\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts, amsmath, amssymb}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ae}

\parindent=0pt

 \addtolength{\textheight}{3.5cm}
 \addtolength{\oddsidemargin}{-1cm}
 \addtolength{\evensidemargin}{-1cm}
 \addtolength{\textwidth}{2cm}
 \addtolength{\topmargin}{-2.0cm}
\newcounter{questao}
\newcommand{\quest}{\stepcounter{questao}{\bf \arabic{questao}.\ }}

\begin{document}
\hrule
 { \Large \sf Segunda lista de exercícios MAP2321\hfill \fbox{2-08}}
\hrule

\vspace{0.3cm}

\thispagestyle{empty}


\quest Dadas as matrizes
\begin{gather*}
  A =
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 1 \\
   1 & 2 & 3 \\
  0 & 1 & 1 
  \end{pmatrix}\text{ e } B=
  \begin{pmatrix}
    1 \\ 1 \\ 2 
  \end{pmatrix}
\end{gather*}

Verifique se o par $(A,B)$ é controlável. Se for diga qual é a equação diferencial linear de ordem três que é equivalente ao sistema. Se não for dar a forma de Kalman.


\quest Considere o sistema de controle linear:
\begin{gather}
  \begin{align}
    \dot{x}& = 2x -y + u_1\\
    \dot{y}& = 2y +z -u_2 \\
     \dot{z}& = z +2u_1 -u_2
  \end{align}
\end{gather}
Com a saída do sistema dada por 
\begin{gather}
  w= y+z
\end{gather}
Verifique se o sistema é controlável. Verifique se é observável.

\quest Seja 
\[ A=
\begin{pmatrix}
  1 &1 \\ 0 &1\\
\end{pmatrix} \text{ e } B=
\begin{pmatrix}
  1 \\ 0
\end{pmatrix}\]
Verifique que o par $(A,B)$ não é controlável. As matrizes estão na
forma normal de Kalman? Dê exemplo de um ponto de $\mathbb{R}^2$ que
não pode ser atingido a partir de $
\begin{pmatrix}
  1 \\0
\end{pmatrix}$.




\quest
Considere, para $a \neq 0$, a matriz:
	\begin{equation*}
    	A=\left[ \begin{array}{ccc}
        	1 & a & 0 \\
        	0 & 1 & a \\
        	0 & 0 & 1
        \end{array} \right]
    \end{equation*}

	Para quais $B \in \left\{ 
	    	\left[ \begin{array}{c}
	        	1 \\
	        	0 \\
	        	0
	        \end{array} \right],
	    	\left[ \begin{array}{c}
	        	0 \\
	        	0 \\
	        	1
	        \end{array} \right],
	    	\left[ \begin{array}{c}
	        	1 \\
	        	0 \\
	        	1
	        \end{array} \right]
	\right\}$ o par $(A,B)$ é controlável?

\quest Dê um exemplo de um polinômio de grau tres com todos os coeficientes reais positivos mas que não seja estável.

\quest Dê um exemplo de um sistema de controle linear que seja
estabilizável  mas não seja completamente estabilizável.

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 











