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Lista de exercícios de MAP2321 __________________________________________________________________________________________________________________

Entregar a lista resolvida em 7 dias

1. Sejam a : [0, 1] -->C e b : [0, 1] --> C duas curvas diferenciáveis que se cruzam num ponto z0 num ângulo h0. Seja agora f : _O_ --> C uma função analítica num domínio _O_ que comtém as duas curvas. Então as curvas diferenciáveis f oa e f ob cruzam-se em f(z0) formando entre si um ângulo h0.

2. Seja _O_ um domínio complexo e z0, z1, dois pontos de _O_. Um caminho de z0 a z1 é uma curva a : [0, 1] --> _O_ tal que a(0) = z0 e a(1) = z1. Dizemos que dois caminhos,a e b entre z0 e z1 são homotópicos se existe uma aplicação contínua H : [0, 1] × [0, 1] --> _O_ tal que H(0,t) = a(t) e H(1,t) = b(t) e H(a,t) é um caminho de z0 a z1 para todo a (- [0, 1]. Mostre que esta é uma relação de equivalência. Considere agora _O_ = C \{-2, 2} e os pontos z0 = -i e z1 = i. Esboce o máximo caminhos possíveis que não sejam homotópicos entre estes pontos, ou seja, um representante de cada classe de equivalência acima.

3. Ache uma parametrização para uma curva simples e fechada G em C cuja imagem é um quadrado com comprimento do lado 2 e centro em 0. Considere a função complexa

f(z) = Re(z) + i| Im(z) |.

Qual o maior domínio onde a função f é analítica. Calcule a integral:

integral f (z)dz. G

4. Ache a integral das seguintes funções sobre a circunferência unitária parametrizada no sentido anti-horário.

f (z) = |z| (1) f (z) = 1/(2z - 5) (2) 2 f (z) = 1/(z + 2) (3)

5. Dizer quais são todos os resultados possíveis da integral

integral dz -----2 C 1 + z

onde C é uma curva simples fechada parametrizada no sentido anti-horário.