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Lista de exercícios de MAP2321 __________________________________________________________________________________________________________________

Entregar a lista resolvida em 7 dias

1. Achar os resíduos nos pólos das seguintes funções:

a) f(z) = ----2z-----b) f(z) = --sin(z)--- z3 + z2 - 2 (z - 4)3z2

2. Calcular integral Gf(z)dz quando:

{ --1--- t se t (- [- 2,2] f(z) = z4 + 1 e G(t) = 2e2pi(t-22) se t (- [2,3]

e quando

-z +-1- 2pit f (z) = sin(2z) e G(t) = 5e ,t (- [0,1]

3. Explique como podemos calcular a integral imprópria integral - oo oo dx__ x4+1 usando integração complexa.

4. O Teorema de Rouché diz o seguinte: Se f : _O_ -->C e f : _O_ --> C são duas funções analíticas no domínio _O_ e G é uma curva simples fechada contida em _O_ tal que f e f sejam analíticas no interior de G e sobre a curva temos a desigualdade |f(z)| > |phi(z)|. Então f(z) e f(z) + phi(z) têm a mesma quantidade de zeros no interior de G.

Dê uma prova do teorema de Rouché usando o princípio do argumento. E aplique este resultado para determinar quantos zeros de p(z) = z8 - 4z5 + z2 - 1 tem módulo estritamente menor que 1.