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\begin{document}

\centerline{\bf MAT 2116 - \'Algebra Linear para Qu\'imica} 

\centerline{\bf 2$^a$ Prova - 25 de maio de 2017}



\begin{center} Cada quest\ao\ vale 2,5 pontos\end{center}


\noindent
    {\bf Quest\ao\ 1)} Considere os pontos  O=$(0,0,0)$, A=$(2,0,0)$, B=$(0,0,2)$ e C=$(0,3,1)$, pertencentes a $\R^3$. Os seg\-men\-tos
    $\overline{\mbox{OA}}$,  $\overline{\mbox{OB}}$ e  $\overline{\mbox{OC}}$ s\ao\ a\-res\-tas do
    pa\-ra\-le\-le\-p\'i\-pe\-do $\mathcal{P}$.
    \\
    (a) Fa\c{c}a um desenho ilustrativo da posi\cao\ de $\mathcal{P}$ relativa aos eixos coordenados.
    \\
    (b) Calcule o volume de $\mathcal{P}$.
    \\
    (c) Chamando de F o v\'ertice de $\mathcal{P}$ oposto
    \footnote{Mais precisamente, F \'e o \'unico v\'ertice de $\mathcal{P}$ cujas arestas incidentes t\^em interse\cao\ vazia
      com todas arestas que incidem em O.}
a O, calcule o comprimento da diagonal  $\overline{\mbox{OF}}$.
    


\noindent
    {\bf Quest\ao\ 2)} Seja $r$ a reta-interse\cao\ dos planos de equa\coes\ $x+2y-z=0$ e $x+y+z=1$.
    \\
    (a) Determine equa\coes\ param\'etricas para  $r$.
    \\
    (b) Encontre um vetor paralelo a $r$. 




\noindent
    {\bf Quest\ao\ 3)} Determine uma equa\cao\ cartesiana do plano $\pi$ que cont\'em o ponto $P=(2,3,1)$ e \'e paralelo
    aos vetores $\mathbf{u}=(1,0,-1)$ e  $\mathbf{v}=(0,1,2)$.



\noindent
    {\bf Quest\ao\ 4)}  Considere os pontos A=$(2,0,0,0)$, B=$(0,0,2,1)$ e C=$(0,3,0,-1)$ em $\R^4$.
    \\
    (a) Determine $P\in\R^4$ satisfazendo: (i) existe $t\in\R$ tal que $\overrightarrow{\mbox{AP}}=t\,\overrightarrow{\mbox{AB}}$
    e (ii) $\overrightarrow{\mbox{PC}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AB}}=0$.
    \\
    (b) Calcule a norma do vetor $\overrightarrow{\mbox{PC}}$.
    \\
    {\tt Sugest\ao}: Para se inspirar, fa\c{c}a um desenho, sem levar em conta coordenadas, representando A, B e C arbitrariamente localizados em um plano.



\end{document}
