Primeira prova de MAP0125 P1
Cada questão vale dois pontos.
1. Execute três iterações do método da bisecção, e três iterações do método da falsa posição para encontrar o zero de
|
| (1) |
no intervalo I = [0, 1].
Solução:
| a | b | x0 = (a + b)/2 | f(a)f(x0) |
| 0 | 1 | 0.5 | + |
| 0.5 | 1 | 0.75 | - |
| 0.5 | 0.75 | 0.625 | - |
| a | b | x0 =  | f(a)f(x0) |
| 0 | 1 | 0.6666667 | - |
| 0 | 0.6666667 | 0.625 | - |
| 0 | 0.625 | 0.6190476 | - |
2. Ache uma solução aproximada da equação abaixo:
 | (2) |
Solução: Tem vários jeitos de fazer. Pelo gráfico abaixo há uma solução no intervalo [-3,-2].
Transformamos a equação em x3 + x2 - 4x - 3 = 0 e usando o método de Newton com o chute x0 = -2. achei x = -2.1986912. As outras soluções são x = 1.9122292 e x = -0.7135378
3. Em cada uma das funções abaixo verifique se ela possui um único zero no intervalo I = [0, 2]. Justifique.
| f1(x) = |  + x | (3) |
| f2(x) = | x3 - 3x2 - x + 3 | (4) |
| f3(x) = | (log(x) + x)(x - 1) | (5) |
| f4(x) = | 4x3 - 12x2 + 11x - 3 | (6) |
Solução: f1 e f2 têm um único zero no intervalo. f3 tem duas raizes e f4 tem três zeros.
4. A função f(x) = x2 - 4x + 3 possui as raizes 1 e 3. Se fôssemos calcular as raizes usando o método de Newton, que chute inicial x0 poderíamos escolher para que a sequência produzida pelo método de Newton convirja para a raiz 1. Dê uma justificativa.
Solução: f tem um ponto de mínimo em x = 2 para todo x < 2 o método converge para 1
5. Escreva a matriz extendida do sistema linear abaixo e ache a solução usando o método da eliminação de Gauss com pivotação.
| x1 + x3 | = 4 | (7) |
| 2x1 + 2x2 - x3 | = 5 | (8) |
| x1 - 2x2 + 2x3 | = -1 | (9) |
Daí temos x3 = 4, x2 = 4.5 x1 = 0
