e ortogonal a $u$ e a $v$, denotemos por
    $W$ o subespa\c{c}o de $V$ gerado por $u$, $v$ e $w$.

    \noindent
    (a) Mostre que existem vetores unit\'arios $u^\flat$ e $v^\flat$ em $V$ tais que $\beta_1=\{u,u^\flat\}$ e $\beta_2=\{v,v^\flat\}$ sejam bases ortonormais
    de $[u,v]$, a matriz de mudan\c{c}a de coordenadas de $\beta_2$ para $\beta_1$ sendo dada por
    \footnote{A matriz $[I]^{\beta_2}_{\beta_1}$ satisfaz $[I]^{\beta_2}_{\beta_1}[x]_{\beta_2}=[x]_{\beta_1}$, $[x]_{\beta_i}$ denotando
      as coordenadas de qualquer $x\in[u,v]$ na base $\beta_i$.}
    \[
      [I]^{\beta_2}_{\beta_1}=
      \left[
        \begin{array}{cc}
          \overline{\langle u,v\rangle}&-\sqrt{1-|\langle u,v\rangle|^2}
          \\
          \sqrt{1-|\langle u,v\rangle|^2}&\langle u,v\rangle
        \end{array}
        \right]
    \]
    Dado $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$, denotemos por $R_1$ e $R_2$ os operadores lineares em $W$ cuja matrizes nas bases $\beta_1$ e $\beta_2$ s\ao\ 
    \[
      [R_1]_{\beta_1}=
      \left[
        \begin{array}{ccc}
\cos\theta & 0 & \sin\theta 
          \\
0 & 1 & 0
          \\
         -\sin\theta & 0 & \cos\theta 
        \end{array}
        \right]
      \ \ \text{e}\ \
[R_2]_{\beta_2}=
      \left[
        \begin{array}{ccc}
          \cos\theta & 0 & -\sin\theta
          \\
0 & 1 & 0
          \\
    \sin\theta & 0 & \cos\theta      
        \end{array}
        \right].
    \]
(b) Seja $A=((a_{jk}))_{1\leq j,k\leq 3}$ a matriz na base $\beta_1$ do operador $R_1\circ R_2 -I$. Mostre que
    \[
    \max_{1\leq j,k\leq 3}|a_{jk}|\ \leq \ 3\,\max\{|\sin\alpha|,\,|\cos\alpha-1|,\,|\cos\alpha-e^{i\lambda}|\},
\]
onde $\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}]$ e $e^{i\lambda}\in S^1$ s\ao\ definidos pelas igualdades $|\langle u, v\rangle|=\cos\alpha$ e
      $\langle u,v\rangle=e^{i\lambda}\cos\alpha$.

      \noindent
      (c)
      Supondo que $\langle u,v\rangle\in\R$, para os operadores $R_1$ e $R_2$ definidos antes do item (b) mostre que
      \begin{equation}\label{estimativa}
        \|R_1\circ R_2-I\|\leq C\|u-v\|,
        \end{equation}
      com $C=18$.

      \noindent
      (d) Existe uma constante universal $C$ tal que valha (\ref{estimativa}) mesmo que $\langle u,v\rangle$ n\ao\ seja real?

      \vskip3mm
      
      \begin{prop}\label{BB3k} Seja $V$ um subespa\c{c}o de dimens\ao\ $n<\infty$ de $GL(H)$ e seja $f\in C(X,GL(H))$ tal que $f(x)\in V$ para todo $x\in X$.
      Sejam $A_j$, $j=1,2,\cdots$ subespa\c{c}os de dimens\ao\ $n+2$ mutuamente ortogonais, sejam $a_j$ e $\mathring{a}_j$ vetores unit\'arios em $A_j$ tais
      que $\mathring{a}_j$ \'e perpendicular a $a_j$ e a $Ta_j$ para todo $j$ e para todo $T\in V$. Al\'em disso, suponha que $\|Ta_j\|=1$ para todo
      $j$ e para todo $T\in V$.  Ent\ao\ existe uma homotopia $(f_t)_{t\in[0,1]}$ em $C(X,GL(H))$
tal que $f_0=f$ e $f_1(x)a_j=a_j$ para todo $x\in X$ e para todo $j=1,2\cdots$ 
      \end{prop}
      \dem\ Para cada $j=1,2,\cdots$, $T\in V\cap GL(H)$ e $t\in[0,\frac{1}{2}]$, defina em $A_j$ o operador unit\'ario $U_j(T,t)$ pela f\'ormula (\ref{umeio1})
      com $T$ no lugar de $R_1$; para $t\in[\frac{1}{2},1]$, use a f\'ormula (\ref{umeio2}), que depende s\'o de $j$. Para cada $T\in V\cap GL(H)$ fixo, a
      demonstra\cao\ que demos da continuidade de $[0,1]\ni t\mapsto U_t^j\in\mathcal{U}(A_j)$ na Proposi\cao~\ref{BB3} demonstra tamb\'em a continuidade de
      $[0,1]\ni t\mapsto U(T,t)\in\mathcal{U}(A_j)$, com as seguintes modifica\coes. A base $\beta_1$ passa a ser uma  base ortonormal de $A_j$ cujos
      dois primeiros vetores s\ao\ $\{Ta_j,\mathring{a}_j\}$; analogamente para $\beta_2$ com $a_j$ substituindo $Ta_j$. E $\beta_3$ passa a ser a imagem
      de $\beta_2$ pelo operador unit\'ario $(U_{1/2}^j)^{-1}$. As isometrias $\alpha_i:A_j\to \C^{n+2}$ s\ao\ definidas do mesmo jeito e as matrizes
      $3\times 3$ s\ao\ substitu\'idas por matrizes $(n+2)\times (n+2)$ com a mesma apar\^encia, em que as entradas nulas denotam blocos de zeros de tamanhos
      $1\times n$, $n\times n$ ou $n\times 1$. Como, para $t\in [\frac{1}{2},1]$, $U_j(T,t)$ s\'o depende de $t$, isto \'e suficiente para demonstrar a
      continuidade da aplica\cao\
      \[
      (V\cap GL(H))\times [1/2,1]\ \longmapsto\ U_j(T,t)\in\mathcal{U}(A_j)
      \]
      Al\'em disso, a continuidade \'e uniforme em $j$, tal como expressamos na desigualdade $(\ref{uniform})$.

     % Para demonstrar a continuidade de $U_j(T,t)$ para $0\leq t\leq \frac{1}{2}$ ser\'a preciso restringir os valores de $T$ a um subconjunto
     % de $V\cap GL(H)$. Seja $C\geq 1$, a ser escolhido no final da demonstra\cao. Definamos ent\ao
     % \[
%V_C\ =\ \{T\in V\cap GL(H); \|T\|\leq C\ \text{e}\ \|T^{-1}\|\leq C\}
%\]
Para $T,T'\in V_\cap GL(H)$ e $t,t'\in [0,\frac{1}{2}]$, temos
\begin{equation}\label{es2}
\|U_j(T,t)-U_j(T',t')\|\leq \ \|U_j(T,t)-U_j(T,t')\|\,+\,\|U_j(T,t')-U_j(T',t')\|
\end{equation}
De novo pelo argumento da Proposi\cao~\ref{BB3}, a primeira parcela do lado direito de (\ref{es2}) fica arbitrariamente pequena, uniformemente em
$j$, para $|t-t'|$ suficientemente pequeno. Para estimar a segunda parcela, temos de levar em conta que a isometria $\alpha_1$ depende de
$T$. Se $Ta_j=T'a_j$, a segunda parcela \'e nula. Se $Ta_j\neq T'a_j$, seja $\alpha\neq 0$ o \^angulo formado por $Ta_j$ e $T'a_j$. 

\cqd

      Concatenando as homotopias obtidas nas Proposi\coes\ \ref{kuidimfin}, \ref{BB2k} e \ref{BB3k}, obtemos imediatamente o seguinte teorema.

      \begin{teo} Dada $f\in C(X,GL(H))$, existem um conjunto ortonormal $\{a_1,a_2,\cdots\}$ e homotopia $(f_t)_{t\in [0,3]}$ tais que
        $f_0=f$ e $f_3(a_j)=a_j$ para todo $j$. \end{teo}


      \section{Um pouco de K-teoria topol\'ogica}

      \subsection{O funtor $\mathcal{G}$} $\ $

      Resumo desta subse\cao, que ainda vai ser escrita': Dado semigrupo abeliano $H$, definimos o grupo abeliano $\mathcal{G}(H)$ e homomorfismo
      de semigrupos $\gamma:H\to\mathcal{G}(H)$. A imagem de $\gamma$ gera $\mathcal{G}$.

      
      \subsection{Fibrados vetoriais} $\ $

Dado um produto cartesiano $A\times B$, denotaremos por $\pi_1:A\times B\to A$ e $\pi_2:A\times B\to B$ as proje\coes\ can\^onicas. 
      
      Seja $X$ um espa\c{c}o de Hausdorff compacto. Um {\em fibrado vetorial} (complexo) sobre $X$ \'e um par $(E,p)$, em que $E$ \'e um
      espa\c{c}o topol\'ogico e $p:E\to X$ \'e uma aplica\cao\ cont\'inua e sobrejetora satisfazendo:
      \begin{enumerate}
      \item Para todo $x\in X$, a {\em fibra} $E_x\coloneqq p^{-1}(\{x\})$ est\'a munida da estrutura de um espa\c{c}o vetorial (complexo) e
      \item Para todo $x_0\in X$, existem um aberto $U\ni x_0$ e um homeomorfismo $\chi : p^{-1}(U)\to U\times\C^N$ tais que
        $\pi_1\circ\chi=p$ e,
        para todo $x\in U$, $\psi_x\coloneqq\pi_2\circ\chi|_{_{E_x}}:E_x\to\C^N$ \'e um isomorfismo linear.
      \end{enumerate}
      
      Os homeomorfismos satisfazendo a condi\cao\ (2) s\ao\ chamados de {\em trivializa\coes\ locais} do fibrado $(E,p)$. Seus dom\'inios
      s\ao\ chamados de {\em abertos triviais}. 

      Analogamente definem-se fibrados vetoriais reais: as {\em fibras} $E_x$ s\ao\ espa\c{c}os vetoriais reais e as trivializa\coes\ locais
      tomam valores em $U\times \R^N$.

Frequentemente omitiremos a {\em proje\cao} $p$ ao nos referir ao fibrado $(E,p)$, que ser\'a chamado simplesmente de ``o fibrado $E$''.


{\tt Exemplo} Dado $V$ um espa\c{c}o vetorial (real ou complexo) de dimens\ao\ finita, o produto cartesiano $X\times V$ munido da
proje\cao\ can\^onica sobre $X$ \'e um fibrado vetorial.

{\tt Exerc\'icio 6.1}. (a) Mostre que a dimens\ao\ das fibras de um fibrado vetorial sobre $X$ \'e localmente constante. (b) Mostre que
    o {\em espa\c{c}o total} $E$ do fibrado vetorial $(E,p)$ sobre $X$ \'e de Hausdorff (lembrando que estamos supondo que $X$ \'e de Hausdorff). 

      Quando $X$ \'e conexo, chamamos a dimens\ao\ das fibras de {\em posto} de um fibrado vetorial sobre $X$.

      Um morfismo entre dois fibrados vetoriais sobre $X$, $(E,p)$ e $(F,q)$, \'e uma aplica\cao\ cont\'inua $\Phi:E\to F$ satisfazendo (i)
      $q\circ\Phi=p$ e (ii) para todo $x\in X$, $\Phi_x\coloneqq\Phi|_{_{E_x}}$ \'e linear. Um isomorfismo entre dois fibrados vetoriais sobre $X$ \'e um
      morfismo bijetor $\Phi$ cuja inversa $\Phi^{-1}$ tamb\'em \'e um morfismo de fibrados vetoriais.  

Um fibrado vetorial sobre $X$ \'e {\em trivial} se ele \'e isomorfo a $X\times\C^N$ (ou $X\times\R^N$, no caso real). 

{\tt Exerc\'icio 6.2}. 
Considere a uni\ao\ disjunta das retas tangentes ao c\'irculo $S^1\subset\R^2$,
\[
E\ =\ \{((x_0,y_0),(x,y))\in S^1\times\R^2;\,x_0x+y_0y=1\},
\]
munida da topologia relativa de $\R^4$, seja $p:E\to S^1$ a proje\cao\ can\^onica $p((x_0,y_0),(x,y))=(x_0,y_0)$. Mostre que
$(E,p)$ \'e um fibrado vetorial (real) trivial de posto 1 sobre $S^1$.

Seja $(E,p)$ um fibrado vetorial sobre $X$, sejam $\chi_\alpha:p^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times \C^N$ e
 $\chi_\beta:p^{-1}(U_\beta)\to U_\beta\times \C^N$
trivializa\coes\ locais.
Se $U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset$, podemos considerar
\footnote{Pode ser conveniente em alguns contextos incluir nessa defini\cao\ a possibilidade de a interse\cao\ ser vazia, de modo que a fun\cao\ de transi\cao\
  \'e a fun\cao\ vazia.}
a {\em fun\cao\ de transi\cao}
\[
\chi_{\alpha,\beta}\coloneqq\chi_\beta\circ\chi_\alpha^{-1}: (U_\alpha\cap U_\beta)\times\C^N\ \longrightarrow  (U_\alpha\cap U_\beta)\times\C^N.
\]
Decorre imediatamente que existe $g_{\alpha,\beta}\in C(U_\alpha\cap U_\beta,GL(\C^N))$ tal que $\chi_{\alpha,\beta}(x,v)=(x,g_{\alpha,\beta}(x)v)$ para
todo $(x,v)\in (U_\alpha\cap U_\beta)\times\C^N$. No caso em que $\alpha=\beta$ e $\chi_\alpha=\chi_\beta$, ent\ao\ $g_{\alpha,\alpha}(x)$ \'e
  igual \`a identidade $N\times N$ para todo $x\in U_\alpha$. 

  Seja $\{U_\alpha;\,\alpha\in I\}$ uma fam\'ilia de abertos triviais de $X$, a cada qual deles sendo associada a trivializa\cao\ $\chi_\alpha$.
  Ent\ao\ a fam\'ilia
$\{g_{\alpha,\beta};\,\alpha,\beta\in I\}$ satisfaz a condi\cao\
\begin{equation}
  \label{cocycle}
g_{\alpha,\beta}(x)g_{\beta,\gamma}(x)=g_{\alpha,\beta}(x),\ \ \ \forall x\in U_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma, \ \forall \alpha,\beta,\gamma\in I.
\end{equation}

{\tt Exerc\'icio 6.3}. Seja $\{U_\alpha;\,\alpha\in I\}$ uma cobertura de $X$ por abertos.
Suponha que  exista uma fam\'ilia $\{g_{\alpha,\beta}\in C(U_\alpha\cap U_\beta,GL(\C^N);\,(\alpha,\beta)\in I\times I\}$ satisfazendo a condi\cao\ (\ref{cocycle}).
Considere a uni\ao\ disjunta dos abertos da cobertura, 
%$Z\coloneqq\displaystyle{\bigsqcup_{\alpha \in I} U_\alpha\times \C^N}$ a rela\cao\
$Z\coloneqq\displaystyle{\bigcup_{\alpha\in I} \{ \alpha \}\times (U_\alpha\times \C^N)}$. Defina em $Z$ a rela\cao\
\[
(\alpha,x,u)\sim(\beta,y,v),\ (x,u)\in U_\alpha,\ (y,v)\in U_\beta\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ x=y\ \text{e}\ v=g_{\alpha.\beta}(x)u
\]
(note que $\alpha$ pode ser igual a $\beta$).
\\
(a) Mostre que $\sim$ \'e uma rela\cao\ de equival\^encia.
\\
(b) Seja $E^\dagger$ o quociente do espa\c{c}o topol\'ogico $Z$ por $\sim$, seja $\pi:E^\dagger\to X$ a aplica\cao\ que leva a classe de equival\^encia de
$(\alpha,x,v)$ em $x$. Mostre $(E^\dagger,p)$ \'e um fibrado vetorial sobre $X$.

{\tt Exerc\'icio 6.4}.
Seja $(E,p)$ um fibrado vetorial sobre $X$, seja $\{U_\alpha;\,\alpha\in I\}$ uma cobertura de $X$ por abertos, seja $\{g_{\alpha,\beta};\,\alpha,\beta\in I\}$
a fam\'ilia de fun\coes\ de transi\cao\ associada a essa fam\'ilia de abertos triviais. Mostre que o fibrado $E^\dagger$ constru\'ido no exerc\'icio precedente
\'e isomorfo a $E$.

{\tt Exerc\'icio 6.5}. Defina em $[0,1]\times\C$ a rela\cao\
\[
(x,\lambda)\sim (y,\eta)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x,\lambda)=(y,\eta)\ \ \ \ \ \text{ou}\ \ \ \ \ \{x,y\}=\{0,1\}\
\text{e}\ \lambda=-\eta
\]
(a) Mostre que $\sim$ \'e uma rela\cao\ de equival\^encia.
\\
(b) Seja $E$ o quociente de $[0,1]\times\C$ por $\sim$, seja $p:E\to [0,1]$ a aplica\cao\ que leva a classe de $(x,\lambda)$ em $x$. Mostre que
$(E,p)$ \'e um fibrado vetorial.
\\
(c) Descreva as fun\coes\ de transi\cao\ para uma cobertura de $[0,1]$ que consista de dois abertos triviais.
\\
(d) Mostre que $(E,p)$ n\ao\ \'e trivial. 



\subsection{O funtor {\tt Vect} }$\ $
  
      Denotaremos por $\text{{\tt Vect}}(X)$ o conjunto das classes de isomorfismo de fibrados vetorias sobre $X$. Cada elemento de $\text{{\tt Vect}}(X)$ ser\'a
      denotado por $[E]$, sendo $E$ um fibrado vetorial sobre $X$. Nosso pr\'oximo objetivo \'e munir
      $\text{{\tt Vect}}(X)$ de uma estrutura de semigrupo abeliano.

      Dados $(E,p)$ e $(F,q)$ fibrados vetoriais sobre $X$, definimos 
      \[
      E\oplus F\ =\ \{(e,f)\in E\times F;\,p(e)=q(f)\}.
      \]
      Este conjunto ser\'a ent\ao\ munido da topologia relativa do produto cartesiano $E\times F$ que o cont\'em. Em $E\otimes F$,
      definimos $p\oplus q:E\oplus F\to X$ por $p\oplus q(e,f)=p(e)=q(f)$, que \'e cont\'inua (por ser a restri\cao\ de uma proje\cao\ can\^onica)
      e sobrejetora.

      {\tt Exerc\'icio 6.6}. Sejam $(E,p)$, $(F,q)$ e $(G,r)$ fibrados vetoriais sobre $X$.
      \\(a) Mostre que $(E\oplus F,p\oplus q)$ \'e um fibrado vetorial sobre $X$.
      \\(b) Mostre que $E\oplus F$ e $F\oplus E$ s\ao\ isomorfos.
      \\(c) Mostre que $(E\oplus F)\oplus G$ e $E\oplus(F\oplus G)$ s\ao\ isomorfos.
      \\(d) Sejam $E'$ e $F'$ fibrados vetoriais sobre $X$ isomorfos a $E$ e $F$, respectivamente.
      Mostre que $E\oplus F$ e $E'\oplus F'$ s\ao\ isomorfos. 

      Segue do exerc\'icio precedente que a aplica\cao\
      \[
      \text{{\tt Vect}}(X)\times \text{{\tt Vect}}(X)\ni ([E],[F])\ \longmapsto [E\oplus F]\in
      \text{{\tt Vect}}(X)
      \]
      est\'a bem definida. Munido dela, $\text{{\tt Vect}}(X)$ torna-se um semigrupo abeliano, com elemento neutro
      dado por $[X\times\{0\}]$. 
      



      \subsection{Todo fibrado vetorial \'e um somando direto de um fibrado trivial} $\ $\label{TD}

      Esta subse\cao\ \'e baseada em \cite{Dias}. 

Seja $X$ um espa\c{c}o compacto de Hausdorff.
      
      \begin{prop} Seja  $p:E\to X$ um fibrado vetorial de posto $N$.
        Existem inteiro positivo $M\geq N$ e morfismo de fibrados vetoriais $\sigma:E\to X\times \C^M$, tal que $\sigma$ \'e uma fun\cao\ injetora. \end{prop}
      \dem\ Sejam $\chi_j:p^{-1}(U_j)\longrightarrow U_j\times\C^N$, $j=1,\cdots,n$, trivializa\coes\ locais tais que $\{U_1,\cdots,U_n\}$ cubra $X$.
      Tome $\lambda_j\in C(X)$ com suporte contido em $U_j$, $j=1,\cdots,n$, tais que, para todo $x\in X$, existe $j$ tal que $\lambda_j(x)\neq 0$
      (essa condi\cao\ ser\'a satisfeita, por exemplo, se $\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$ for uma parti\cao\ da unidade subordinada \`a
      cobertura $\{U_1,\cdots,U_n\}$). Para cada $j$ defina agora $\Phi_j:E\longrightarrow\C^N$ por
      \[
      \Phi_j(e)=
      \left\{
      \begin{array}{llcc}
        \lambda_j(p(e))\,\pi_2(\chi_j(e))&,&\ \mbox{se}\ & e\in p^{-1}(U_j)\\
        0&,&\ \mbox{se}\ & e\not\in p^{-1}(U_j)
      \end{array}
      \right.
      \]
      e $\sigma:E\longrightarrow \C^M$, $M=nN$, por $\sigma(e)=(p(e),\Phi_1(e),\cdots,\Phi_n(e))$, $e\in E$. \'E simples perceber que
      $\pi_1\circ\sigma=p$ e que $\sigma$ \'e cont\'inua.

      Provemos que $\sigma$ \'e injetora.

      Se $e,f\in E$ e $p(e)\neq p(f)$, ent\ao\ $\pi_1(\sigma(e))\neq\pi_1(\sigma(f))$ e portanto $\sigma(e)\neq\sigma(f)$. Suponha que
      $\sigma(e)=\sigma(f)$ (e portanto $p(e)=p(f)\eqqcolon x$). Tome $j$ tal que $\lambda_j(x)\neq 0$. Segue de
      $\Phi_j(e)=\Phi_j(f)$ que $\pi_2(\chi_j(e))=\pi_2(\chi_j(f))$ e, portanto, que $e=f$ (pois a restri\cao\ $\pi_2\circ\chi_j$ a $E_x$ \'e injetora,
      j\'a que $\chi_j$ \'e uma trivializa\cao). \cqd

      \begin{prop} Seja $\Phi:E\to F$ um morfismo injetor entre os fibrados vetoriais $p:E\to X$ e $q:F\to X$, seja $E'\subseteq F$ a imagem de
        $\Phi$. Ent\ao\ $q|_{E'}:E'\to X$ \'e um fibrado vetorial e $\Phi:E\to E'$ \'e um isomorfismo.\end{prop}
      \dem\ \'E claro que $\Phi:E\to E'$ \'e uma bije\cao\ que preserva fibras e que, restrita a qualquer fibra, \'e um isomorfismo linear.
      Al\'em disso, $q\circ\Phi=p$ e $\Phi$ \'e cont\'inua. Para
      provar a Proposi\cao, basta provar que $\Phi^{-1}|_{E'}:E'\to E$ \'e contínua (da\'i, as composi\coes\ $\chi\circ\Phi^{-1}$ ser\ao\ trivializa\coes\
      de $E'$, para todas trivializa\coes\ $\chi$ de $E$, $\Phi^{-1}:E'\to E$ ser\'a um morfismo de fibrados).

      Provemos portanto que $\Phi^{-1}|_{E'}:E'\to E$ \'e contínua.

      Basta provar que a restri\cao\ de $\Phi^{-1}$ a $E'\cap q^{-1}(U)$ \'e cont\'inua se $U\subseteq X$ for um aberto trivial para $E$ e para $F$. Compondo $\Phi$
      \`a direita e \`a esquerda com trivializa\coes, basta provar que $\Phi^{-1}$ \'e cont\'inua no caso em que $E=U\times\C^N$ e $F=U\times\C^M$.
      Como $\Phi_x$ \'e uma transforma\cao\ linear injetora para todo $x$, devemos supor tamb\'em que $N\leq M$.

      Denotemos por $\{e_1,\cdots,e_N\}$ a base can\^onica de $\C^N$ e definamos $v_i(x)=\pi_2\circ\Phi(x,e_i)$, $x\in U$. Claro que as fun\coes\
      $U\ni x\mapsto v_i(x)\in \C^M$ s\ao\ cont\'inuas, pois $\Phi$ \'e. Como $\Phi_x$ \'e injetora, $\{v_1(x),\cdots,v_N(x)\}$ \'e linearmente independente e
      gera $\pi_2(E'_x)$. Dado $e'\in E'$, $e'=(x,v)\in U\times\C^M$, existem \'unicos $\xi_1(x),\cdots,\xi_N(x)$ tais que
      \[
      v=\sum_{j=1}^{N}\xi_j(x)v_j(x)\ \ \ \ \ \text{e}\ \ \ \ \ \Phi^{-1}(e')=(x,\xi_1(x),\cdots,\xi_N(x)),\ \ x=q(e').
      \]
      Para provar a continuidade de $\Phi^{-1}$ basta portanto provar a continuidade de $U\ni x\mapsto (\xi_1(x),\cdots,\xi_N(x))\in\C^N$. A n-upla
      $(\xi_1(x),\cdots,\xi_N(x))$ \'e solu\cao\ do sistema linear (com $v_j(x)=(v_j^1(x),\cdots,v_j^N(x))$ e $v=(v_1,\cdots,v_M)$)
      \[
      \left[
      \begin{array}{ccccc}
        v_1^1(x)&.&.&.&v_N^1(x)\\
        .&&&&.\\
        .&&&&.\\
        .&&&&.\\
        .&&&&.\\
        .&&&&.\\
        v_1^M(x)&.&.&.&v_N^M(x)
      \end{array}
      \right]
\left[
      \begin{array}{c}
        \xi_1(x)\\.\\.\\.\\\xi_N(x)
      \end{array}
      \right]
\ =\
\left[
      \begin{array}{c}
        v_1\\.\\.\\.\\.\\.\\v_M
      \end{array}
      \right]
\]
Para todo $x\in U$, este sistema linear tem solu\cao\ \'unica porque $v$ pertence \`a imagem de $\Phi_x$.
Para cada $x\in U$, \'e poss\'ivel extrair $M-N$ linhas da matriz dos coeficientes e
$M-N$ linhas do vetor-coluna do lado direito da equa\cao\ de modo que o sistema $N\times N$ resultante tenha solu\cao\ \'unica, que pode ser expressa pela
regra de Cramer. Como os coeficientes da matriz dos coeficientes dependem continuamente de $x$, segue que tamb\'em os $\xi_j$, $j=1,\cdots, N$, s\ao\
fun\coes\ cont\'inuas (note que se um determinante menor for diferente de zero em um ponto, ele é diferente de zero em uma vizinhan\c{c}a desse ponto, de
modo que a f\'ormula que d\'a a solu\cao\ em um ponto, d\'a tamb\'em a solu\cao\ para todos os pontos em uma vizinhan\c{c}a desse ponto). \cqd

      \begin{prop}\label{somando} Seja $E'\subseteq X\times\C^M$ tal que $q\coloneqq \pi_1|_{E'}:E'\to X$ \'e um fibrado vetorial de posto $k$. Para cada $x\in X$,
        seja  $V_x\coloneqq \pi_2((E')_x)$ $($da\'i podemos escrever ${\displaystyle E'=\bigcup_{x\in X}\{x\}\times V_x)}$ e seja
        $F_x$ o complemento ortogonal de $V_x$ em $\C^M$. Definindo ${\displaystyle F\coloneqq\bigcup_{x\in X}\{x\}\times F_x}$, teremos que 
        $\pi_1|_F:F\to X$ \'e um fibrado vetorial e $E'\oplus F\simeq X\times\C^M$.
      \end{prop}
      \dem\ A primeira e mais substancial parte da demonstra\cao\ consistir\'a em provar que as proje\coes\ ortogonais sobre $V_x$, definem uma fun\cao\
      cont\'inua de $X$ em $\mathcal{B}(\C^M)$.

      Fixe $x_0\in X$, e tome $U$ um aberto contendo $x_0$ e $\chi:q^{-1}(U)\longrightarrow U\times\C^k$ uma trivializa\cao.

      Seja $\{e_1,\cdots,e_k\}$ a base can\^onica de $\C^k$. 
      Para cada $j=1,\cdots,k$, seja $v_j(x)\in\C^M$ tal que $\chi^{-1}(x,e_j)=(x,v_j(x))\in E'$. Ent\ao\
      $\{v_1(x),\cdots,v_k(x)\}$ \'e uma base de $(E')_x$ para cada $x\in U$. Sejam $v_{k+1},\cdots,v_M$ tais que
      \[
      \{v_1(x_0),\cdots,v_k(x_0),v_{k+1},\cdots,v_{M}\}
      \]
      seja uma base de $\C^M$. Segue da continuidade do determinante que
      existe $U'\subseteq U$, $x_0\in U'$, tal que
      \[\{v_1(x),\cdots,v_k(x),v_{k+1},\cdots,v_{M}\}\]
      \'e uma base de $\C^M$ para todo $x\in U'$. Defina
      \[
      \begin{array}{rcl}
        \varphi:\ U'\times\C^M&\longrightarrow&U'\times\C^M\\
        (x,\sum_{j=1}^M\alpha_j(x)v_j(x))&\longmapsto&(x,\alpha_1(x),\cdots,\alpha_M(x))
        \end{array}.
\]
Ent\ao\ $\varphi$ \'e um isomorfismo de fibrados triviais tal que
\[
(x,v)\in E' \ \ \Longleftrightarrow\ \ \varphi(x,v)\in\{x\}\times(\C^k\oplus\{0\}).
\]
Esta \'ultima condi\cao\ pode ser reformulada dizendo que
$\varphi^{-1}$ restrita a $\{x\}\times(C^k\oplus\{0\})$ tem imagem igual a $V_x$. Denotaremos ent\ao\
por
\[
\psi:U'\times(\C^k\oplus\{0\})\to \bigcup_{x\in U'}\{x\}\times V_x
\]
essa restri\cao\ de $\varphi^{-1}$. 

Para todo $x\in U'$, existe $A_x\in\mathcal{B}(\C^k,\C^M)$ injetora tal que $\psi(x,(v,0))=(x,A_x(v))$ para todo $v\in\C^k$. Segue da
continuidade de $\psi$ que, para todo $v\in\C^k$, a aplica\cao\ $U'\ni x\mapsto A_x(v)$ \'e cont\'inua. Isto implica que
$U'\ni x\mapsto A_x\in \mathcal{B}(\C^k,\C^M)$ \'e cont\'inua. Considere agora a fam\'ilia cont\'inua de operadores
$A_x^*A_x\in\mathcal{B}(\C^k)$. Como $\langle A_x^*A_xv,v\rangle=\|A_xv\|^2$ e $A_x$ \'e injetora, vem que $A_x^*A_x$ \'e injetora,
e portanto invers\'ivel, pois $\C^k$ \'e um espa\c{c}o de dimens\ao\ finita. 
Segue do Corol\'ario~\ref{cor}\ que a fam\'ilia $(\sqrt{A_x^*A_x})^{-1}$ \'e cont\'inua.

Para cada $x\in U'$, defina $R_x=A_x(\sqrt{A_x^*A_x})^{-1}$. Esta \'e uma fam\'ilia cont\'inua de operadores em
$\mathcal{B}(\C^k,\C^M)$. Sendo a composi\cao\ de $A_x$ com um isomorfismo, a imagem de $R_x$ coincide com a imagem de $A_x$.
Para todo $x$, segue do c\'alculo funcional cont\'inuo que
\[
R_x^*R_x=(\sqrt{A_x^*A_x})^{-1}(A_x^*A_x)(\sqrt{A_x^*A_x})^{-1})
\]
\'e a identidade em $\C^k$ (pois $(\sqrt{\lambda})^{-1}\lambda(\sqrt{\lambda})^{-1}=1$ para todo $\lambda\in\sigma(A_x^*A_x)$).
Da\'i
\[
(R_xR_x^*)^2=R_x(R_x^*R_x)R_x^*=R_xR_x^*
\]
e portanto $R_xR_x^*\eqqcolon P_x$ \'e uma proje\cao\ ortogonal com imagem igual \'a imagem de $A_x$, que \'e $V_x$.

Seja $Q_x$ a proje\cao\ ortogonal de $\C^M$ sobre $F_x=(V_x)^\perp$, $x\in X$. Esta \'e uma fam\'ilia cont\'inua pois
$Q_x=I-P_x$, $I$ denotando a identidade de $\C^M$. Considere o morfismo de fibrados
\[
\rho:U'\times\C^M\to U'\times\C^M,\ \ \ \rho(x,v)=(x,Q_x(v))
\]
A dimens\ao\ da imagem de $Q_x$ \'e $M-k$. \'E poss\'ivel ent\ao\ tomar $1\leq j_1\leq \cdots\leq j_{M-k}\leq M$ tal que
\[
\{Q_{x_0}(e_{j_1}),\cdots,Q_{x_0}(e_{j_{_{M-k}}})\}
\]
seja linearmente independente (e portanto uma base da imagem de $Q_{x_0}$, que \'e igual a $F_{x_0}$). Pela continuidade
dos determinantes menores de uma matriz retangular, existe aberto $U''$ contendo $x_0$ e contido em $U'$ tal que, para todo $x\in U''$,
\[
\{Q_{x}(e_{j_1}),\cdots,Q_{x}(e_{j_{_{M-k}}})\}
\]
seja linearmente independente (e portanto uma base da imagem de $Q_{x}$, que \'e igual a $F_{x}$). Defina agora
\[
\begin{array}{rcl}
  \xi:\ \bigcup_{x\in U''}\{x\}\times F_x&\longrightarrow&U''\times\C^{M-k}\\
  (x,\sum_{l=1}^{M-k}\alpha_l(x)Q_x(e_{j_l}))&\longmapsto&(x,\alpha_1(x),\cdots,\alpha_{_{M-k}}(x))
\end{array}
  \]
  As fun\coes\ $\alpha_l(x)$, $l=1,\cdots,M-k$ s\ao\ cont\'inuas, pois s\ao\ determinadas pela resolu\cao\ de um sistema linear $M\times(M-k)$
  que tem um mesmo determinante menor n\ao-nulo para todo $x\in U''$. Logo $\xi$ \'e uma trivializa\cao\ de $F$. \cqd

  \subsection{O funtor $K$}\ $\ $

  Dado $X$ Hausdorff compacto, $K(X)=\mathcal{G}(\text{{\tt Vect}}(X))$. Dado um fibrado vetorial $E$ sobre $X$, denotamos $[E]_0\coloneqq\gamma([E])$.

  Segue dos resultados da Subse\cao~\ref{TD}:
  \[
  K(X)\ =\ \{[E]_0-[X\times\C^N]_0;\ E\ \text{fibrado vetorial complexo sobre}\ X,\ N\in\N\}.
  \]







  \section{Aula de 11 de novembro (Notas de Gustavo Mezzovilla)}

  Proposição (3.27 da tese do Rodrigo). $T\in C(X, \mathcal F(H_1,H_2))$, existe um subespaço $W\subset H_2$ tal que
$$ \hphantom{\hspace{1cm} (\forall\,x\in X)} \operatorname{Im} T_x + W = H_2 \hspace{1cm} (\forall\,x\in X)$$

Demonstração. Fixe $x\in X$. Como $T_x$ é Fredholm, $\operatorname{Im} T_x$ é fechado e faz sentido
$$ W_x := (\operatorname{Im} T_x)^{\perp}.$$
Defina:
\[\begin{array}{rccc}
T_y^x : & H_1\oplus W_x & \longrightarrow & H_2 \\
 & (v,w) & \longmapsto & T_y(v)+w
\end{array}\]

\begin{itemize}
\item Af.1 $y \longmapsto T_y^x$ é contínua. De fato,
\begin{eqnarray*}
\|(T_y^x - T_{y^\prime}^x)(v,w) \| &= &\left\|\left(T_{y}-T_{y^{\prime}}\right)(v)\right\| \\
&\leqslant& \left\|T_{y}-T_{y^{\prime}}\right\| \cdot\|v\| \\
&\leqslant &\left\|T_{y}-T_{y^\prime}\right\|\|(v, w)\|
\end{eqnarray*}
Logo $\left\|T_{y}^{x}-T_{y^{\prime}}^{x}\right\| \leqslant\left\|T_{y}-T_{y^{\prime}}\right\|$ e $T_y^x$ é contínua.

\item Af.2: ${T}_{x}^{x}$ é sobrejetora. Dado $\xi = \xi_1+\xi_2\in \operatorname{Im} T_x \oplus W_x$, existe $v$ tal que
$$\xi=T_{x}(v)+\xi_{2} \in \operatorname{Im} T_{x}^{x} : T_x^x(v,\xi_2)=\xi. $$
\end{itemize}

Lema. $\{T\in B(H_1,H_2) \mid \operatorname{Im} T = H_2 \}$ é um aberto em $B(H_1,H_2)$.

Dem. Tome $T_0$ sobrejetor, $M=\ker T_{0}$. Defina
\[\begin{array}{rccc}
\Sigma : & B(H_1,H_2) & \longrightarrow & B(\ker T_0,H_2) \\
 & S & \longmapsto & S\upharpoonright_{\ker T_0}
\end{array}.
\]
É claro que $\Sigma$ é limitada.$\cdots$ $\Box$

Pelo lema, para cada $x$ existe um aberto $U_x$ tal que: $y \in U_x \Rightarrow T_y^x \text{ é sobrejetora}$. Formou-se uma cobertura por abertos de $X$ e por compacidade, extraia uma subcobertura finita $U_{x_1}, \ldots, U_{x_n}$. Construído
$$W := W_{x_1} + \cdots + W_{x_n} $$
Note que dado $y\in X$, existe um $i$ tal que $y \in U_{x_i}$ e portanto, $T_y^{x_i}$ é sobrejetora. Dessarte, $\operatorname{Im} T_y+W_{x_i} = H_2$. $\Box$

Dado $T$, pela proposição existe um subespaço $W$ de dimensão finita tal que $\operatorname{Im} T_x+W = H_2$ para qualquer $x\in X$. Defina então
\[\begin{array}{rccc}
T_x^W : & H_1\oplus W & \longrightarrow & H_2 \\
 & (u,w) & \longmapsto & T_xu+W
\end{array}.
\]
\begin{itemize}
\item Af.3 $\left(x \rightarrow T_{x}^{W}\right)$ é contínua.
\item Af.4 $T_{x}^{W}$ é sobrejetora, $\forall x \in X$, pelo enunciado de Proposição.
\item Af.5 $T_x^W$ é Fredholm. Pela afirmação 4 basta provar que $\ker T_x^W$ é de dimensão finita. Tome $(v,w) \in \ker T_x^W$, i.e., $w = -T_xv$.
Decomponha $v = v_1 + v_2 \in \ker T_x \oplus (\ker T_x)^{\perp}$. Logo $T_xv = T_xv_{2}$ e portanto,
$$ v_2 \in \left(T_x \upharpoonright_{(\ker T_x)^{\perp}} \right)^{-1}(W).$$
Mas $T_x \upharpoonright_{(\ker T_x)^{\perp}}$ é injetor, portanto a pré-imagem por $W$ também possui dimensão finita. Como $T_x$ é Fredholm, segue que $T_x^{-1}(W)$
$$T_x^{-1}(W) \subset \ker T_x \oplus   \left(T_x \upharpoonright_{(\ker T_x)^{\perp}} \right)^{-1}(W)$$
Logo,
$$(v,w) \in \underbrace{T_x^{-1}(W)}_{\dim < \infty} \oplus \underbrace{(T_x(H_1) \cap W)}_{\dim < \infty}$$
\end{itemize}

Conclusão: Dada $T \in C(X, \mathcal F(H_1,H_2))$, existe um subespaço $W\subset H_2$ de dimensão finita tal que
\[\begin{array}{rccc}
T^W : & X & \longrightarrow & \mathcal F(H_1\oplus W,H_2) \\
 & x & \longmapsto & (u\longmapsto T_xu+W)
\end{array}
\]
é uma família de operadores de Fredholm sobrejetores. Pelo corolário inicial, a dimensão dos núcleos de $(T_x^W)_{x\in X}$ é constante e portanto,
$$\operatorname{Ker} T^W := \bigcup_{x\in X} \{x\} \times \ker T_x^{W} $$
é um fibrado vetorial sobre $X$.

Gostaríamos de definir
$$\operatorname{ind}_X T := \left[\operatorname{Ker} T^W\right]_0- [X \times W]_0 $$

Exemplo: Se $X = \{*\}$, $W = (\operatorname{Im} T)^{\perp}$. Daí $T_{*} = T : H_1 \longrightarrow H_2$ de Fredholm.
\[\begin{array}{rccc}
T^{(\operatorname{Im} T)^{\perp}} : & \{*\} & \longrightarrow & \mathcal F(H_1\oplus W,H_2) \\
 & * & \longmapsto & \left(u\longmapsto Tu+(\operatorname{Im} T)^{\perp}\right)
\end{array}
\]
é tal que $\operatorname{Ker} T^{(\operatorname{Im} T)^{\perp}} \cong \ker T$. $\cdots$







\section{\'Indice de uma fam\'ilia cont\'inua de operadores de Fredholm I}

Sejam $X$ espa\c{c}o Hausdorff compacto, sejam $H_1$ e $H_2$ espa\c{c}os de Hilbert de dimens\ao\ infinita. 

\begin{prop}\label{kerbundle} Seja $T\in C(X,\mathcal{F}(H_1,H_2))$ uma fun\cao\ cont\'inua tomando valores em operadores de Fredholm. Se $x\mapsto \dim\ker T_x$
  for localmente constante, ent\ao\
  \[
  \ker T \ \coloneqq\ \bigcup_{x\in X}\{x\}\times \ker T_x\ \subset\ X\times H_1,
  \]
  munido da topologia relativa de $X\times H_1$ e da proje\cao\ $p(x,v)=x$ \'e um fibrado vetorial sobre $X$.
\end{prop}

\begin{prop} Dada $T\in C(X,\mathcal{F}(H_1,H_2))$, existe subespa\c{c}o $W\subset H_2$ de dimens\ao\ finita tal que
  $\text{Im}\,T_x+W=H_2$ para todo $x\in X$. Definindo $T^W_x:H_1\oplus W\longrightarrow H_2$ por $T^W_x(v,w)=T_x(v)+w$, segue
  que $T^W_x$ \'e um operador de Fredholm sobrejetor para todo $x\in X$ e a fun\cao\ $x\mapsto T^W_x$ \'e cont\'inua,
  $T^W\in C(X,\mathcal{F}(H_1\oplus W,H_2))$.
\end{prop}

\begin{cor} $\ker T^W$ \'e um fibrado vetorial sobre $X$.\end{cor}

  \begin{prop} Se $W$ e $W'$ s\ao\  subespa\c{c}os de dimens\ao\ finita de $H_2$ tais que $\text{Im}\,T_x+W=\text{Im}\,T_x+W'=H_2$
    para todo $x\in X$, ent\ao\ os fibrados $\ker T^W\oplus W'$ e $\ker T^{W'}\oplus W$ s\ao\ isomorfos.
  \end{prop}

  Com estes prepararativos podemos definir o \'indice de uma fam\'ilia cont\'inua de operadores de Fredholm.

  \begin{defi} Dada $T\in C(X,\mathcal{F}(H_1,H_2))$, tome $W\subset H_2$ tal que $\text{Im}\,T_x+W=H_2$ para todo $x\in X$ e defina
    $T^W\in C(X,\mathcal{F}(H_1\oplus W,H_2)$ por  $T^W(v,w)=T_x(v)+w$, $x\in X$, $(v,w)\in H_1\oplus W$. Da\'i
    \[
    \text{ind}\,T\ \coloneqq \ [\ker T^W]_0-[X\times W]_0\in K(X).
    \]
  \end{defi}

  \noindent
  {\tt Problema}. Seja $T\in C(X,\mathcal{F}(H_1,H_2))$ tal que $x\mapsto \dim\ker T_x$ seja localmente constante. \\Mostre que
  $\text{ind}\,T=[\ker T]_0-[\ker T^*]_0$.

 
  \vskip3mm
\noindent
  {\tt Exerc\'icio}. Seja $H$ um espa\c{c}o de Hilbert. Considerando o isomorfismo can\^onico $B(H\oplus H)\simeq M_2(B(H))$ como uma
  identifica\cao, mostre que:
  \\
  (a) Um operador $T=(\!(T_{ij})\!)_{1\leq i,j\leq 2}\in B(H\oplus H)$ \'e compacto se e somente se $T_{i,j}\in K(H)$ para todo $(i,j)$.
  \\
  (b) O quociente $B(H \oplus H)/K(H\oplus H)$ pode ser canonicamente identificado com $M_2(B(H)/K(H))$. A proje\cao\ can\^onica
  $q_2:B(H\oplus H)\longrightarrow B(H\oplus H)/K(H\oplus H)$ satisfaz $q_2((\!(T_{ij})\!)_{i,j})=(\!((q(T_{i,j}))\!)_{i,j}$, com
  $q$ denotando a proje\cao\ can\^onica $q:B(H)\longrightarrow B(H)/K(H)$.
  \\
  (c) Um dado $T\in B(H\oplus H)$ \'e um operador de Fredholm se e somente se $q_2(T)$ \'e invers\'ivel em
  $M_2(B(H)/K(H))$. 
  \\
  (d) Dados $S,T\in B(H)$ operadores de Fredholm e  $A,B\in M_2(H)$ operadores invers\'iveis, ent\ao\
  $(S\oplus I)\,A\,(T\oplus I)\,B$ \'e um operador de Fredholm em $H\oplus H$.







  \section{\'Indice de uma fam\'ilia cont\'inua de operadores de Fredholm II}

  Sejam $X$ um espa\c{c}o Hausdorff compacto, $H_1$ e $H_2$ espa\c{c}os de Hilbert de dimens\ao\ infinita.

  
  \begin{prop}\label{S}
    Dado $T\in\mathcal{F}(H_1,H_2)$, seja $V\subseteq H_1$ um subespa\c{c}o fechado de codimens\ao\ finita tal que  $V\cap\ker T=\{0\}$.
    Ent\ao\ $T(V)$ \'e fechado e tem codimens\ao\ finita. Ademais existe aberto $U\subset\mathcal{F}(H_1,H_2)$, $T\in U$, tal que,
    para todo $S\in U$, temos
    \begin{enumerate}
    \item $V\cap\ker S\,=\,\{0\}$,
%      \item $S(V)$ \'e fechado e tem codimens\ao\ finita e
 \item $T(V)^\perp\ni y\ \longmapsto\ y+S(V)\in H_2/S(V)$ \'e uma bije\cao\ linear cont\'inua. 
     \end{enumerate}
    \end{prop}
  \dem\ A inclus\ao\ $i:V\to H_1$ \'e um operador de Fredholm, pois $V$ tem codimens\ao\ finita. Logo $T\circ i:V\to H_2$ \'e de Fredholm, logo
  $T(V)$ \'e fechado e tem codimens\ao\ finita.

  Denote $W=T(V)^\perp$, considere a soma direta de espa\c{c}os de Hilbert $V\oplus W$ e defina $\phi:B(H_1,H_2)\to B(V\oplus W, H_2)$,
  $S\mapsto \phi_{_S}$, por $\phi_{_S}(v,w)=Sv+w$. Segue da estimativa $\|\phi_{_S}(v,w)\|\leq (\|S\|+1)\|(v,w)\|$ que $\phi_{_S}$ \'e de
  fato limitado, $\|\phi_{_S}\|\leq\|S\|+1$. Segue de
  \[
\|(\phi_{_S}-\phi_{_{S'}})(v,w)\|\ =\ \|(S-S')v\|\ \leq\ \|S-S'\|\|v\|\ \leq\ \|(v,w)\|
  \]
  que a aplica\cao\ n\ao-linear $\phi$ \'e cont\'inua.

  O operador $T'\coloneqq \phi_{_T}$ \'e sobrejetor, pois $\text{Im}\,T'=\text{Im}\,T+(\text{Im}\,T)^\perp=H_2$. Al\'em disso, se $T(v,w)=Tv+w=0$,
  $w\in \text{Im}\,T\cap(\text{Im}\,T)^\perp=\{0\}$ e $v\in\ker T\cap V$, espa\c{c}o que tamb\'em \'e nulo, por hip\'otese. Logo $T'$ \'e invers\'ivel.
  Como $\phi$ \'e cont\'inua e o conjunto dos invers\'iveis em $B(V\oplus W,H_2)$ \'e aberto, segue que existe aberto $U\subset B(H_1,H_2)$ tal que
  $T\in U$ e $\phi_{_S}$ \'e invers\'ivel para todo $S\in U$. Como $\mathcal{F}(H_1,H_2)$ \'e aberto em $B(H_1,H_2)$ e $T$ \'e um operador de Fredholm
  por hip\'otese, podemos supor que $U\subset \mathcal{F}(H_1,H_2)$. Para todo $S\in U$,  temos 
  $(\ker S\cap V)\times\{0\}\subset \ker\phi_{_S}=\{(0,0)\}$, logo $\ker S\cap V=\{0\}$.

  Para provar a afirma\cao\ (2) do enunciado da Proposi\cao, basta observar que a aplica\cao\  $T(V)^\perp\ni y\ \longmapsto\ y+S(V)\in H_2/S(V)$
  pode ser escrita como a composi\cao\ de dois isomorfismos lineares:
  \[
  \begin{array}{rccclcl}
    W  &  \longrightarrow  &  \frac{V\oplus W}{V\oplus\{0\}}  &  \longrightarrow  &  \frac{\phi_{_S}(V\oplus W)}{\phi_{_S}(V\oplus\{0\})}  &=&  \frac{H_2}{S(V)}
    \\
    w  &  \longmapsto      &   [(0,w)]                        &&&&
    \\
    && [(v,w)]                          &  \longmapsto      &   [\phi_{_S}(v,w)]   &&
  \end{array}
  \]
  (aqui denotamos por $[x]$ a classe de $x\in V\oplus W$ nos dois quocientes que aparecem neste diagrama).
  \cqd
  
  \begin{prop}\label{bundle}  Dado $T\in\mathcal{F}(H_1,H_2)$, seja $V\subseteq H_1$ um subespa\c{c}o fechado de codimens\ao\ finita tal que  $V\cap\ker T=\{0\}$,
    seja $U\subset\mathcal{F}(H_1,H_2)$ aberto contendo $T$ tal que as condi\coes\ (1) e (2)  do enunciado da Proposi\cao\ \ref{S} sejam
    satisfeitas para todo $S\in U$. Em $U\times H_2$ defina a rela\cao\ de equival\^encia: $(S_1,y_1)\sim (S_2,y_2)$ se e somente se $S_1=S_2$ e
    $y_2-y_1\in S_1(V)$. Considere
    \[
    F\ \coloneqq\ (U\times H_2)/_\sim\ =\ \bigcup_{S\in U}\{S\}\times\frac{H_2}{S(V)} 
    \]
    munido da topologia do quociente. Ent\ao\ $F$ \'e um fibrado vetorial sobre $U$ com proje\cao\ $p:F\to U$ dada por
    $p(S,y+S(V))=S$.
  \end{prop}
  
  \dem\  Seja $q:U\times H_2\longmapsto (U\times H_2)/_\sim$ a proje\cao\ can\^onica. A composi\cao\ $p\circ q$ \'e proje\cao\ do produto cartesiano
  $U\times H_2$ na primeira coordenada, logo \'e cont\'inua. Decorre da defini\cao\ da topologia quociente ent\ao\ que $p$ \'e cont\'inua.  \'E claro tamb\'em
  que, para cada $S\in U$, a fibra $p^{-1}(S)=\{S\}\times\frac{H_2}{S(V)}$ pode ser canonicamente munida de uma estrutura de espa\c{c}o vetorial.
  Basta portanto provar a trivialidade local.

  Considere $f:U\to B(H_2,V)$ definida por $f(S)=(S\circ i)^*$, com $i$ denotando, como antes, a inclus\ao\ de $V$ em $H_1$, que \'e um operador de Fredholm.
  Logo $f(S)$ \'e um operador de Fredholm para todo $S\in U$. Segue de $\|f(S)-f(S')\|=\|(S-S')\circ i\|\leq\|S-S'\|$ que $f$ \'e cont\'inua,
  $f\in C(U,\mathcal{F}(H_2,V))$. Para cada $S\in U$, $\ker f(S)=S(V)^\perp\simeq H_2/S(V)$. Segue da Propriedade (2) da Proposi\cao~\ref{S} que
  $\ker f(S)\simeq T(V)^\perp$ para todo $S\in U$, logo $\dim\ker f(S)$ \'e constante, logo, pela Proposi\cao~\ref{kerbundle} (que vale tamb\'em sem supor
  que $X$ seja compacto),
  \[
  E\ \coloneqq\ \bigcup_{S\in U}\{S\}\times\ker f(S)\ =\ \bigcup_{S\in U}\{S\}\times S(V)^\perp\ \subset\ U\times H_2
  \]
  \'e um fibrado vetorial, com proje\cao\ $\tilde{p}:E\to U$, $\tilde{p}(S,y)=S$.

  A aplica\cao
  \[
  \begin{array}{rrcl}
    \varphi:&E&\longrightarrow&F\\
    &(S,y)&\longmapsto&(S,y+S(V))
  \end{array}
  \]
  \'e uma bije\cao, com inversa
  \[
 \begin{array}{rrcl}
    \psi:&F&\longrightarrow&E\\
    &(S,y+S(V))&\longmapsto&(S,P_{_S}\,y),
  \end{array}
  \] 
  com $P_{_S}\in B(H_2)$ denotando a proje\cao\ ortogonal sobre $S(V)^\perp$. Percebe-se que $\tilde{p}=p\circ\varphi$ e que, restrita
  a cada fibra, $\varphi$ \'e um isomorfismo de espa\c{c}os vetoriais. Se provarmos que $\varphi$ e $\psi$ s\ao\ cont\'inuas, a trivialidade local de
  $p:F\to U$ ser\'a consequ\^encia da triviliade local de $\tilde{p}:E\to U$, que j\'a sabemos ser verdadeira.  De fato, se $\chi$ for uma
  trivializa\cao\ de $E$, $\chi\circ\varphi$ ser\'a uma trivializa\cao\ de $F$.

  Que $\varphi$ \'e cont\'inua decorre imediatamente da continuidade de $q$. Provar a continuidade de $\psi$ \'e equivalente a provar a continuidade
  da aplica\cao\ $\pi:U\times H_2\to U\times H_2$, $\pi(S,y)=(S,P_{_S}\,y)$. Esta afirma\cao\ pode ser demonstrada usando a continuadade da
  raiz quadrada de operadores positivos, tal como fizemos na demonstra\cao\ da Proposi\cao~\ref{somando}. (...) 
  \cqd

\begin{prop} Dada $T\in C(X,\mathcal{F}(H_1,H_2))$, existe um subespa\c{c}o fechado de codimens\ao\ finita $V\subseteq H_1$ tal que
    $V\cap\ker T_x=\{0\}$ para todo $x\in X$.\end{prop}

  
  \begin{teo} Dada $T\in C(X,\mathcal{F}(H_1,H_2))$, seja $V\subset H_1$ um subespa\c{c}o fechado de codimens\ao\ finita  tal que
    $V\cap\ker T_x=\{0\}$ para todo $x\in X$. 
Defina em   $X\times H_2$ a rela\cao\ de equival\^encia: $(x,u)\sim (y,v)$ se e somente $x=y$ e $u-v\in T_x(V)$. Munido da topologia
do quociente,
\[
\frac{H_2}{T(V)}\ \coloneqq\ (X\times H_2)/_\sim\ =\ \bigcup_{x\in X}\{x\}\times \frac{H_2}{T_x(V)}
\]
\'e um fibrado vetorial sobre $X$ com a proje\cao\ can\^onica $p(x,v+T_x(V))=x$.
\end{teo}
  \dem\ Vamos provar (e isto basta) que, para todo $x\in X$, existe aberto $U_x$ contendo $x$ tal que
  \[
  p|_{p^{-1}(U_x)}:p^{-1}(U_x)\to U_x
    \]
\'e um fibrado vetorial.

  Dado $x\in X$, aplique ao par $(T_x,V)$ as Proposi\coes~\ref{S} e~\ref{bundle} para obter $\mathcal{U}_x\subset\mathcal{F}(H_1,H_2)$
  e fibrado vetorial
  \[
p_x:F_x=\bigcup_{S\in\mathcal{U}_x}\{S\}\times\frac{H_2}{S(V)}\ \longrightarrow\ \mathcal{U}_x.
  \]
  O conjunto $U_x\coloneqq \{y\in X;\,T_y\in\mathcal{U}_x\}$ \'e aberto porque \'e a imagem inversa do aberto $\mathcal{U}_x$ pela
  aplica\cao\ cont\'inua $T:X\to\mathcal{F}(H_1,H_2)$. Podemos considerar portanto o pullback $T^*F_x$, fibrado vetorial sobre $U_x$. A bije\cao\
  evidente
  \[
  T^*F_x=\bigcup_{y\in U_x}\{y\}\times\left(\{T_y\}\times \frac{H_2}{T_x(V)}\right)\ \longrightarrow\ \bigcup_{y\in U_x}\{y\}\times\frac{H_2}{T_x(V)}=p^{-1}(U_x)
  \]
  preserva fibras e \'e um isomorfismo linear em cada fibra. Para provar que $p^{-1}(U_x)$ \'e um fibrado vetorial, basta portanto mostrar que
  esta bije\cao\ \'e um homeomorfismo. Para isso, \'e preciso atentar para o fato de que a topologia de $T^*F_x$ \'e a topologia do produto de $U_x$ por um
  espa\c{c}o quociente (definido no enunciado da Proposi\cao~\ref{bundle}) e que a topologia de $p^{-1}(U_x)$ tamb\'em \'e a de um espa\c{c}o quociente,
  definido no enunciado desta Proposi\cao. A aplica\cao\ que desejamos demonstrar que \'e um homeomorfismo pode ser colocada no lado superior horizontal de
  um diagrama comutativo quadrangular, sendo as flexas verticais as proje\coes\ can\^onicas nos quocientes (uma delas na verdade \'e o produto da identidade
  por uma dessas proje\coes) e a flecha horizontal inferior \'e a  aplica\cao\
  \[
  \begin{array}{rcl}
    U_x\times T(U_x)\times H_2 & \longrightarrow & U_x\times H_2\\
    (y,T_y,v) & \longmapsto & (y,v),
    \end{array}
  \]
  que \'e cont\'inua e tem inversa cont\'inua (o conjunto do lado esquerdo sendo munido da topologia relativa de $U_x\times\mathcal{U}_x\times H_2$).\cqd
  
  \section{Aula de 2 de dezembro. Notas de Gustavo Mezzovilla}

  Nosso objetivo é provar que o Índice de Famílias de Atiyah definido anteriormente não depende da escolha de $ V $. Seja 
\begin{equation}\label{eq: 1 - aula 02/12}
	H_2/T(V) \coloneqq  \bigcup\limits_{x\in X} \{x\} \times {H_2}/{T_x(V)}
\end{equation}
para um subespaço $ V \subset H_1 $ fechado com $ \operatorname{codim}(V) < \infty $. Vimos:

\begin{teo} 
	\label{teo: 1 - aula 02/12}
	Seja $T: X \longmapsto \mathcal F(H_1,H_2) $ uma família contínua de operadores de Fredholm, com $ X $ compacto Hausdorff. 
	\begin{enumerate}
		\item Existe $ V_0 \subset H_1 $ subespaço fechado de codimensão finita tal que $ V_0 \cap \ker T_x = \{0\} $ para qualquer $ x\in X $.
		\item Em $ X\times H_2 $, $ (x,u) \sim (y,v)  \Leftrightarrow x=y \text{ e } u-v \in H_2$ é uma relação de equivalência.
		\item $ {H_2}/{T\left (V_0\right )}$ é um fibrado vetorial sobre $ X $, munido da projeção $ (x, v+T_x(V_0)) \longmapsto x $. 
		\item O índice de Atiyah
                  $ {\operatorname{ind}_{_A}}(T) \coloneqq \left [X \times H_1/{V_0}\right ]_0 - \left [H_2/{T\left (V_0\right )}\right ]_0 \in K(X)$.
	\end{enumerate}
\end{teo}
 
Essa definição de índice é relativamente complexa, dada a construção específica de $ V_0 $.
Vejamos que qualquer subespaço de $ H_1 $ de codimensão finita que satisfaz a propriedade 1 (\ref{teo: 1 - aula 02/12}) também satisfaz as propriedades 3 e 4.

\begin{prop}
	\label{prop: 2 - aula 02/12}
	$ H_2/{T(V)} $ é uma fibrado vetorial sobre $ X $.
	\begin{proof}
		Fé nas notas perdidas.
	\end{proof}
\end{prop} 

\begin{teo}
	\label{teo: 3 - aula 02/12}
	O índice de Atiyah não depende da escolha de $ V $, i.e., Se $ V $ e $ V' $ são subespaços de codimensão finita com
        $ V \cap \ker T_x = \{0\} = V' \cap \ker T_x $ para todo $ x\in X $, então:
	\begin{equation}\label{eq: 2 - aula 02/12}
	\left [X \times H_1/{V_0}\right ]_0 - \left [H_2/{T\left (V_0\right )}\right ]_0 = \left [X \times H_1/{V}\right ]_0 - \left [H_2/{T\left (V\right )}\right ]_0
	\end{equation}
\end{teo}

Considere uma sequência exata de módulos $ M_1, M_2 $ e $ M_3 $,
\begin{equation}
	\label{eq: 3 - aula 02/12}
	0 \longrightarrow M_1 \overset{f}{\longrightarrow} M_2 \overset{g}{\longrightarrow} M_3 \longrightarrow 0
\end{equation}

\textbf{Invocação Algébrica.} Se existe $  p : M_2 \longrightarrow M_1 $ tal que $ p \circ f = Id_{_{M_1}} $
(i.e., a sequência cinde a esquerda), então existe $ s : M_3 \longrightarrow M_2 $ tal que $ g \circ s = Id_{_{M_3}} $ (cinde a direita). 
 
\begin{defi}[Sequência Exata de Fibrados]
	($ \cdots $)
\end{defi} 
 
{\tt Exerc\'icio}:

	Sejam $ E_1$, $E_2 $ e $ E_3 $ fibrados sobre $ X $ que constituem uma sequência exata de fibrados vetoriais:
	\begin{equation}
		0 \longrightarrow E_1 \overset{i}{\longrightarrow} E_2 \overset{j}{\longrightarrow} E_3 \longrightarrow 0
	\end{equation}
	Prove que se ela cinde a esquerda, ela cinde a direita.

 
\begin{proof}[Demonstração de \ref{teo: 3 - aula 02/12}]
	Vimos na aula anterior que podemos simplificar o argumento e supor que $ V' \subset V $. Note que
	\begin{equation}
		\begin{array}{ccc}
			H_1/V'
 & \longrightarrow & H_1/V	\\ v+V' & \longmapsto & v+V
 	\end{array}
	\end{equation}
	é sobrejetora e portanto, $ H_1/V = \frac{H_1/V'}{V/V'} $. Daí,
	\begin{equation}%\label{key}
		(X \times H_1/V) \oplus (X \times V/V') \cong X \times H_1/V'
	\end{equation}
	Além disso, todos os fibrados acima são fibrados triviais (pois $ V $ e $ V' $ possuem codimensão finita).
        Seja $ \varphi : X \times V/V' \longmapsto H_2/T(V') $ com lei de formação dada por $ \varphi(x,v+V') = (x, T_xv+ T_x(V')) $.
        Vejamos que $ \varphi $ é um morfismo de fibrados que faz o seguinte diagrama comutar.
%	\begin{equation}\label{key}
%			X\times V \arrow[rr, "{\left(Id, T_{(\,\cdot\,)}\right)}"] \arrow[rrd] \arrow[d] &  & X\times H_2 \arrow[d, two heads] \\
%			X \times \dfrac{V}{V'} \arrow[rr, "{\varphi}"', dashed]                 &  & \dfrac{H_2}{T(V')}               
%		
%	\end{equation}

\begin{center} N\ao\ consegui compilar.\end{center}

Note que se $ v_1, v_2 \in V $ são tais que $ v_1 - v_2 \in V' $, então $ T_xv_1 - T_xv_2 \in T_x(V') $ para qualquer $ x $.
Reciprocamente, suponha que $ T_x(v) \in T_x(V') $ para algum $ v \in V $. 
	\begin{equation*}
		T_x(v) \in T_x(V') \Longrightarrow \exists\, v' \in V' : v - v' \in \ker T_x 
	\end{equation*}
	Como $ v' \in V' \subset V $, temos que $ v-v' \in \ker T_x \cap V = \{0\} $, logo, $ v=v' $.
        Portanto, $ \varphi $ está bem definida e é um morfismo de fibrados.
	
	Seja $ T(V)/T(V') \coloneqq \Im \varphi $ o subfibrado gerado. Considere 
	\begin{equation}
		\label{eq: 4 - aula 02/12}
		0 \longrightarrow \dfrac{T(V)}{T(V')} \overset{i}{\longrightarrow} \dfrac{H_2}{T(V')} \overset{j}{\longrightarrow} \dfrac{H_2}{T(V)} \longrightarrow 0
	\end{equation}
	É uma sequência exata e vejamos que ela cinde a esquerda. Como $ V $ possui codimensão finita e $ T_x $ é Fredholm para qualquer
        $ x\in X $, $ T_x(V) $ é um subespaço fechado e portanto, seja $ P_x $ a projeção ortogonal em $ T_x(V) $.
	\begin{quote}
		\begin{lema}
			\label{lema: 5 - aula 02/12}
			$ P_{(\,\cdot\,)} : X \longleftrightarrow  B(H_2)$  é contínua.
			\begin{proof}
				Segue da continuidade da raiz quadrada de operadores positivos ($ \cong $ proposição 19).
			\end{proof}
		\end{lema}
	\end{quote}
	Defina
	\begin{equation}
		\begin{array}{rccc}
			p & H_2/{T(V')} & \longrightarrow & T(V)/T(V') \\
			 & (x,v) & \longmapsto & (x,P_x(v))
		\end{array}
	\end{equation}
	Como $ T(V)/T(V') = \{(x,T_xv+T_x(V)) \mid (x,v) \in X\times V/V'\} $, vejamos que $ p $ está bem definida. Se $ v_1, v_2 \in H_2 $, temos que
	\begin{equation}
		v_1 - v_2 \in T_x(V') \overset{T_x(V')\subset T_X(V)}\Rightarrow P_xv_1 - P_xv_2 \in T_x(V').
	\end{equation}
	Logo, $ p = (Id, P_{(\,\cdot\,)}) $ está bem definida e é uma inversa esquerda de $ i $. De fato, 
	\begin{equation}
		(p \circ i)(T_xv + T_x(V')) = P_x(T_xv) + T_x(V') = T_xv + T_x(V').
	\end{equation}
	Pelo exercício ?, a sequência exata (\ref{eq: 4 - aula 02/12}) cinde a esquerda e portanto a direita também. Então:
	\begin{equation}
		\dfrac{H}{T(V')} \cong \dfrac{T(V)}{T(V')} \oplus \dfrac{H_2}{T(V)}. 
	\end{equation}
	Passando para a classe, temos:
	\begin{equation}
	  \begin{cases}
            \left[\dfrac{H_{2}}{T\left(V^{\prime}\right)}\right]_{0}=\left[\dfrac{T(V)}{T\left(V^{\prime}\right)}\right]_{0}+\left[\dfrac{H_{2}}{T(V)}\right]_{0} \\
\vphantom{\displaystyle\int\limits^a}\left[X \times \dfrac{H_{1}}{V^{\prime}}\right]_{0}=\left[X \times \dfrac{H_{1}}{V}\right]_{0}+\left[X \times  \dfrac{V}{V^{\prime}}\right]_{0}
		\end{cases}
	\end{equation}
	Subtraindo, segue o resultado.
\end{proof} 
 
   
  
  \begin{thebibliography}{99}
  \bibitem{A} M. F. Atiyah (notes by D. W. Anderso). K-Theory. W. A, Benjamin, Inc., 1967.
  \bibitem{BB} D. D. Bleecker \&\ B. Boo\ss-Bavnbek. Index Theory with Applications to Mathematics and Physics. International Press, 2013.
  \bibitem{Br} J. Breen. Fredholm Operators and the Family Index. Senior Thesis, Northwestern University, 2016.
\bibitem{Dias} R. L. Dias. Continuous deformations of Fredholm operators in B(H). Disserta\cao\ de Mestrado, IME-USP, 2021.
  \bibitem{D} R. G. Douglas. Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Academic Press, 1972.
\bibitem{K} N. H. Kuiper. {\em The homotopy type of the unitary group of Hilbert space}. Topolgy {\bf 3} (1965), 19-30.
      \bibitem{2004} S. T. Melo. Notas de An\'alise Funcional, 2004. (https://www.ime.usp.br/$\sim$toscano/disc/af.pdf)
\bibitem{2020} S. T. Melo. Notas de An\'alise Funcional, 2020. (https://www.ime.usp.br/$\sim$toscano/disc/2020/TopAnaFun.pdf)
\bibitem{AM} A. Mukherjee. Atiyah-Singer Index Thoerem - An Introduction. Hindustan Book Agency, 2013.
\bibitem{M} G. J. Murphy. C*-algebras and Operator Theory. 
  \end{thebibliography}

\end{document}