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% novos comandos
\newcommand{\rdois}{\ensuremath{\mathbb{R}^2}\ }
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\newcommand{\quest}{\stepcounter{questao}{\bf \arabic{questao}.\ }}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
  \large \bf \sf Primeira Lista de Lógica Fuzzy
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}
  \bf Cursos de Verão IME-USP - 2002
\end{center}

\vspace{1cm}

\quest Dê alguns exemplos de afirmações em linguagem natural que envolvem
conceitos nebulosos (fuzzy).

\vspace{0.3cm}

\quest Descreva situações de sua experiência pessoal onde são necessários
conceitos nebulosos.

\vspace{0.3cm}

\quest Usando apenas o senso comum, defina algumas funções de pertinência para
os seguintes conjuntos nebulosos.

(a) $n$ é grande.

(b) A média de uma variável aleatória é aproximadamente 5

(c) $x$ é muito maior que $y$.

(d) O vento está forte.

(e) $x$ está entre -3 e 2

\vspace{0.3cm}

\quest Seja $U=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$. Sejam $A$ e $B$ dois
subconjuntos nebulosos de $U$ dado pelas funções de pertinências:

\begin{tabular}[h]{c|llllllllll}
$u$ & 0 &1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline
$A(u)$&0&0&0.1&0.2&0.3&0.8&0.9&1&1&1
\end{tabular}
e

\begin{tabular}[h]{c|llllllllll}
$u$ & 0 &1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline
$B(u)$&1&1&0.9&0.8&0.7&0.5&0.4&0.2&0.2&0
\end{tabular}

Determine $A \wedge B$, $A \vee B$ e $A^{\prime}$.

\vspace{0.3cm}

\quest Sejam $A$ e $B$ dois subconjuntos nebulosos do conjunto dos números
reais não negativos, ache novamente $A \wedge B$, $A \vee B$ e $A^{\prime}$
quando:

\[ A(x) = \left\{ 
    \begin{matrix}
      0 & \text{ se } 0<x<1 \\
      x-1& \text{ se } 1\leq x < 2 \\
      1 & \text{ se } 2\leq x <3 \\
      4-x & \text{ se } 3\leq x< 4 \\
      0 & \text{ se } 4\leq x
    \end{matrix}\right. \]

\[ B(x) = \left\{ 
    \begin{matrix}
      \text{e}^{x-3} & \text{ se } 0<x<3 \\
      1& \text{ se } 3\leq x < 5 \\
      1-\frac{x-5}{2} & \text{ se } 5\leq x <10 \\
       0 & \text{ se } 10\leq x
    \end{matrix}\right. \]
Faça os gráficos de todos estes conjuntos nebulosos.

\vspace{0.3cm}

\quest Seja $\{ A_1, A_2, \dots, A_n\}$ uma partição fuzzy de um conjunto
$U$. Verifique que se $A_i$ são conjuntos clássicos então eles são dois a dois
disjuntos e sua reunião é o conjunto inteiro $U$. Se $A$ é um conjunto
nebuloso, será que $A$ e $A^{\prime}$ formam uma partição fuzzy?

\vspace{0.3cm}

\quest Seja $U=[0,10]$, verifique em cada caso se os conjuntos dados formam
uma partição fuzzy de $U$. Faça os gráficos.

(a) $A_1(x)=\frac{x}{10}$ e $A_2(x)=1-\frac{x}{10}$.

(b) $A_1=\left\{
  \begin{matrix}
    1-\frac{x}{5} & \text{ se } x<5 \\
    \frac{x}{5}-1 & \text{ se } 5\leq x
  \end{matrix}\right.$, $A_2=\left\{
  \begin{matrix}
    \frac{x}{5} & \text{ se } x<5 \\
   2- \frac{x}{5} & \text{ se } 5\leq x
  \end{matrix}\right.$

(c) $A_1(x)=\sin^2(x)$, $A_2=\cos^2(x)$

(d) $A_1(x)=\frac{x}{30}$, $A_2(x)=\frac{x^2}{100}$, $A_3(x)=1-\frac{x}{10}$
 
\end{document}

%%% Local Variables: 
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%%% TeX-master: t
%%% End: 
